人教A版 必修3第三章：概率3.3几何概型学案（word无答案）

几何概型
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
?
了解几何概型的概念及基本特点；
?
熟练掌握几何概型中概率的计算公式；
?
会进行简单的几何概率计算；
?
能运用模拟的方法估计概率，掌握模拟估计面积的思想．
重点难点：
?
重点：掌握几何概型中概率的计算公式；会进行简单的几何概率计算．
?
难点：将实际问题转化为几何概型，并正确应用几何概型的概率计算公式解决问题．
学习策略：
?
几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是试验的可能结果不是有限个．它的特点是在一个区域内均匀分布，所以随机事件的概率大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与该区域的大小有关．
二、学习与应用
（一）古典概型的定义：
（1）有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有
；
（2）等可能性：每个基本事件出现的可能性
．
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
（二）计算古典概型的概率的基本步骤为：
（1）计算所求事件A所包含的基本事件
m；
（2）计算基本事件的
n；
（3）应用公式
计算概率．
（三）古典概型的概率公式：
．
应用公式的关键在于准确计算事件A所包含的基本事件的
和基本事件的
．
知识点一：几何概型
（一）几何概型的概念：
对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都
；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点．这里的区域可以是
，
图形，
图形等．用这种方法处理随机试验，称为几何概型．
（二）几何概型的基本特点：
（1）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有
个；
（2）每个基本事件出现的可能性
．
（三）几何概型的概率：
一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域内＂为事件，则事件发生的概率
．
说明：
（1）的测度不为
；
（2）其中＂测度＂的意义依确定，当分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是
，
和
．
（3）区域为＂开区域＂；
（4）区域内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是
的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度
而与其
无关．
要点诠释：
几种常见的几何概型
（1）设线段是线段L的一部分，向线段L上任投一点，若落在线段上的点数与线段的长度成正比，而与线段在线段L上的相对位置无关，则点落在线段上的概率为：
P=
（2）设平面区域g是平面区域G的一部分，向区域G上任投一点，若落在区域g上的点数与区域g的面积成正比，而与区域g在区域G上的相对位置无关，则点落在区域g上概率为：
P=
（3）设空间区域上v是空间区域V的一部分，向区域V上任投一点，若落在区域v上的点数与区域v的体积成正比，而与区域v在区域V上的相对位置无关，则点落在区域v上的概率为：
P=
知识点二：均匀随机数的产生
（一）随机数的概念
随机数是在一定
内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是
的．它可以帮助我们
随机试验，特别是一些成本高、时间长的试验，用随机模拟的方法可以起到
成本，
时间的作用．
（二）随机数的产生方法
（1）实例法．包括掷骰子、掷硬币、抽签、转盘等．
（2）计算器模拟法．现在大部分计算器的RAND函数都能产生0～1之间的均匀随机数．
（3）计算机软件法．几乎所有的高级编程语言都有随机函数，借用随机函数可以产生一定范围的随机数．
要点诠释：
（1）在区间[a，b]上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是
取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数．
（2）利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求
、
、
等一系列问题，体现了数学知识的应用价值．
（3）用随机模拟试验不规则图形的面积的基本思想是：构造一个包含这个图形的
图形作为参照，通过计算机产生某区间内的
，再利用两个图形的面积之比近似等于分别落在这两个图形区域内的
的个数之比来解决．
（4）利用计算机和线性变换
，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数．
类型一：线长问题
例1．某人欲从某车站乘车出差，已知该站发往各站的客车均每小时一班，求此人等车时间不多于10分钟的概率．
思路点拨：假设他在0～60分钟之间任何一个时刻到车站等车是等可能的，但在0到60分钟之间有无穷多个时刻，不能用古典概型公式计算随机事件发生的概率．可以通过几何概型的求概率公式得到事件发生的概率．因为客车每小时一班，他在0到60分钟之间任何一个时刻到站等车是等可能的，所以他在哪个时间段到站等车的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】假设车站每隔
10
分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率？
答案：
【变式2】一个实验是这样做的，将一条5米长的绳子随机地切断成两条，事件T表示所切两段绳子都不短于1米的事件，考虑事件T发生的概率．
答案：
类型二：面积问题
例2．两人相约7点到8点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去．求两人能够会面的概率．
思路点拨：题目的意思简单明了，但如何转化为数学模型来求解却比较困难．需要我们先从实际问题中分析得到存在的两个变量，如此题中两人到达的时间都是随机的，设为两个变量．然后把这两个变量所满足的条件写成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出．把两个集合用平面区域表示，特别注意不等式所表示区域．我们可以发现，要表示二元一次不等式的平面区域，按两步解决：
（1）作出直线；
（2）取一特殊点验证，直线的哪侧符合不等式，则哪侧就是所表示区域．
准确得到随机事件的构成区域后，根据几何概型的概率公式，易求得概率．
解析：
总结升华：
根据以上的思路点拨和解析，我们把此类疑难问题的解决总结为以下四步：
（1）
．
（2）
．
（3）
．
（4）
．
在以上四步曲中，第二步和第三步是解答的关键，通过这两步，可以发现随机事件所对应的几何图形．第三步的作图需理解其原理．
举一反三：
【变式1】甲和乙都为货运公司工作，由于工作需要，他们都使用对讲机．他们的对讲机的接收范围为25公里，在下午3：0O时甲正在基地正东距基地30公里以内的某处向基地行驶，而乙在下午3：00时正在基地正北距基地40公里以内的某地向基地行驶，试问在下午3：0O时他们能够通过对讲机交谈的概率有多大？
答案：
【变式2】在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m远向此板投镖．设投镖击中线上或没有击中木板时都不算，可重投，问：
（1）投中大圆内的概率是多少？
（2）投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？
（3）投中大圆之外的概率是多少？
答案：
类型三：体积问题
例3．在1L高产小麦种子中混入了一粒带锈病的种子，从中随机取出10mL，含有小麦锈病种子的概率是多少？
思路点拨：由于带锈病的种子在1L小麦种子中的位置是随机的，所以随机取出10mL时，取到带锈病种子的概率只与所取种子样品的体积有关，这符合几何概型的条件．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式】在线段[0，1]上任意投三个点，问由0至三点的三线段，能构成三角形与不能构成三角形这两个事件中哪一个事件的概率大．
答案：
类型四：随机模拟
例4．利用随机模拟方法计算曲线与围成的部分的面积．
思路点拨：在坐标系中画出正方形，用随机模拟的方法可以求出阴影部分与正方形面积之比，从而求得阴影部分面积的近似值．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式】用随机模拟的方法近似计算边长为2的正方形内切圆面积，并估计的近似值．
答案：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
用几何概率公式计算概率时，关键是构造出随机事件所对应的几何图形，并对几何图形进行相应的几何度量．对于一些简单的几何概型问题，可以快捷的找到解决办法．
有关几何概率的题目难度不大，但需要准确理解题意，利用图形分析问题．几何概型并不限于向平面(或直线、空间)投点的试验，如果一个随机试验有无限多个等可能的基本结果，每个基本结果可以用平面(或直线、空间)中的一点来表示，而所有基本结果对应于一个区域，这时，与试验有关的问题即可利用几何概型来解决．
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
经典例题——自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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