沪教版高中数学高二下册：11.4点到直线的距离-点到直线距离公式教学设计（Word版）

经
典
永
恒、只
为
初
见[1]
——“点到直线距离公式"教学设计与思考
一、课标分析
1、2017版课标明确指出:通过学习，学生能获得进一步学习以及未来发展所必需的“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）；提高“四能”（从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力）；发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养；认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值[2].
初中学段，我们知道：一次函数的图像是一条直线，但一条直线是否对应一次函数，答案显然.故而，需要从另一角度（方程）去研究直线.“点到直线的距离公式”是上海数学教材高二年级第一学期第11章《坐标平面上的直线》的最后一节，放在第10章《平面向量》后，一方面巩固平面向量基础知识，另一方面体现向量在解决解析几何问题时的优越性.（新课标案例16
用向量方法研究距离问题.通过几何图形建立直观，通过代数公式表达规律[3]，探索并掌握点到直线的距离公式[4]，，强调“探索”二字）
经过两点可以确定一条直线，而向量可成为该直线的一个方向向量，基于此，第1节，学习直线的点方向式方程、点法向式方程、一般式方程；第2节，从刻画直线的倾斜角、斜率出发，研究直线的点斜式方程、一般式方程.（斜截式方程是点斜式方程的特殊情况、两点式方程是点方向式方程的特例、截距式方程又是两点式方程的特例，并与初中所说的一次函数回应），而这四种形式中，点法向式方程、一般式方程没有任何限制条件，其余形式或多或少有限制条件.第3节，借助直线方程，研究两直线的位置关系，相交、平行、重合.相交求交点、求夹角，平行求距离.为了求平行线间的距离，第4节安排了点到直线的距离公式.
[6]
2、点到直线距离公式，放在两直线夹角公式探求之后，承前方法研究，得出公式，全不费功夫，因而根据新课标，创设情境，数学抽象，形成概念，数学建模，依托教材，设计实验，让学生去发现、验证、应用、拓展，据此思路，我设计了本堂课.这既是一堂新课，也是一堂习题课，一堂实验探究课，一堂科学方法体验课.学生既积累了基本活动经验，学习了新知识，体验了一般化思维策略，设而不求的解题策略，也强化了向量作为工具的意识，在学习过程中，力图发展其核心素养，会用数学眼光去观察实验数据，用数学思维去思考实验结论，用数学语言去表达规律.[5]
3、点到直线的距离公式是解决理论和实际数学问题的重要数学工具之一，通过公式的秒算，学生对点与直线的位置关系的认识由定性的认识上升到了定量的认识.它既是直线这一章的终点，又是研究二次曲线的开始.通过向量法研究点到直线的距离，借助几何画板强大的计算、作图功能，为二元一次不等式表示的区域及线性规划的学习带来直观感受.点到直线距离公式的掌握，有助于学生后续研究一些常见的几何问题，如求两平行线间的距离，过一点求圆的切线方程，圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系，抛物线的标准方程推导等.
二、
学情分析
1、新授课对象是一所区级重点中学，学生数学学习潜力不错，对向量知识掌握的很好.并且已经初步习惯用向量的方法解决问题.在《坐标平面上的直线》这一章里，学生已经学习过直线的点方向式方程，点法向式方程，一般式、点斜式方程的多种形式以及两直线的位置关系.在教学过程中，通过创设情景、数学抽象、形成概念、数学建模、设计实验、层层铺垫、搭建平台、让学生拾级而上，大部分学生都能完成公式的的发现与推导.
2、根据学生已有的生活经验，创设情境，搭建平台，设置问题.片段一：数学抽象，形成概念，数学建模，一气呵成.片段二：将课本[6]例题1改造升级，点由改为（有利于学生从形上发现所要研究的问题与点到直线的距离有关），制作成表格，发放给学生，让他们亲历实验，探索猜想，通过观察、比较、分析、归纳，从中发现规律，师生之间、生生之间相互合作参与，交流分享，由特殊——一般，猜想总结出点到直线的距离公式、数学运算、逻辑推理、水到渠成.同时，感悟数学研究的方法和数学思想，强化其科学精神，认识其科学价值.片段三：应用公式，掌握公式，在解决问题的过程中，享受学习的快乐、成功的喜悦，课后拓展，请学生研究资料，整理并写作数学小论文《例说探求点到直线的距离》，提升学生研究性学习能力，让每一个学生都得到最大限度的发展，愿景达成.
三、教学目标
1、创设情境，数学抽象，形成概念，数学建模，理解点到直线的距离公式的推导，会用公式求点到直线的距离，并能解决简单数学问题.
2、经历向量法推导点到直线的距离公式过程，体验“特殊—一般—特殊”的思考策略，感悟数形结合、等价化归等数学思想方法.
3、参与观察、比较、分析、归纳的数学实验研究，激发勇于发现、勇于探索的精神.同伴交流讨论，从中发现规律、获取知识、享受学习的快乐，感悟数学研究的方法和数学思想，强化科学精神.
四、教学重点与难点
重点：点到直线的距离概念的形成，探索公式的过程以及蕴含其中的科学研究方法.
难点：点到直线的距离公式的发现与推导．
五、教学过程
片段一：创设情景，引出课题
师：请班级体育班委来立定跳远，大家思考一下，如何测量他立定跳远成绩?
生1：测量脚后跟与起跳点的连线段的长度.
生2：不对，脚后跟与起跳点的连线段的长度是两点间的距离，应该是脚后跟与踏板所在直线间的距离.
生3：不准确，应该是脚后跟与踏板所在直线间的最小距离.
师：对，测量的应该是脚后跟（点）与踏板所在直线间（直线）的最小距离.最小距离怎么测量？
生4：可以先过点（脚后跟）作直线（踏板）的垂线，找到垂足，测量两点间的距离.
师：数学上，可以抽象为平面上有一点，有一条直线，过点作直线的垂线，找到垂足，这两点间的距离就是点到直线的距离（几何定义）.（数学抽象，形成概念）
师：测量有误差，小学四年级教材里我们已测量过.随着年龄的增长，知识的增多，我们如何精确地知道点到直线的距离？（建立直角坐标系，点可用一对有序数对表示，直线可用二元一次方程表示，借助几何画板，数学建模转化为如下问题）
求平面上一点到直线的距离.
生5：先求出过点且直线垂直的直线方程，然后联立两直线方程求交点，交点即为垂足，利用两点间的距离公式计算.
师：思路很通畅，但计算需要一点时间，我们能否寻找一个公式型的规律，直接秒算出此类问题呢？这就是今天我们要实验探究的问题.
片段二：实验探究，发现规律
师：向量是近代数学中重要的概念之一，是沟通代数、几何、三角的一种工具，有着广泛的应用，尤其是数量积的应用.上一节我们利用直线的法向量数量积研究了两直线的夹角，今天我们继续利用直线的法向量数量积来研究该问题.
已知点P坐标为，直线方程为.
（1）请写出直线的一个法向量
(5,12)
；计算
13
；（学生齐答）
（2）请你在直线任取一系列的点，计算向量，再计算数量积，填入表格；（学生运算，教师巡视）
点
（，0）
（，3）
49
（0，）
（2，）
49
（3，-1）
（5，2）
49
（3）写出你发现或猜想的规律，并加以说明；
生1：当时，我猜想在直线上任取一点，数量积恒成立.
师:你怎么取点？计算了多少次？(填表略).老师利用几何画板，移动点，相当计算了无数次，表格中的数量积永远不变，为，老师也得出了同样的结论（多媒体辅助教学，功能强大，直观明了）.
师:科学研究必须对实验产生的现象或结果进行分析，比如说这个结果，我们应该就以下几方面进行探讨.其一，造成数量积为定值的原因是什么？其二，数量积是49，而不是其它的数，为什么？其三，定值49又与什么有关？(学生就这三点进行分组讨论交流)
生2:
从几何图形上看，造成数量积为定值的原因是点P到直线的距离.从数量积的定义上看，(是两向量与的夹角)，而是定值，表示的是动向量在法向量上的投影长度，在几何图形中，即点P到直线的距离，这也是定值，从而造成数量积是定值.即：
（引导学生观察几何画板，可知：向量与的夹角，从而）
师：向量可用坐标表示，大家能否从向量坐标上进行分析.
生3:因为是直线上任意点，则，即，又，
.
师：请大家求出点P到直线的距离.
点P到直线的距离(全班同学齐答)
师:分母是法向量的模，分子49与哪些因素有关?
生4:与点坐标，直线方程有关.将点P的坐标代入直线方程的左边计算可得：，距离为.
师：距离为非负数，怎么回事？
再次引导学生观察，几何画板强大的计算功能，给定一条直线，其法向量有无穷多个，若当法向量为，计算发现：在直线上任取一点，都有（在几何画板里拖动点，数量积恒为定值-49）.事实上，向量与的夹角，从而，所以.
随后，控制法向量，在直线上任取一点都有恒为定值，该定值与法向量有关，但点到直线的距离永远不变（图形可见）.所以，.
继续追问，能否将点一般化为,直线一般化为，猜想并写出点P到直线的距离d的形式吗?（至于，点P在直线上；点P在直线法向量指向的同侧；点P在直线法向量指向的异侧
.留待下堂课继续讨论）.
生5:
猜想点P到直线的距离应该为.
师:请全班同学证明这一结论.
证明：直线的法向量，设是直线上的任一点，则，又，所以
即：.(学生6的书写过程用实物投影展示分享)
至此，点到直线的距离公式水到渠成.
注:(1)解析几何的本质是用代数的方法来解决几何问题，向量既有形，又有数，是解决解析几何问题的有力工具；
(2)“设点坐标而不求点坐标”、“整体代换”常常是减少解析几何运算量的有效途径，体现了数学的内在美；
(3)点到直线的距离公式的推导方法很多，百度百科给出了七种方法，数学类杂志刊物上关于点到直线的距离公式推导及相关论文很多，个人认为：2017版新课标案例16归纳总结了三种方法：综合几何方法，解析几何方法，向量方法[3]，最为全面，分类更为合理.课后请同学们去阅读.同时，参考课外拓展资料，自己尝试学写数学小论文《例说探求点到直线的距离公式》.
片段三：运用公式，解决问题
例1
求下列点P到直线的距离，并填入下表：
题号
点P坐标
直线的方程
点P到直线的距离d
（1）
（-2，3）
8x+6y+3=0
（2）
（0，0）
y=-x+1
（3）
（3，1）
3x+4y=5
（4）
（-2，3）
2x+4=0
0
（5）
（-3，1）
2y-7=0
注：这是基础例题，正用公式，巩固点到直线的距离公式.(尽可能多地反映各种情况，其中第（4）、（5）小题是两种特殊情况，
当直线，；当直线，)
例2
已知两直线方程分别为和
(1)判断两直线的位置关系;(2)能否求两直线间的距离,若能,请求出来.
注：转化为点到直线的距离.引导学生先计算出两平行线间的距离.然后再一般化,
导出，两条平行线之间的距离公式：.并请一同学上黑板书写证明过程，感悟转化化归思想、设而不求、整体代换策略.
例3
（1）直线与直线的距离为2，则实数
28或-12
.
（2）点到直线的距离不大于3，则实数a的取值范围为
.
（3）若点是直线上任一点，则的最小值为
.
注：学生练习，教师巡视，随时进行个别辅导，并及时评价.在学生掌握了例1、例2后，出示例3，利用公式进行探究，感悟方程思想、化归思想，数形结合思想、不等式在数学解题中的应用，多角度使用公式，及时评判学生在学习过程中的表现、目标达成度，夯实基础知识、基本技能、获得基本思想、基本活动经验，指引学生向新的目标进发.
六、愿景与反思
1、本课重点在于点到直线的距离概念的形成，从测量立定跳远成绩中，经历数学抽象，形成数学概念，通过数学建模，获得基本活动经验，在探索公式的过程中，借助几何画板的强大计算功能、图形功能，先控制变量，得出（变化中的不变）；几何说明，代数演绎，计算发现，出现数据符号差异，进而分析数据，寻找数据产生的原因，通过控制变量法研究，较好地感悟科学研究的基本方法，基本思想，认识数学的科学价值，本堂课相较其它各种推导方法，更有利于学生了解科学探究的流程及方法.
2、点到直线的距离公式的推导方法很多.学生很容易转化为点——点距离，通过计算求交点，再用两点间距离公式，思路顺畅，然计算很繁.因此只需要学生说出思路即可.此时，教师快速提出，能否得出一个公式型的规律，秒算其答案.因此将课本例题设计成向量探究题，在探究过程中，从形、数两方面，特殊到一般发现并证明点到直线的距离公式，充分体现教师的主导作用，同时，公式的形式和谐、简洁、对称，无疑是一种美.对学生而言，只要知道点的坐标，直线的方程，秒算距离，公式的应用价值不言自明，多棒！利用向量方法推导出公式，设而不求，整体代换，几步完成，方法何其美妙！哪里有数，哪里就有美.[7]
3、课堂是一种独特的情境.教师因其特殊地位成为了核心人物，作为一名教师，自己的课堂更值得仔细研究，只有这样你才能对自己的教学选择明智有效的策略[7].本课堂力求营造民主、宽松、和谐的氛围，让学生或显性（讨论、答问、交流、展示）或隐性（聆听，苦思）地参与教学过程，给学生以思考时空，让学生自己发现问题，导出公式，自己尝试解决问题，初步尝试到科学探索的乐趣，激发其积极性，培育其创造性，感悟到科学方法的训练.同时，本课堂设置了不少例题，例题选取力图内容浅显、方法多样、知识面广，前后联系紧密，设置的目的在于落实基础知识，基本技能，数学思想方法的渗透，期望发展数学运算、数据分析等核心素养.例题多，容量大，促使学生积极思考，增进师生、生生交流，规范数学语言表述，提升课堂教学效率，重视过程，及时反馈、及时评价，引导不同学生向更高一层迈进，让全体学生都感受到成功.课后尽量减少重复性、机械性的作业与练习，让学生远离题海，保留学习兴趣.通过发放拓展资料，让学生自主选择，自主学习，人人都能获得良好的教育，不同的人在数学得到不同的发展[5].
4、多媒体辅助教学，几何画板中的计算功能、图形显示，动画显示，增大了课堂容量，增强了课堂直观，提高了教学效率，关注学习进程，设置科学训练，及时反馈评价，重视数学表达，都为教学目标达成提供了良好的支撑.
5、数学素养最直接的体现：会用数学眼光观察（看）世界；会用数学思维思考（想）世界；会用数学语言表达（说）世界.[5]数学的价值，不仅在于能够给人以数学知识、数学技能和数学方法的实用价值，更重要的在于它的文化价值.南京大学教授郑毓信老师在其专著《数学文化学》中说：“数学文化价值主要是指数学学习对于人们思维方式、价值观念乃至世界观等方面的影响，尽管这种影响是潜移默化的，但确实存在.”“数学文化价值的充分发挥不能依赖于空洞的说教，而必须通过实际的数学活动，特别是数学教学才能真正得以实现”[9]“点到直线的距离公式”是高中数学教材中，能够设计此类数学活动难得的载体，经典！永恒！通过这一载体，设计适切的活动方案，同学生一起，经历数学抽象、概念形成、数学建模、实验探究、数据分析、数学运算、规律猜想、逻辑推理、拓展应用、过程评价等一系列探究过程，感悟科学研究方法，从而认识数学的科学价值、应用价值、文化价值、审美价值，力图实现中华人民共和国教育部为我们广大一线教师制定的课程目标，甚感欣慰.
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