人教A版 必修四 第二单元 平面向量平面向量的数量积及平面向量的应用学案（word无答案）
文档属性
| 名称 | 人教A版 必修四 第二单元 平面向量平面向量的数量积及平面向量的应用学案（word无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-06-01 14:38:05 | ||
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文档简介
平面向量的数量积及平面向量的应用
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
?
理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
?
了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
?
掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
?
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
?
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
?
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
重点难点：
?
重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角．
?
难点：用向量的方法解决几何、物理等问题．
学习策略：
?
学习本专题内容，需要复习平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算；学习中注意向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别与联系；平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用．特别对不同的解题方法进行比较，从中体会向量方法的优越性所在．
二、学习与应用
（一）平面向量基本定理
如果是同一平面内两个
的向量，那么对于这个平面内任一向量，
一对
，使
，称
为的线性组合．
（1）其中叫做表示这一平面内所有向量的
；
（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的
，并且这种分解是
的．
这说明如果且，那么
．
（3）当基底是两个互相
的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
（二）向量坐标与点坐标的关系
当向量起点在原点时，定义向量坐标为
坐标，即若A(x，y)，则=(
，
)．
（三）平面向量的坐标运算
运
算
坐标语言
加法与减法
记=(x1，y1)，=(x2，y2)=(
，
)，=(
，
)
实数与向量的乘积
记=(x，y)，则=(
，
)
（四）平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或
=0．
知识点一：
平面向量的数量积
（一）平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量
叫与的数量积，记作，即有=
．并规定与任何向量的数量积为
．
（二）一向量在另一向量方向上的投影：
叫做向量在方向上的投影．
要点诠释：
（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
①两个向量的数量积是一个
，不是向量，符号由
的符号所决定．
②两个向量的数量积称为
积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·
”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
（2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为
值；当为钝角时投影为
值；当为直角时投影为
；当=0时投影为
；当=180时投影为
．
知识点二：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
（1）=
=
（2）
（3）当与同向时，
；当与反向时，
．
特别的
或
（4）
（5）
知识点三：向量数量积的运算律
（一）交换律：
（二）数乘结合律：
（三）分配律：
要点诠释：
（1）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c．但是；
（2）在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
知识点四：向量数量积的坐标表示
（一）已知两个非零向量，，
（二）设，则或
（三）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
类型一：数量积的运算
例1．已知下列命题：
①；
②；
③；
④
其中正确命题序号是
．
思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律．
解析：
例2．已知，，若（1）；
（2）
；（3）
的夹角为30°，分别求．
解析：
举一反三：
【变式1】已知，求．
解析：
总结升华：
．
类型二：模的问题
例3．已知向量满足，且的夹角为60°，求．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】已知的夹角为°，，
，则
等于（
）
A．5
B．4
C．3
D．1
解析：
总结升华：
．
类型三：夹角问题
例4．（1）已知，求向量与向量的夹角．
（2）已知，夹角为，则
．
解析：
总结升华：
．
例5．已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角．
解析：
举一反三：
【变式1】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角．
解析：
总结升华：
．
【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角．
解析：
类型四：综合应用问题
例6．已知向量．
（1）若
；（2）求的最大值
．
解析：
例7．设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，如图所示，求证：．
思路点拨：由向量的数量积的定义可知：两向量、的数量积
（其中是、的夹角），它可以看成与在的方向上的投影之积，因此要证明等式可转化成：，而对该等式我们采用向量方法不难得证．
解析：
举一反三：
【变式1】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：．
思路点拨：如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可．因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证．
解析：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）向量在几何中的应用：
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
（二）向量在物理中的应用：
（1）向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；
（2）向量在速度分解与合成中的作用．
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
?
理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
?
了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
?
掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
?
能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
?
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
?
会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．
重点难点：
?
重点：数量积的运算，以及运用数量积求模与夹角．
?
难点：用向量的方法解决几何、物理等问题．
学习策略：
?
学习本专题内容，需要复习平面向量基本定理、平面向量的坐标表示、平面向量的坐标运算；学习中注意向量的数量积、向量的数乘和实数的乘法这三种运算的区别与联系；平面向量的应用是向量的核心内容，向量的平行和垂直是向量间最基本最重要的位置关系，在平面几何、解析几何、物理等方面有着重要的应用．特别对不同的解题方法进行比较，从中体会向量方法的优越性所在．
二、学习与应用
（一）平面向量基本定理
如果是同一平面内两个
的向量，那么对于这个平面内任一向量，
一对
，使
，称
为的线性组合．
（1）其中叫做表示这一平面内所有向量的
；
（2）平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的
，并且这种分解是
的．
这说明如果且，那么
．
（3）当基底是两个互相
的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础．
（二）向量坐标与点坐标的关系
当向量起点在原点时，定义向量坐标为
坐标，即若A(x，y)，则=(
，
)．
（三）平面向量的坐标运算
运
算
坐标语言
加法与减法
记=(x1，y1)，=(x2，y2)=(
，
)，=(
，
)
实数与向量的乘积
记=(x，y)，则=(
，
)
（四）平面向量平行（共线）的坐标表示
设非零向量，则∥(x1，y1)=(x2，y2)，即，或
=0．
知识点一：
平面向量的数量积
（一）平面向量数量积（内积）的定义：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量
叫与的数量积，记作，即有=
．并规定与任何向量的数量积为
．
（二）一向量在另一向量方向上的投影：
叫做向量在方向上的投影．
要点诠释：
（1）两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
①两个向量的数量积是一个
，不是向量，符号由
的符号所决定．
②两个向量的数量积称为
积，写成；今后要学到两个向量的外积，而是两个向量的数量的积，书写时要严格区分．符号“·
”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替．
③在实数中，若，且，则；但是在数量积中，若，且，不能推出．因为其中有可能为0．
（2）投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为
值；当为钝角时投影为
值；当为直角时投影为
；当=0时投影为
；当=180时投影为
．
知识点二：向量数量积的性质
设与为两个非零向量，是与同向的单位向量．
（1）=
=
（2）
（3）当与同向时，
；当与反向时，
．
特别的
或
（4）
（5）
知识点三：向量数量积的运算律
（一）交换律：
（二）数乘结合律：
（三）分配律：
要点诠释：
（1）已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bca=c．但是；
（2）在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是
显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线．
知识点四：向量数量积的坐标表示
（一）已知两个非零向量，，
（二）设，则或
（三）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）．
类型一：数量积的运算
例1．已知下列命题：
①；
②；
③；
④
其中正确命题序号是
．
思路点拨：掌握平面向量数量积的含义，平面数量积的运算律不同于实数的运算律．
解析：
例2．已知，，若（1）；
（2）
；（3）
的夹角为30°，分别求．
解析：
举一反三：
【变式1】已知，求．
解析：
总结升华：
．
类型二：模的问题
例3．已知向量满足，且的夹角为60°，求．
解析：
总结升华：
．
举一反三：
【变式1】已知的夹角为°，，
，则
等于（
）
A．5
B．4
C．3
D．1
解析：
总结升华：
．
类型三：夹角问题
例4．（1）已知，求向量与向量的夹角．
（2）已知，夹角为，则
．
解析：
总结升华：
．
例5．已知是非零向量，若与垂直，与垂直，试求的夹角．
解析：
举一反三：
【变式1】已知是两个非零向量，同时满足，求的夹角．
解析：
总结升华：
．
【变式2】求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角．
解析：
类型四：综合应用问题
例6．已知向量．
（1）若
；（2）求的最大值
．
解析：
例7．设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂足分别为E、F，如图所示，求证：．
思路点拨：由向量的数量积的定义可知：两向量、的数量积
（其中是、的夹角），它可以看成与在的方向上的投影之积，因此要证明等式可转化成：，而对该等式我们采用向量方法不难得证．
解析：
举一反三：
【变式1】如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，PFCE是矩形，证明：．
思路点拨：如果我们能用坐标表示与，则要证明结论，只要用两向量垂直的充要条件进行验证即可．因此只要建立适当的坐标系，得到点A、B、E、F的坐标后，就可进行论证．
解析：
三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。
（一）向量在几何中的应用：
（1）证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件
（2）证明垂直问题，常用垂直的充要条件
（3）求夹角问题，利用
（4）求线段的长度，可以利用或
（二）向量在物理中的应用：
（1）向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用；
（2）向量在速度分解与合成中的作用．
“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。
总结规律和方法——强化所学
认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。
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