沪教版高中数学高二下册：11.4点到直线的距离 教案（Word版）

课题：点到直线的距离
教学目标：
1、理解点到直线距离的概念；
2、经历点到直线距离公式的推导过程，体会解析几何中方法的重要性；
3、能运用点到直线距离公式解决有关问题。
教学重点：
点到直线距离公式的推导，解析几何中方法选择。
教学难点：
点到直线距离公式推导。解析几何思想方法渗透。
教学过程：
一、问题的提出：
已知直线的方程是不同时为0）和直线外一点，求点P到直线的距离。
点到直线的距离即是过已知点向直线作垂线，夹在已知点与垂足之间的垂线段的长，也可以理解成已知点与直线上点之间距离的最小值。
二、方案设定与问题解决：
方案一：由直线的方程是，知直线的法向量，所以过点与直线垂直的直线的法向量为，则直线的方程为
设直线与的交点为，则坐标满足，
解此方程组得：，由两点间距离公式：
＝＝
。所以得，点到直线的距离为：
。
方案二：利用函数思想与两点间距离公式：
因为点到直线的距离是直线外点与直线上点连线之间距离的最小值，设直线上任一点的坐标为，则，（不妨设，则，由两点间距离公式：
由二次函数的性质，当时，的最小值为。
(
Q
R
O
)方案三：（构造直角三角形）如图：
不妨直线与坐标轴不平行，点在直线上的
射影为，过作轴的平行线交直线于点，
则，又点坐标，
所以，
由斜率公式知，所以，所以＝
，即点到直线的距离。当直线与坐标轴平行时，此式仍成立。
方案四：向量法：
(
O
)如图：设点在直线上的射影为，则即为点到直线的距离。直线的法向量，，。
若与同向，则与夹角为0，此时。
若与反向，则与夹角为，此时。
则＝。
因为点在直线上，所以，
即有：，代入得：，所以点到直线距离为：。
此方法的技巧性强，综合运用了向量的有关知识。
方案五：投影法：（示意图）
设是直线上的任意一点，到直线的距离是向量在直线上投影的绝对值。的法向量，所以，因为，且，所以，即。
说明：从以上几种推导方法上可发看出，解几中的思路好寻，但简单方法难找，讲解中前四种思路可以作介绍，方案五作为重点。
三、点到直线距离公式的应用：
例1：求点到直线的距离。
解：由点到直线的距离公式，得点到直线的距离
所以，点到直线的距离为。
例2：已知的三个顶点的坐标分别为，求：
（1）边上的高；（2）的面积；（3）的角平分线所在直线的方程。
解：（1）所在直线的方程为，到直线的距离即为边上的高，所以。
（2），所以。
或利用行列式：。
(
A
B
C
O
)（3）方法一：因为，
设的平分线所在直线的斜率为，根据
夹角公式得：
解之得：或。又，所以，即所求的直线方程为。
方法二：因为角平分线上点到角的两边的距离相等，利用轨迹方法：设角平分线上任意一点为，则由，得直线AB的方程：，由得直线AC的方程。所以，化简得：或。又的平分线与线段相交，直线的方程为：，直线与直线的交点在线段上，所以所求的直线方程为。
方法三：设角平分线与线段交于点，则到角两边距离相等。又方程：，方程：，
所以有。即，又D在BC上，线段BC方程，则。由
解得：，或（舍去），所以所求直线方程为。
方法四：根据角平分线的性质，设的平分线与边BC交于点D，则，因为，即。所以，由定比分点知，分成定比，根据定比分点公式：
，所以，则方程为。即的平分线所在直线的方程为。
方法五：，的单位向量，的单位向量，则是平分线的一个方向向量，所平分线的斜率，知的平分线所在直线的方程为。
说明：从第（3）小题的几种方法对比更能体现解析几何的本质特征：“思路自然，方法难寻”。
例3：设集合是由满足下列条件的直线形成的集合：与直线相交，且以交点的横坐标为斜率。
（1）点到集合中哪条直线的距离最小？
（2）设，点到中的直线距离的最小值为，求的表达式。
解：（1）设直线与直线的交点的横坐标为，则交点坐标为，则直线的方程为，即，点到直线的距离，当，即时，等号成立，所以点到集合中的距离最小。
（2）点到中的直线距离。设，则，。记。
①当，即时，在上是增函数，所以的最小值为，即，此时；
②当，即时，在上递减，在上递增。
若，即，则在上是增函数，所以的最小值为，即，此时；
若，即，则，当时等号成立。此时。
综上知：。
四、练习与巩固：
1、求点到直线的距离：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
2、已知的三个顶点的坐标分别为，求的边上的高。
3、已知点到直线的距离为，求的值。
4、已知点，求过点且与坐标原点距离最大的直线的方程。
5、已知和直线。求一点，使且到的距离等于。
6、已知的顶点，在直线上。若的面积，求点的坐标。
7、已知。
（1）若直线过中点，且到的距离都等于，求直线的方程；
（2）若到的距离都等于，求直线的方程；
（3
）若两点到直线的距离是，问满足条件的直线有几条？
点到直线的距离
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