2.正比例和反比例
第1课时 正比例
教学内容
教科书P45例1，完成教科书P49“练习九”中第1、2、4题。
教学目标
1.从具体实例中认识成正比例的量，初步理解正比例的意义及字母表达式，学会根据正比例的意义来判断两种相关联的量是不是成正比例关系。
2.让学生在认识成正比例的量的过程中，学会用“函数”的眼光去理解数量关系中量与量的变化规律，发现两个变量背后的不变量，培养学生的分析能力和抽象概括能力。
3.渗透函数思想，初步建立实物之间互相联系的观念。
教学重点
理解正比例的意义，并会判断两种量是否成正比例关系。
教学难点
在探究中抽象出正比例的意义，渗透函数思想。
教学准备
课件。
教学过程
一、提供素材，感受相关联的量
1.复习导入。
师：已知路程和时间，怎样求速度？
【学情预设】学生会说出:速度=路程÷时间。
师：我们把路程和时间这样有关系的两种量叫做“相关联的量”。你还能举出相关联的量的例子吗？
【学情预设】学生可能会说出:总价÷数量=单价，总价和数量是两种相关联的量；工作总量÷工作时间=工作效率，工作总量和工作时间是两种相关联的量；一本书看了的页数+剩下的页数=总页数，看了的页数与剩下的页数是两种相关联的量等等。只要学生
教学笔记
说出的两个量是相关联的，都要予以肯定。
2.引入课题。
师：这节课我们一起来研究有关两种相关联的量的知识。（板书课题：正比例）
【设计意图】充分利用学生的认知经验和生活经验，在熟悉的数量关系的情境中导入新课，理解“两种相关联的量”的意义，为后续的学习作铺垫。
二、合作学习，探究成正比例的量
1.初步理解正比例的意义。
(1)课件出示教科书P45例1。
(2)学生独立思考后，小组交流。
(3)汇报交流。
【学情预设】预设1：表中有总价和数量两种量。
预设2：彩带销售的数量增加，总价就相应增加；彩带销售的数量减少，总价就相应减少。
预设3：相应的总价和数量的比分别为，比值都是3.5。
教师根据学生的回答，板书总价和数量的比。
师：根据大家的汇报，我们发现总价和数量是两种相关联的量，总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数量的比值都是3.5，因此我们就说它们的比值总是一定的。
(4)揭示课题。
教学笔记
【教学提示】
正比例的意义比较抽象，让学生结合具体数量表达正比例的意义，避免学生不理解意义而生搬硬套。
师：你知道总价与数量的比值3.5表示什么吗？
【学情预设】学生会说出：总价÷数量=单价，3.5表示每米彩带的单价。
师：对，=单价，现在单价一定（板书），那么总价与数量这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。这就是今天我们学习的内容。(出示课件)
师：请大家读一读这段话，然后和同桌互相说一说正比例的意义。
2.对比辨析，深入理解正比例的意义。
(1)课件出示习题。
(2)师：两个表中的量有什么相同的地方？
【学情预设】预设1：都有时间和路程这两种量。
预设2：汽车行驶的路程随时间的变化而变化，自行车行驶的路程也随时间的变化而变化。
预设3：汽车的路程和时间是两种相关联的量，自行车的路程和时间也是两种相关联的量。
(3)师：那我们是否可以说两个表中的路程与时间这两种量都成正比例关系呢？你能确定汽车和自行车6小时行驶的路程是多少吗？请大家思考后，先在小组内说一说。
教学笔记
【教学提示】
这个环节是在学生初步理解正比例的意义的基础上设计的，要注意引导学生在对比中主动观察、分析和讨论，使学生对正比例关系的理解从初步到深刻。
【学情预设】预设1：我用路程÷时间=速度，求出汽车的速度是相同的，都是80千米/时，而自行车的速度是不同的，有时是20千米/时，有时是12千米/时。所以表1中路程与时间成正比例关系，表2中路程与时间不成正比例关系。
预设2：汽车的速度不变，可以判断6小时行480km；而自行车的速度不确定，6小时行的路程也就不确定。
师：我们所说的速度实际上也可以看作是路程和时间的比值，那么你们能分别写出这两种车的路程和时间的比并算出比值吗？
学生写完后展示。
师：根据我们的分析，知道了表1中汽车行驶的时间和路程是两种相关联的量，并且它们对应数量的比值一定，所以表1中路程与时间成正比例关系；表2中自行车行驶的时间和路程也是两种相关联的量，但它们对应数量的比值不一样，也就是不一定，所以表2中路程与时间不成正比例关系。
板书：=速度（一定）
【设计意图】在例题的基础上，再增加一些素材，通过探究路程与时间这两种相关联的量的关系，帮助学生进一步体会成正比例关系的要点：第一，有两种量，而且是相关联的量，其中一种量随着另一种量的变化而变化；第二，两种量之间的比值不变。通过具体的实例，学生认识了什么是变化的量，它们是怎样变化的，哪些是不变的量，理解并掌握变中有不变的数学思想。
3.归纳判断两种量是否成正比例关系的条件。
师：(课件出示例1表格和汽车行驶表格)想一想，每张表中给我们出示了几种量？这几种量有什么关系？
教学笔记
【设计意图】表中都有两种相关联的量，一种量变大，另一种量也变大，一种量变小，另一种量也变小，而且这两种量的比值一定。第一个表格中是单价一定，第二个表格中是速度一定。
师：我们怎样来判断两种量成正比例关系呢？
师生一起总结：首先判断两种量是否是相关联的量,再看两种量的商是否为定值。(教师板书：两种相关联的量的比值一定，这两种量就成正比例关系。)
4.概括表达式。
师：观察成正比例的两种量的数量关系，如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值(一定)，你能概括出正比例关系的表达式吗？
【学情预设】（一定）（教师根据学生的回答板书：）
【设计意图】有了前面的学习,学生对正比例关系式已经有了感知，在学生已有的符号化经验基础上,很容易概括出表达式。
三、巩固练习，强化认知
1.课件出示教科书P49“练习九”第1题。
学生完整解答问题后，再交流分享。
【学情预设】指导学生完整呈现解决问题的过程。首先观察表格，明确电费和用电量是相关联的量。然后计算和比较几组相对应的数的比值，理解比值的意义是每千瓦时电的单价。最后，根据正比例关系的意义作出判断：因为=电的单价(一定)，所以电费和用电量成正比例关系。
注意指导学生规范的表达方式和书写格式。
2.课件出示教科书P49“练习九”第4题。
师：现在你能用所学的知识完成这个表格吗？
学生独立解答后交流。
【学情预设】这道题是已知两种量成正比例关系，利用两种量
教学笔记
中的已知量来求未知量。应尽量引导学生严格按照正比例关系的定义来列出比例式，最后解比例。
课件出示正确解答。
3.学生独立完成教科书P49“练习九”第2题。
师：这道题要求我们判断每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。你会依据什么条件来判断？
【学情预设】指导学生说出：首先判断两种量是否相关联，然后再看两种量对应的数的比值是否为定值。
同桌间互相交流分享。
【设计意图】给学生练习的空间，加强学生对成正比例的量的认识及正比例意义的理解，在对知识的实际应用中获得成功的体验，实现对新知的巩固。
四、课堂小结
师：通过本节课的学习，你们有什么感受和收获呢？你能说出生活中有哪些成正比例的量吗？
【学情预设】学生可能说出：工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系；正方形的周长与边长成正比例关系；圆柱的高一定，圆柱的侧面积与圆柱的底面周长成正比例关系……
(教师及时进行指导和评价)
板书设计
教学反思
教科书受篇幅的限制只给出一个例题，对于学生来说，充分理解正比例的意义是不够的。所以设计中又增加了一个素材，分析比
教学笔记
【教学提示】
重视观察与交流，让学生充分表达自己对量的变化规律的发现和概括。
值一定的相关联的两种量的变化规律，给学生充分的自主学习空间，在学生汇报交流时教师通过适时引导、恰当提问加深学生对正比例知识的理解。但学生在判断两种量是否成正比例关系时，还是经常会出现错误。一是部分学生对两种量的数量关系不熟；二是部分学生往往关注的是两种量之间是否存在比的关系，而忽略了两种量是否是相关联的量，以及它们的比值是否一定这两个要素。
PAGE
1(共22张PPT)
已知路程和时间，怎样求速度？
速度 = 路程÷时间
已知总价和数量，怎样求单价？
单价 = 总价÷数量
已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？
工作效率 = 工作总量÷工作时间
R·六年级下册
第1课时 正比例
2.正比例和反比例
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
观察上表，回答下面的问题：
（1）表中有哪两种量？
（2）总价是怎样随着数量变化而变化的？
（3）相应的总价与数量的比分别是多少？
比值是多少？
通过观察上表可知：
（1）有数量和总价两种相关联的量。
（2）数量增加，总价增加；数量减少，
总价也减少。
数量
总价
（3）相应的总价和数量的比分别为：
=
=
=
=
=
=
=
=
=
3.5
…
比值3.5，实际就是彩带的单价。用式子表示它们的关系就是：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
时间（时） 1 2 3 4 5 6 …
路程（千米） 80 160 240 320 400 …
一辆汽车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。
一辆自行车在公路上行驶，行驶的时间和路程如下表。
时间（时） 1 2 3 4 5 6 …
路程（千米） 20 24 30 44 53 …
时间（时） 1 2 3 4 5 6 …
路程（千米） 80 160 240 320 400 …
一个量变大，另一个量也变大；一个量变小，另一个量也变小；而且这两种量的比值一定。
成正比例的量的三要素：
第一：两种相关联的量。
第二：两个量的比值一定。
如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：
1.下面是小林家去年上半年每月用电量情况。
（1）分别写出各月电费与用电量的比， 比较比值的大小。
（2）说明这个比值所表示的意义。
（3）电费与相应的用电量成正比例关系？ 为什么？
（1）60∶120＝65∶130＝55∶110＝60∶120
＝65∶130＝75∶150＝0.5
（2）比值表示每千瓦时的电费。
（3）成正比例关系，
因为电费∶用电量=每千瓦时的电费（一定），
比值一定。
2.已知y与x成正比例关系，在下表中的空格中填写合适的数。
x 1 2 5 10 20
y 2.5 7.5 20 37.5
5
3
12.5
8
25
15
50
3.判断下面每题中的两种量是否成正比例关系，并说明理由。
(1)《小学生作文》的单价一定，订阅的费用与订阅的数量。
订阅的费用与订阅的数量是两种相关联的量，
，
所以订阅的费用与订阅的数量成正比例关系。
（2）正方体的表面积与它的棱长。
正方体的表面积与它的棱长是两种相关联的量,
，棱长是一个变量，
它们的比值不一-定，所以正方体的表面积与它的棱长不成正比例关系。
（3）一个人的身高与他的年龄。
一个人的身高与他的年龄是两种相关联的量，但它们的比值不一定，所以一个人的身高与他的年龄不成正比例关系。
（4）小麦每公顷产量一定，小麦的总产量与公顷数。
小麦的总产量与公顷数是两种相关联的量，
，
所以小麦的总产量与公顷数成正比例关系。
（5）书的总页数一定，未读的页数与已读的页数。
未读的页数与已读的页数是两种相关联的量，
未读的页数+已读的页数=书的总页数，
这两种量是和一定，不是比值一定，所以未读的页数与已读的页数不成正比例关系。
同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？
谢谢！
