沪教版高中数学高二下册 -11.1 直线的方程-点方向式 教案（Word版）

直线的方程——点方向式
教学目标：
理解直线的方向向量的概念，知道也是直线的方向向量；
能根据直线上的一个点和它的一个方向向量，或两个不同的点求出直线的点方向式方程；
理解直线方程的解的集合与直线上点的集合之间的关系；
通过建立直线的点方向式方程，体会使用向量来推导过程，并明确向量的几何意义。
重点难点：
重点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
难点：直线的点方向式方程，用方程表示点集。
教学过程：
引入：初中平面几何里，我们定性地研究了直线的平行、垂直或直线相交所成角是否相等。现在，我们将进一步用定量的方法来研究直线。
一次函数可以写成，我们将看到直线与一般的二元一次方程的对应关系。由于方程的解是可以计算的，所以，我们能用定量的方法来研究直线了。
新课：
一、直线的方程的推导
已知平面上一条直线，过已知点，且与已知的非零向量（）平行。易知，这样的直线是唯一确定的。问题：直线上的点的坐标之间有什么关系。
★直线与非零向量平行（垂直）是指直线与非零向量所在的直线平行或重合（垂直）。
直线平行于向量，所以，对直线上的任意点，都有。
在直角坐标系中，设，
，，
可得：
……①
（）
反之，如果是方程①的任意一组解，即，那么以为起点，为终点的向量与向量平行，即点在直线l上。
★于是：直线l上的点的集合
A=方程①的解的集合
B
“在的都是”“是的都在”
定义：我们把方程①叫做直线l的方程，直线叫作方程①的直线。
直线的方向向量：与直线平行的（非零）向量。是直线l的一个方向向量。
注意：（1）直线l的方向向量不唯一。如果是直线l的一个方向向量，那么（，）也是直线的方向向量。
（2）初步建立了曲线的图像与方程的对应概念。
二、直线的方程的形式
（1）★点方向式方程：
如果向量的坐标都不为零，即且时，方程①可化为。…②
我们把方程②叫做直线的点方向式方程。（与方程①有区别）
如果向量的坐标中有一个为零（的坐标不可能都为0）：
（2）与x轴垂直的直线的方程：
如果向量，，那么方程①可化为，它表示经过点，且垂直于x轴的直线；
（3）与y轴垂直的直线的方程：
如果向量，，那么方程①可化为，它表示经过点，且垂直于y轴的直线。
★方程①与②的比较：
问题1：点方式方程能否表示所有直线？若不能，还有哪些形式？
三、例题
例1：已知，，。
求经过点，且与平行的直线的点方向式方程；
求所在直线的方程；
求所在直线的方程；
求所在直线的方程；
★根据（2）~（4），可总结出：经过不同两点和的直线l的方程。
关键：找到
“方向向量”
求的角平分线所在直线的方程.
例2：指出下列直线的一个方向向量：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）。
课后思考：点发出的光线经镜面反射后过点，求反射光线所在直线的方程。
（Ⅰ）镜面位置所在直线的方程为；
（Ⅱ）镜面位置所在直线的方程为；
（Ⅲ）镜面位置所在直线的方程为。
四、小结
五、作业
练习册：习题11.1
A组
1、2、3、4、8、9、11；
B组
1、2、6