人教A版 必修四 第二单元 平面向量的基本定理及坐标表示学案（word无答案）

平面向量的基本定理及坐标表示
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
?
了解平面向量的基本定理及其意义；
?
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；
?
会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；
?
理解用坐标表示的平面向量共线的条件．
重点难点：
?
重点：平面向量基本定理与平面向量的坐标运算．
?
难点：平面向量基本定理的理解与应用，向量的坐标表示的理解及运算的准确性．
学习策略：
?
学习本节要复习向量加法的运算法则和向量共线的性质和判定定理；要特别注意区分起点在原点的向量、起点不在原点的向量、相等的向量的坐标表示，只有起点在原点时，平面向量的坐标才与终点坐标相同．
二、学习与应用
（一）向量的加（减）法运算
运算法则：
形法则、
形法则．
运算律：（1）交换律：
；（2）结合律：
．
（二）共线向量基本定理
非零向量与向量共线的充要条件是当且仅当
，使
．
知识点一：平面向量基本定理
如果是同一平面内两个
的向量，那么对于这个平面内任一向量，
一对
，使
，称
为的线性组合．
（1）其中叫做表示这一平面内所有向量的
；
（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的
，并且这种分解是
的．
这说明如果且，那么
．
（3）当基底是两个互相
的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是
对应的，在应用时，构成两个基底的向量是
向量．
知识点二：向量坐标与点坐标的关系
当向量起点在原点时，定义向量坐标为
　　　　
坐标，即若A(x，y)，则=(
，
)．
要点诠释：当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标
起点坐标，即若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则=(
，
)．
知识点三：平面向量的坐标运算
运
算
坐标语言
加法与减法
记=(x1，y1)，=(x2，y2)=(
，
)，=(
，
)
实数与向量的乘积
记=(x，y)，则=(
，
)
知识点四：平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或
=0．
要点诠释：若，则∥不能表示成，因为分母有可能为
．
类型一：平面向量基本定理
例1．P是△ABC内一点，且满足条件，设Q为延长线与AB的交点，令，用表示．
思路点拨：这里选取，两不共线向量为基底，运用化归思想，最终变成形式求解．
解析：
总结升华：
（1）
；
（2）
．
举一反三：
【变式1】△ABC中，BD=DC，AE=2EC，求．
思路点拨：选取，作为基底，构造在此基底下的两种不同的表达形式．再根据相同基的系数对应相等得实数方程组求解．
解析：
类型二：平面向量的坐标运算
例2．已知点以及求点C，D的坐标和的
坐标．
思路点拨：根据题意可设出点C、D的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】已知，且，求M、N及坐标．
解析：
类型三：平面向量的坐标表示
例3．平面内给定三个向量
（1）若求实数k；
（2）设满足且求．
思路点拨：
（1）由两向量平行的条件得出关于k的方程，从而求出实数k的值；
（2）由两向量平行及得出关于x，y的两个方程，解方程即可得出x，y的值，从而求出．
解析：
总结升华：
（1）
；
（2）
．
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）用向量证明几何问题的一般思路：
先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来证明．
（二）三点共线的判断方法
判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知
=(x2-x1，y2-y1)，=(x3-x1，y3-y1)，若则A，B，C三点共线．
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
G
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
2