沪教版数学高一下春季班：第十七讲 数学归纳法 同步学案 （教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十七讲
课题
数学归纳法
单元
第章
学科
数学
年级
十
学习目标
1．掌握数学归纳法证明的一般步骤；2．能应用归纳——猜想——论证的解题思路，解决相应的数学问题
重点
1．数学归纳法证明的一般步骤；2．数学归纳法证明的应用．
难点
数学归纳法证明的应用．
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
1．归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)特点：特殊→一般
2．不完全归纳法:
根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法
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3．完全归纳法:
把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法,
与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
4．数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：
先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN
，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法
5．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N
，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确　
数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题:
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
证明的要点是“二凑”：一凑假设，当n=k+1时，把所证命题凑成可以应用归纳假设的形式；二凑结论，由于所证结论是已知的，在证明过程中一步步向结论靠近。
6．数学归纳法的应用：
①证恒等式；
②不等式的证明；
③整除性的证明；
④探求平面几何中的问题；
⑤探求数列的通项
7.
运用数学归纳法时易犯的错误：
①对项数错误的估算；②没有利用归纳假设（即使是用正确的方法证明，但是只要没有应用到假设，这种证法不是数学归纳法）；③关键步骤含糊不清④起始项。
1、数学归纳法
【例1】用数学归纳法证明“对于足够大的正整数，总有，则所取的第一个值最小应是____．
【难度】★
【答案】10
【例2】用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N
），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是（
）
A）1
B）1+a
C）1+a+a2
D）1+a+a2+a3
【难度】★
【答案】C
【例3】用数学归纳法证明，在第二步从到时，左边应添加的项为（
）．
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】D
【例4】用数学归纳法证明时，由“到”不等式左端的变化是（
）．
、增加项
、增加、两项
、增加、两项，且减少一项
、以上结论均错
【难度】★
【答案】时，左边=，
时，左边=
【例5】用数学归纳法证明能被13整除时，由假设时成立推成立时，应增加的式子为
．
【难度】★★
【答案】
【例6】已知为正偶数，用数学归纳法证明
时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（
）．
、时等式成立
、时等式成立
、时等式成立
、时等式成立
【难度】★
【答案】
【例7】已知是定义域为正整数集的函数，对于定义域内任意的，若成立，则成立，下列命题成立的是（　　）．
、若成立，则对于任意，均有成立；
、若成立，则对于任意的，均有成立；
、若成立，则对于任意的，均有成立；
、若成立，则对于任意的，均有成立．
【难度】★
【答案】
因为若成立，则当时，均有成立，所以错；
因为若成立，则当时，均有成立，所以错；
原命题的逆否命题为：设是定义在正整数集上的函数，且满足：当不成立时，总可推出不成立．
因此，若不成立，则当时，均有不成立，显然也是错误的．
因为若成立，则当时，均有成立，故对．
【例8】已知数列：，依它的前项的规律，则的值为______________．
【难度】★★
【答案】
【解析】将数列分组：（），），（，，），（，，，），…，第组有项，各项分子依次为，，…，，，分母依次为，，…，，，分子和分母之和为．所以，和分别是第14组的第8和第9个数，分子分母之和为，所以，，．
【例9】对于集合，定义集合，记集合中的元素个数为．若是公差大于零的等差数列，则________．
【难度】★★★
【答案】
【解析】，，；
，，；
，，；…；
数归，得成公差为2的等差数列
【巩固训练】
用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取_____．
【难度】★
【答案】3
用数学归纳法证明
第一步即证不等式________成立；
第二步证明从到，左端增加的项数是_____．
【难度】★
【答案】；
设数列满足当成立时，总可以推出成立，下列四个命题：
若，则
若，则
若，则
若，则
其中正确的命题是_________（填写你认为正确的所有命题序号）．
【难度】★
【答案】（2）（3）（4）
证明命题“”的步骤如下：
I当时命题显然成立，II假设时有那么当时，也成立，根据I,II对于命题都正确．上述数学归纳法是错误的，关键错误是_______．
假设的写法不正确
从的推理过程没有使用归纳假设
推理不严密
时，验证过程不具体
【难度】★
【答案】（2）
用数学归纳法证明“”，从“”到“”左端需增乘的代数式为（
）．
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】B
用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是（
）．
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】C
用数学归纳法证明，“为足够大的自然数时，”，在验证不等式成立所取的第一个值为，则最小值为（
）．
A．1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★
【答案】C
用数学归纳法证明与自然数有关的命题时，已知该命题在是正确的，并且在假设时命题是正确的条件下，已经证明了命题在时也正确，则下列关于命题的说法，正确的是（
）．
A．命题对所有的正整数都成立
B．命题对大于或等于2的正整数都成立
C．命题对所有的正奇数都成立
D．命题对所有的正偶数都成立
【难度】★★
【答案】D
下列关于等式论述中，正确的是（
）．
A．为任何正整数时都成立
B．仅当时成立
C．当时成立，时不成立
D．仅当时不成立
【难度】★★
【答案】B
设，那么
．
【难度】★★
【答案】
【难度】★★
【答案】
2、数学归纳法的应用举例
【例10】用数学归纳法证明：．
【难度】★
【答案】证明：（1）当时，左边，右边，等式成立．
（2）假设当时，等式成立，即，
那么当时，左边
右边，
所以当时，等式也成立．
由（1）（2）可知对任意的，等式都成立．
【例11】用数学归纳法证明：．
【难度】★
【答案】证明：（1）当时，左边，右边，左边右边，等式成立．
（2）假设当时，等式成立，即，
那么当时，左边
右边，等式也成立．
由（1）（2）可知对任意的，等式都成立．
【例12】是否存在常数使得对任意的正整数都成立，并证明你的结论．
【难度】★★
【答案】解：假设存在，令，则，即，得．
下面用数学归纳法证明，对任意，都成立．
（1）当时，左边右边，等式成立．
（2）假设当时，等式成立，即，
那么当时，左边
右边．
所以，当时，等式也成立．
故存在常数，使得等式对任意的正整数都成立．
【例13】证明：．
【难度】★★
【答案】
综合（1）（2）可得命题成立．
【例14】求证：．
【难度】★★
【答案】证明：（1）当时，左边右边，不等式成立．
（2）假设当时，不等式成立，即，
那么当时，左边
右边，不等式也成立．
由（1）（2）可知对任意的，不等式都成立．
【例15】求证：。
【难度】★★★
【解析】证明：（1）当n=1时，，原不等式成立
（2）设n=k时，原不等式成立
即成立，当n=k+1时，
即n=k+1时，命题成立
综合（1）、（2）可得：原命题对恒成立。
【例16】记，求证：．
【难度】★★★
【答案】证明：（1）当时，，
所以，当时，命题成立．
（2）假设当时，命题成立，即，
那么当时，
．
故当时，命题也成立．
由（1）（2）可知，对任意的，
【例17】已知函数，求证：对于任意不小于3的自然数，都有．
【难度】★★
【答案】证明：（1）当时，，不等式成立．
（2）假设当时，命题成立，即，所以，
即，所以．
那么当时，
．
因为，所以，即当时，命题也成立．
由（1）（2）可知，对任意的，都有．
【例18】用数学归纳法证明：能被14整除．
【难度】★★
【答案】（1）当时，能被14整除，
　　（2）假设时，能被14整除，则当时
其中
和都能被14整除，
也能被14整除．
综上所述，原命题对都成立．
【例19】用数学归纳法证明：可被整除．
【难度】★★
【答案】证明：（1）当时，，
所以，当时，可被整除．
（2）假设当时，命题成立，即可被整除，
那么当时，
．
因为可被整除，所以也能被整除，即当时，命题也成立．
由（1）（2）可知，对任意的，可被整除．
【例20】是否存在正整数使得对任意正整数都能被整除，若存在，求出最大的的值，并证明你的结论．若不存在，说明理由．
【难度】★★
【答案】解：由，得，，，，由此，猜想．
下面用数学归纳法证明．
（1）当时，显然成立．
（2）假设当时，能被36整除；
那么当时，，
其中能被36整除，又由于是2的倍数，所以也能被36整除，
所以，当时，也能被36整除．故存在，的最大值为36．
【例21】平面内有条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这条直线将平面分成__________部分．
【难度】★★
【答案】条直线把平面分成的区域数记为
【例22】平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不交于同一点，求证：这个圆把平面分成个部分．
【难度】★★★
【答案】证明：（1）当时，一个圆把平面分成两部分，此时，即命题成立．
（2）假设当时命题成立，即个圆把平面分成个部分．
那么当时，这个圆中的个圆把平面分成个部分．
第个圆被前个圆分成段弧，这段弧中的每一段把所在的部分分成了2块，
这时共增加个部分，故个圆把平面分成个部分，
这说明当时命题也成立．
综上所述，对一切，命题都成立．
【例23】如图是一个数表，第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行，第10个数为______
【难度】★★
【答案】
【例24】已知，求数列的前项和．
【难度】★★
【答案】解：，
，
，
，
……
猜想．
下面用数学归纳法证明这一猜想．
（1）当时，，等式成立．
（2）假设当时，等式成立，即，
那么当时，
，等式也成立．
由（1）（2）可知对任意的，都成立．
【例25】已知数列的各项均为正数，且满足，，，猜测并证明数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】，，，猜测，
证明：（1）当时，，等式成立；
（2）假设当时，等式成立，即，那么当时，
等式也成立．
根据（1）和（2）可以断定，等式对任何都成立．
【例26】正项数列的前项和为，且．
（1）求、、、，并由此猜测；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【难度】★★
【答案】解：（1）由，得．因为，所以．
由，得，将代入，得，解得．
同理，得，．
猜测：．
（2）用数学归纳法证明．
①当时，，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．
那么当时，，
即，
所以，，
整理得
，
解得，
．
所以当时，等式也成立．
由①②可知对任意的，．
【例27】若数列满足，，求证：
（1）；（2）数列是递增数列．
【难度】★★
【答案】证明：（1）①当时，，成立．
②假设当时，，则当时，，也成立．
由①②可知，对任意的，都有．
（2）因为，
又由于且，所以，即．
所以，数列是递增数列．
【例28】设表示满足不等式的自然数的个数．
（1）求的解析式；
（2）记，求的解析式；
（3）令，试比较与的大小．
【难度】★★★
【答案】解：（1）原不等式．
所以．
（2）．
（3）因为，所以
时，；时，；时，；
时，；时，；时，．
猜想：当时，．下面用数学归纳法给出证明：
①当时，，已证．
②假设时，结论成立．即，．
那么当时，，而．
在范围内，恒成立，则，即．
由①②可知，猜想正确，即时，．
综上所述，当时，；当时，；当或时，．
【例29】已知数列中．
（1）求的通项公式；
（2）若数列中．证明：．
【难度】★★★
【解析】（1）由题设：，
．
∴数列是首项为，公比为的等比数列．
∴．
即的通项公式为：，．
（2）用数学归纳法证明．
1）当时，∵，．∴，结论成立．
2）假设当时，结论成立，即，也即．
当时，．
又，
∴．
也就是说，当时，结论成立．
根据1）和2）知，．
【巩固训练】
用数学归纳法证明第一步应验证（
）
A.
B.
C.
D.
【难度】★★
【答案】C
；
；
；
；
……
从中找出一般规律的数学表达式：
．
【难度】★★
【答案】
平面上有个圆，它们交点个数记为，则增加第个圆后，交点个数最多增加＿＿＿＿＿＿＿个。
【难度】★★
【答案】第个圆和前面个圆中每个圆最多有2个交点，所以交点个数最多增个
已知数列，为其前和，计算得
，
，
，由此猜想
．
【难度】★★
【答案】，，，
用数学归纳法证明：，．
【难度】★★
【答案】（1）当时，等式左边，等式右边，所以，等式成立．
（2）假设时，等式成立，即
那么，当时，
即时等式成立．
根据（1）和（2），可知对任何，等式都成立．
用数学归纳法证明：能被整除．
【难度】★★
【答案】（1）当时，能被9整除，
（2）假设时，能被9整除，则当时，因为
其中和都能被9整除，
也能被9整除．
综上所述，原命题对都成立．
首项为正数的数列满足，证明：若为奇数，则对一切，都是奇数．
【难度】★★
【答案】
设，定义，，求证：对任意，有．
【难度】★★
【答案】证明：①时，，，
②假设当时，结论成立，即
时结论成立
综上，根据①②，
【难度】★★
【答案】
10.
已知n次多项式如果在一种算法中,计算
的值需要k-1次乘法,计算的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),
（1）那么计算的值共需要______次运算.
（2）下面给出一种减少运算次数的算法:.利用该算法,计算的值共需要______次运算.
【难度】★★
【答案】（1）计算的值需要k次运算(乘法),故计算需要
次运算;
（2）由知计算比计算要多两次运算.又也是两次运算.故计算的值需要2n次运算.
第一种算法为完全展开形式，第二种带有括号，所以计算次数减少
11.设数列的定义如下：，试证，这里表示不大于的最大整数．
【难度】★★
【答案】首先用数学归纳法证明：当时，
当时，成立
假设当时，命题成立，令
命题成立
综合（1）（2）可知，
是整数（数学归纳法），是真分数
12.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，…．
（Ⅰ）求a1，a2；
（Ⅱ）｛an｝的通项公式．
【难度】★★
【答案】(Ⅰ)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，
于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝．
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，
于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝．
(Ⅱ)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
即　　Sn2－2Sn＋1－anSn＝0．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得
Sn－1Sn－2Sn＋1＝0　　　①
由(Ⅰ)知S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝．
由①可得S3＝．
由此猜想Sn＝，n＝1，2，3，…．　　　　　
下面用数学归纳法证明这个结论．
(i)n＝1时已知结论成立．
(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，
故n＝k＋1时结论也成立．
综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．　　
于是当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
又n＝1时，a1＝＝，所以
｛an｝的通项公式an＝，n＝1，2，3，…．
（1）数学归纳法证明经常出现的错误是：验证马虎，添项出错，论证跳步，格式不符，结论不全，没用利用归纳假设．解决的方法是理解数学归纳法原理，严格遵守格式要求．
证明的要点是二“凑”：一“凑”假设，当时，把所证命题凑成可以应用归纳假设的形式；二“凑”结论，由于所凑结论是已知的，在证明过程中一步步向结论靠近．
（2）归纳——猜想——论证是发现数学规律的完整过程，也是发现数学规律的重要途径．这种方法的一般解题思路是：通过计算，得到若干数据，然后根据不完全归纳法猜想出问题结论，再用数学归纳法严格论证，这种方法在解决数列探索性和存在性问题时，有着广泛应用．
1．已知，求数列的前项和．
【难度】★★
【答案】
2．用数学归纳法证明下述整除问题：
求证：能被6
整除.
【难度】★★
【答案】[证明].
当时，13+5×1=6能被6整除，命题正确；
.
假设时命题正确，即能被6整除，
∴当时，
，
∵两个连续的整数的乘积是偶数，能被6整除，
能被6整除，即当时命题也正确，
由知命题时都正确.
3、用数学归纳法证明下述不等式；
【难度】★★
【答案】[证明].
当n=2时，左边，
∴当n=2时，不等式正确；
.
假设当不等式正确，即，
∴当时，左边
，
∴当时不等式也正确；
根据知对，且，不等式都正确.
4、设在同一平面内的个圆，其中每两个圆都相交于不同的两点，并且每三个圆都不相交于同一个点，若个圆把平面分成个部分，那么个圆将平面分成的部分＝＋＿＿＿＿＿＿＿＿。
【难度】★★
【答案】因为第个圆与已有个圆共有个点，这些交点把第个圆分成段圆弧，每段圆弧将它所在平面区域分成两部分，因此总数增加了个部分。
5.在数列中，，．
（1）求、、；
（2）猜想，并用数学归纳法证明你的猜想．
【难度】★★★
【答案】（1），，；
（2）猜测，证明略
6.试比较与的大小．
【难度】★★
【答案】当时，；当时，；当时，
7．正项数列的前项和为，且．
（1）求、、，并由此猜测；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．
【难度】★★★
【答案】（1），，，猜测；
（2）证明略
8.已知函数，若，，…，，求的解析式．
【难度】★★★
【答案】，，，
猜想，，证明略
知识梳理
例题解析
反思总结
课后练习
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精品试卷·第
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