沪教版数学高一下春季班：第十六讲 数列求和 同步学案 （教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十六讲
课题
数列求和
单元
第章
学科
数学
年级
十
学习目标
理解数列前项和的意义，掌握等差数列与等比数列的前项和公式；会用等差数列与等比数列的知识解决简单的实际问题；掌握错位相减法、裂项相消法、分组求和和倒序相加法求数列前项和的方法，会判断通项公式具有什么特征时用什么求和方法；理解与的关系，培养观察能力和化归能力
重点
等差数列、等比数列的求和公式错位相减法、裂项相消法、分组求和和倒序相加法求数列前项和的方法
难点
错位相减法、裂项相消法、分组求和和倒序相加法求数列前项和的方法
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
利用常用公式求和
等差数列求和公式：
2、等比数列求和公式：
4、
公式法求和注意事项
（1）弄准求和项数的值；
（2）等比数列公比未知时，运用前项和公式要分类
错位相减法求和
这种方法在推导等比数列的前n项和公式时用到过，可推广用到求数列的前项和，其中分别是等差数列和等比数列.
倒序相加法求和
这是推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就恰好可以得到个
裂项相消法求和
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后通过做和重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，如：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
分组求和
分组求和有两种情况，一种是将数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可；另一种是将数列相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新数列(容易求和).
公式法求和
【例1】已知为等比数列前项和，，求
【难度】★★
【答案】，
即
【例2】已知为数列前项和，，求
【难度】★★
【答案】当时，时，，当时，；
综上，
【例3】在数列和中，，设、的公共项组成数列，求数列的前n项和
【难度】★★
【答案】设，，
【例4】已知，求。
【难度】★★
【答案】
【例5】已知数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，数列的前项和为．求证：对任意的，．
【难度】★★
【答案】（Ⅰ），，
又，数列是首项为，公比为的等比数列．
，　即.
（Ⅱ）．
．
（Ⅲ），
∴
则
．
，
∴对任意的，．
【巩固训练】
1.已知数列的通项公式为，求数列的前n项和.
【难度】★★
【答案】
2.在等差数列中，为数列的前n项的和，已知为数列的前n项和，求的值
【难度】★★
【答案】设等差数列的公差是d，则。
=
3.已知等差数列的首项为1，前10项的和为145，求
【难度】★★
【答案】
则
错位相减法求和
【例6】已知为等比数列前项和，，求.
【难度】★★
【答案】
，----------------①
-------------②
①—②，得
【例7】求数列前n项的和.
【难度】★★
【答案】由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积
设…………………………………①
………………………………②
①－②得
∴
【例8】求数列的前项和.
【难度】★★
【答案】
①
①得，
②
①-②得，
当时，；
当时，
【巩固训练】
1.数列的前项和为
【难度】★★
【答案】
2.已知数列通项公式，求数列前n项和。
【难度】★★
【答案】
等式左右两边同时乘以2得，
由②－①得，。
3.求的值
【难度】★★
【答案】
4.设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前n项和．
【难度】★★
【答案】（Ⅰ）设的公差为，的公比为，则依题意有且
解得，．所以，．
（Ⅱ）．……①
……②
②－①得
．
倒序相加法求和
【例9】求的值
【难度】★★
【答案】设………….
①
将①式右边反序得
…………..②
又因为
①+②得：
＝89
∴
S＝44.5
【例10】求和：
【难度】★★
【答案】
，
①
则
②
①+②得，
【例11】等差数列{}共10项，
，，求.。
【难度】★★
【答案
已知，
，两式相加，
得
，得
，
，
【例12】已知函数。
（1）若，求证：的值为常数；
（2）若
【难度】★★
【答案（1）∵
∴
，命题得证。
（2）由（1）可知，若，则，且，
又……①
……②
由①＋②可得，
【巩固训练】
1．求cos1°+
cos2°+
cos3°+···+
cos178°+
cos179°的值
【难度】★★
【答案】0
【解析】倒序相加cos1°+
cos179°
=0
，
cos2°+
cos179°=0
2．在各项均为正数的等比数列中，若的值.
【难度】★★
【答案】10
【解析】倒序相加
3.设，求：
⑴；
⑵
【难度】★★
【答案】（1）3；（2）2009
【解析】倒序相加
裂项法求和
【例13】求数列前n项和
【难度】★★
【答案】设数列的通项为bn，则
【例14】求的前n项和.
【难度】★★
【答案】
【例15】求的前n项和.
【难度】★★
【答案】
【例16】求数列的前n项和.
【难度】★★
【答案】设
则
＝
＝
【例17】求证：
【难度】★★
【答案】设
∵
∴
＝
＝＝＝
∴　原等式成立
③求和：
【例18】已知数列的前项和满足条件，其中．
（1）求证：数列成等比数列；
（2）设数列满足．若
，
求数列的前项和。
【难度】★★
【答案】(1)由题得
所以，
故有
又，解得，
所以，数列成等比数列
(2)由(1)得，则，
故有
所以
【例19】已知数列{an}：的值
【难度】★★★
【答案】∵
＝
＝
∴
＝
＝
【例20】求数列的前n项和。
【难度】★★★
【答案】由
，
。】
【巩固训练】
1．求的前n项和.
【难度】★★
【答案】
2.数列通项公式为则数列前n项和=
。
【难度】★★
【答案】
【解析】
3．
【难度】★★
【答案】
【解析】
4．的结果为
.
【难度】★★
【答案】
【解析】
5.数列{an}中，，又，求数列{bn}的前n项的和.
【难度】★★
【答案】
∵
　
∴
∴
数列{bn}的前n项和
＝
＝
分组求和法
【例21】求之和.
【难度】★★★
【答案】由于
∴
=
=
＝
＝
【例22】求数列的前n项和：，…
【难度】★★
【答案】设
将其每一项拆开再重新组合得
当a＝1时，＝
当时，＝
【例23】数列中，，求数列的前项和
【难度】★★
【答案】
【解析】分组求和
【例24】求
【难度】★★
【答案∵
⑴　当为偶数时，
；
⑵　当为奇数时，
综上所述，．】
【例25】数列{an}：，求S2002
【难度】★★★
【答案】设S2002＝
由可得
……
∵
∴　S2002＝
＝
＝
＝＝5
【例26】已知数列，，，，，，，…
求数列的前项和；
【难度】★★
【答案】当时，；
当时，；
当时，（）．
【27】已知数列满足，，求数列的前n项和；
【答案】由得
两式相减，得
所以数列{a2n－1}是首项为，公差为4的等差数．
数列{a2n}是首项为，公差为4的等差数列，
由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1
所以……………………6分
①当
……………………8分
②当为偶数时，
……………………10分
【巩固训练】
1.求数列的前项和.
【难度】★★
【答案】
2.求数列的前项和.
【难度】★★
【答案】
.
3.数列1，（1+2），（1+2+22），…，（1+2+22+…+2n-1）,…的前n项和等于（
）
A.2n
B.2n-n
C.2n+1-n-2
D.n·2n
【难度】★★
【答案】C
【解析】1+2+22+…+2n-1
4.已知等比数列的前项的和，数列满足
（1）求的值
（2）求数列的通项公式
（3）求和：
【难度】★★★
【答案】（1）
（2）
（3）
5.已知数列相邻的两项是关于的方程的两个根，
且，求
（1）设，试求数列的前项的和；
（2）试求数列的前项的和
【难度】★★
【答案】（1）
（2）
【解析】
6.在数列中，，求数列的前项和
【难度】★★
【答案】由，=
而,又是一个典型的错位相减法模型，
易得
=
数列综合问题
【例28】设，.
在中，正数的个数是
【难度】★★
【答案】100.
【解析】
【例29】已知数列满足.
若，求的取值范围；
若是公比为等比数列，，若求的取值范围；
若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
【难度】★★★
【答案】（1）由题得，
（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，
∴，∴，∴。
又∵，∴当时，对恒成立，满足题意。
当时，
∴①当时，，由单调性可得，，解得，
②当时，，由单调性可得，，解得，
（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，
∴，∴，∴
又∵，∴
∴，∴，解得，，
∴的最大值为1999，此时公差为
【例30】已知数列中，且点在直线上.
（1）求数列的通项公式；
（2）若函数求函数的最小值；
（3）设表示数列的前项和。试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？
若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）由点P在直线上，
即，且，数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列
，同样满足，所以
（2）
所以是单调递增，故的最小值是
（3），可得，
，
…………..
累加得：
，n≥2
∴
故存在关于n的整式g（x）=n,使得对于一切不小于2的自然数n恒成立
【巩固训练】
1.已知数列{cn}满足cn＝，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn<对于n∈N
恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
【难度】★★
【答案】由cn＝，
∴cncn＋2＝＝2，
∴Tn＝2＝2<3，
依题意要使Tn<对于n∈N
恒成立，只需≥3，即≥3，
解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，
所以m的最小值为3.
2.设数列的前项和为，且，
（1）设，求证是等比数列；
（2）设，求证是等差数列；
（3）求.
【难度】★★
【答案】（1），
（2）数列是以为首项，以为公差的等差数列，
（3）
3．设数列首项为，前项和满足：
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设数列公比为，作数列，使，求通项公式；
（3）对（2）中的数列，求：
【难度】★★★
【答案】（1）是一个首项为,公比为的等比数列，
（2），
（3）.
4．设等比数列的公比为，前项和为（）
（1）求公比的取值范围；
（2）设，记的前项和为，试比较和的大小.
【难度】★★
【答案】（1），
（2）当或时，，
当且时，，
当或时，.
5.已知数列{an}满足：
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当=4时，是否存在互不相同的正整数r，s，t，使得成等比数列？若存在，给出r，s，t满足的条件；若不存在，说明理由；
（3）设S为数列{an}的前n项和，若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围。
【难度】★★★
【答案】（1）当n＝1时，a1＝3．
当n≥2时，由a1＋＋＋…＋＝n2＋2n，
①
得a1＋＋
＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)．
②
①－②得：＝2n＋1，所以an＝(2n＋1)·λn－1，（n≥2）．
因为a1＝3，所以an＝(2n＋1)·λn－1
(n∈N
)．
…………………………
4分
（2）当λ＝4时，an＝(2n＋1)·4n－1．
若存在ar，as，at成等比数列，则[(2r＋1)
·4r－1]
[(2t＋1)
·4t－1]＝(2s＋1)2
·42s－2．
整理得(2r＋1)
(2t＋1)
4
r＋t
－2s＝(2s＋1)2．
…………………………
6分
由奇偶性知r＋t
－2s＝0．
所以(2r＋1)
(2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0．
这与r≠t矛盾，故不存在这样的正整数r，s，t，使得ar，as，at成等比数列……
8分
（3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1．
当λ＝1时，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n．
当λ≠1时，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1，
λSn＝
3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn．
(1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn
＝3＋2×
－(2n＋1)λn．
………………………
10分
要对任意n∈N
，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，
①当λ＝1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥2，结论显然成立；
②当λ≠1时，左＝(1－λ)Sn＋λan＝3＋2×
－(2n＋1)λn＋λan
＝3＋2×＝－．
因此，对任意n∈N
，都有≥·λn恒成立．
当0＜λ＜1时，只要≥λn对任意n∈N
恒成立．
只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥．
因此，当0＜λ＜1时，结论成立．
…………………………
14分
当λ≥2时，≥·λn显然不可能对任意n∈N
恒成立．
当1＜λ＜2时，只要≤λn对任意n∈N
恒成立．
只要有≤λ即可，解得1≤λ≤．
因此当1＜λ≤时，结论成立．
综上可得，实数λ的取值范围为(0，]．…………………………
16分
【解析】
解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路
(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成；(2)不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．数列求和主要考查分组求和、错位相减和裂项相消求和，特别是错位相减出现的机率较高．题型上以解答题为主.
在利用裂项相消法求和时应注意：
(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；
(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．
数列的通项，其前项和为，则为
.
【难度】★★
【答案】470
2．设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N
,求的最大值
【难度】★★
【答案】由等差数列求和公式得
，
（利用常用公式）
∴
＝＝
∴
当
，即n＝8时，
3．已知等差数列的前3项和为6，前8项和为
求数列的通项公式
设，求数列的前项和
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
4．设是数列的前项和，，.
⑴求的通项；
⑵设，求数列的前项和.
【难度】★★
【答案】
⑴，时，，
整理得，，
数列是以为公差的等差数列，其首项为
，；
⑵由⑴知，
5．求前项和：
（1）
（2）；
（3）；
（4）
【难度】★★
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
6．已知函数,数列{}满足
（1）求数列{}的通项公式;
（2）记,
求
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】（1）
（2）
7．数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项；
（2）求数列的前项和．
【难度】★★
【答案】；
8．设数列满足，．
（1）求数列的通项；（2）设，求数列的前项和．
【难度】★★★
【答案】（1）
验证时也满足上式，
（2），
，
9．求和：
【难度】★★
【答案】
10．求数列，，，…，的前n项和
【难度】★★★
【答案】1–
知识梳理
例题解析
反思总结
课后练习
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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