沪教版数学高一下春季班：第十八讲 数列的极限 同步学案 （教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十八讲
课题
数列极限
单元
第章
学科
数学
年级
十
学习目标
1.掌握极限的概念和几个重要的极限；2.掌握极限的基本类型和求法；3.掌握无穷递缩等比数列的各项和的求法；4.能够利用极限去解决实际应用问题。
重点
1．能够利用极限的求法灵活的求解数列中的极限问题2．能够将极限应用到实际问题中.
难点
1．能够利用极限的求法灵活的求解数列中的极限问题2．能够将极限应用到实际问题中.
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
1
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限地接近于0），那么就说数列以为极限
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)记作．（注：不一定是中的项
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)）
2
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
几个重要极限：
（3）
（2）（C是常数）
（4）
3．极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系数；
指数型(型），通过变形使得各式有极限；
根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；
4.
数列极限的运算法则:
如果那么　　
　　
5．无穷等比数列的各项和
（1）公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n项的和，当n无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
（2）
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1、极限的概念及运算
【例1】下列四个命题中正确的是（
）
A
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)若an2＝A2，则an＝A
B
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)若an＞0，an＝A，则A＞0
C
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)若an＝A，则an2＝A2
D
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)若（an－b）＝0，则an＝bn
【难度】★★
【答案】C
【解析】排除法，取，排除A；取，排除Ｂ；取，排除D．答案:C
【例2】（1）=__________
；
（2）=____________；
（++…+）=__________
；
（4）［n（1－）（1－）（1－）…（1－）］=
【难度】★★
【答案】（1）0；（2）；（3）1；（4）2.
【解析】（1）原式；
（2）
；
原式；
（4）.
【例3】若，则实数的值等于（
）
A.
4
B.
6
C.
8
D.
0
【难度】★★
【答案】B
【例4】（1）已知，求；
（2）已知,
,求；
【难度】★★
【答案】（1）1；（2）3.
【解析】（1）；
（2）设，解得
所以.
【例5】已知且，求的取值范围。
【难度】★★
【答案】
【解析】右边=，左边=，当，即时，左边=右边。
【例6】求
；
【难度】★★
【解析】
【例7】已知,求实数的值.
【难度】★★
【答案】a=1,b=-1
【解析】.
【例8】计算.
【难度】★★
【解析】从结构看，应转化为已知的结论形式。转化方法是用最高次幂同除分子和分母。
原式
【例9】
证明
：()=1.
【难度】★★★
【解析】
【例10】计算
[]
.
【难度】★★★
【答案】
【解析】，因而，原式＝.
【巩固训练】
1.下列极限正确的个数是（
）
①
②
③
④C=C（C为常数）
A
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
2
B
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
3
C
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
4
D
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
都不正确
【难度】★
【答案】B
2.【2016上中期末·2】
=　　．
【难度】★
【答案】
====5．
3.求下列式子的极限：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）;
（5）
（－n）
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）；
（3）；（4）；（5）.
【解析】（1）的分子有界，分母可以无限增大，因此；
（2）的分子次数等于分母次数，极限为两首项(最高项)系数之比；所以
（3）的分子次数小于于分母次数，所以.
（4）
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
（5）
4.(1)
的值是__________
.(2)__________
.
【难度】★★
【答案】0,0
5.__________
.
【难度】★★
【答案】1
【解析】原式＝
6.已知，的取值范围是__________
.
【难度】★★
【答案】
【解析】，,
7.已知是实常数，且,
,则的值是__________
【难度】★★
【答案】6
【解析】
由，得.由,得
.
8.
求极限：
【难度】★★★
【解析】当时，原式；当，时，原式；当时，原式；综上所述.
数列相关的极限
【例11】一个无穷递缩等比数列，其各项之和为，各项的平方和为，则该数列的首项_________，公比________.
【难度】★
【答案】；
【解析】设该数列的首项和公比分别为,，则
，得，代入(1)得.
【例12】已知数列，若存在，则的取值范围是_________.
【难度】★
【答案】
【例13】无穷等比数列
的和为_________.
【难度】★★
【答案】
【例14】中，且对任意大于1的正整数点（,）在直线上，则=_____________.
【难度】★★
【答案】3
【解析】由题意得
.∴是公差为的等差数列，.
.
【例15】数列中，
，则数列的极限值
（
）
A.等于0
B.等于1
C.等于0或1
D.不存在
【难度】★★
【答案】
B
【例16】已知等比数列的首项为,公比为,且有,求的取值范围
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】且或
【解析】
,
∴一定存在
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)∴或.
当时，,∴.当时，由得,∴.∴且
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
综上,得且或.
【例17】已知数列为等差数列，且，则(++…+)等于
(
)
A.2
B.
C.1
D.
【难度】★★
【答案】C
【例18】在等比数列中，是数列前项和，公比，，求.
【难度】★★
【答案】C
【解析】当时，；当时，
当时，；当时，.
【例19】已知各项均为正数的等比数列的首项，公比为，前n项和为，若，求的取值范围。
【难度】★★
【答案】
【解析】当时，，满足条件；
当时，
当时，，满足条件
当时，，不满足条件
当时，，不满足条件
综上所述，
【例20】数列和都是公差不为0的等差数列，且=3,求的值为
.
【难度】★★
【答案】
【解析】由，∴
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【例21】已知数列是由正数构成的数列，，且满足，其中n是大于1的整数，是正数．
（1）求数列的通项公式及前n和；（2）求的值．
【难度】★★
【解析】（1）由已知得,∴是以，公比为的等比数列，则.
∴
（2）
,①当时，原式;
②当时，原式;
③当时，原式
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【例22】已知数列满足且，设.
（1）求的通项公式；（2）求（+++…+）的值.
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）时，由,得.
时，代入得.同理,再代入,有,由此猜想.要证,只需证,
①当时，成立,②假设当时，成立.
那么当时，由,得
∴当时，正确，从而.
（2）
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【例23】已知、都是无穷等差数列,其中是与的等差中项,且
=，求极限（++…+）的值.
【难度】★★
【答案】
【解析】、的公差分别为.
∵，即.
又，即，
∴.∴.
∴.∴原式=
【例24】数列中,的极限存在，，则等于（
）
A
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
B
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
C
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
D
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★★
【答案】C
【解析】
∴原式.
∴.∴.
【例25】若数列的通项公式是则
等于（
）
A.
B.
C.
D.
【难度】★★★
【答案】C
【解析】
即
∴,
∴
【例26】是无穷等比数列，且所有项和存在，解答下列问题：
（1）若，求的范围；
（2）若，求公比的范围。
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）当时，；当时，
【解析】（1）由条件得，即，由，得
（2）由条件得，
当时，
当时，,
当时，，满足条件
当时，
,趋近于无穷大时，无穷大，恒大于
当时，，n趋近于无穷大时，既可以趋近无穷大，也可以趋近无穷小，不满足条件。
当时，
当时，,
当时，，满足条件
当时，，n趋近于无穷大时，无穷大，不合条件
当时，，n趋近于无穷大时，既可以趋近无穷大，也可以趋近无穷小，不合条件
综上所述，当时，；当时，
【巩固训练】
1.等比数列公比,且,则_____________
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】2
【解析】∵,∴
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)∴
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
2.已知是无穷等比数列，且，则其首项的取值范围是_________
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】或
3.已知是等比数列，如果，那么的值等于____________
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【难度】★★
【答案】16
4.若数列满足：
，且对任意正整数都有，则等于
（
）
A.
B.
C.
2
D.
【难度】★★
【答案】B
5.等比数列的前项和为，则等于（
）
A.
0
B.
1
C.
D.
【难度】★★
【答案】D
6.等比数列中，，且前项和满足，求的取值范围.
【难度】★★
【答案】
【解析】，
，既，
7.等比数列中，公比满足，且，，求.
【难度】★★
【答案】32
【解析】由，，又，.
8.已知数列为等差数列，公差为，为等比数列，公比为，且．，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
3、极限的综合应用
【例27】已知，若将写成最简分数，则_________.
【难度】★★
【答案】78
【例28】数列中，，，若，则的值等于_________.
【难度】★★
【答案】
【解析】等比数列，所以，即，
【例29】一动点由坐标平面的原点出发，向右移动个单位到，然后向上移动个单位到，以后按左、下、右、上；左、下、右、上；，每次移动的长度为前一次移动长度的一半，求动点的极限位置与原点的距离。
【难度】★★
【答案】
【解析】动点横坐标：，
故得知极限点，距离为
【例30】如图，抛物线与轴的正半轴交
于点，将线段的等分点从左至右依次记为
，过这些分点分别作轴的垂线，
与抛物线的交点依次为，从而得到个直角三角形．当时，这些三角形的面积之和的极限为
．
【难度】★★
【答案】
【解析】，，…，；，，…，，记的面积为，则，，…，;
====.
【例31】设是公差为的等差数列，，，
（1）求，
（2）证：等比数列，求
（3）设k为正整数，且满足
()=，求k
【难度】★★
【答案】（1）；（2）；（3）4.
【解析】
（1）
（2）
为等比数列
（3）
而
新数列为为首项，为公比
【例32】直角三角形中，，有一系列内接正方形，其面积为，且，求（用反三角函数表示）
【难度】★★
【答案】
【解析】关键在于构造数列，，，（相似）
；同理，为等比数列，公比为.
，，，，，，，，
【例33】设为一组多边形，其作法如下：是边长为1的正三角形，以的每一边中间的线段为一边向外作正三角形，然后将该线段抹去，所得的多边形为，如图所示。
……
令表示的周长，表示的面积。
（1）计算的面积；（2）求()的值。
【难度】★★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）
.
（2）由分析知（的边数是边数的4倍且每边是原来的），故
∵，∴(++…+)=.
【例34】数列是由正数组成的数列，，其中为正常数，，数列成等差数列，公差为．
求证是等比数列；
的前项和为，求的值；
令，是否存在，使得中的每一项恒小于它后面的项，若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
【难度】★★★
【答案】（1）证明略；（2）；（3）．
【巩固训练】
1.已知数列的通项公式分别是，其中
a、b
是实常数，若，且成等差数列，则的值是___________.
【难度】★★
【答案】
2.设数列的前项的和和的关系是，其中是与
无关的常数，且。
（1）求和的关系式；（2）写出用和表示的表达式；（3）当时，求极限
【难度】★★
【答案】
3.在半径为的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设为前个圆的面积之和，则
．
【难度】★★
【答案】
4.【2016南模期末·11】如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，则所有正方形的面积的和为
.
【难度】★★
【答案】
5.如图，等边三角形的面积等于1，连结这个三角形各边的中
点得到一个小三角形，又连结这个小三角形各边的中点得到一个更小的
三角形，如此无限继续下去，求所有这些三角形的面积的和.
【难度】★★
【答案】
6.一个动点，从原点开始，沿轴正方向前进一个单位一个单位到点，后沿y轴的正方向前进个单位到点，再沿轴的负方向前进个单位到点，又再沿y轴的负方向前进个单位到达点，又再沿轴的正方向前进个单位到达点，如此无限地进行下去，求点最终能到达的极限位置．
【难度】★★
【答案】
7.已知数列的首项=
()，它的前n项和=()，并且是一个等比数列，其公比为（）
（1）问是否为一个等比数列？
（2）求无穷数列的所有项的和
【难度】★★★
【解析】（1）
，当时，
若为等比数列，则即
方程无解。
不是等比数列（容易出错）
（2）
=
1．若存在，则=，若==0，则一般“约分”（约去含的因式）后再求极限。若=A、=B，则[±]=
A±B,
[]=AB,
=
(B≠0).
2．若||<1,则=0；=1，则=1；若>1或≤-1,
则不存在。
=(为常数)；“
”型的式子极限为0；“”型、“”型的极限不存在；“”型和“”型，一般分子、分母“同除以”一个式子（包括“约分”）后再求极限；含有根式的和（差）的式子一般有理化后再求极限。若=A、=B，则
(±)=
A±B,
()=AB,
=
(B≠0).
3．无穷数列{}的前n项和为Sn，称为数列{}的无穷多项和或所有项和。求时，切不可分别求各项的极限后再求和；必须先求Sn，再求极限。若{}为等比数列，公比为q且|q|<1，则=。
1.的（
）
A.充分必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分又不必要条件
【难度】★
【答案】B
2.若
,则的取值范围是__________
.
【难度】★★
【答案】
3.已知数列前项之和（为不是0、1的常数）。
（1）用表示；
（2）若，求的取值范围。
【难度】★★
【答案】（1）
；（2）
.
4.已知数列是由正数构成的数列，，且满足，其中是大于1的整数，是正数．
求数列的通项公式及前项和；
求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；；
（2）当时，；当时，；当时，．
5.数列是一个首项为，公比为的等比数列，，它的前项之和为，且，求
【难度】★★
【解析】公比为，
公比为，且，，
莫忘时
6.已知，其前项和为，求
【难度】★★
【答案】
【解析】
7.设首项为2，公比为的等比数列的前项和为，又设，求．
【难度】★★
【解析】若，若．
8.已知数列，满足
求数列的通项公式；
若时，求的值．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
9.已知数列的前n项和为，且
（1）
计算
并求数列的通项公式；
（2）
若数列满足求证：数列是等比数列；
（3）由数列的项组成一个新数列：
.
设为数列的前n项和，试求的值.
【难度】★★★
【答案】略
【解析】（1）当时，由得
由得
当时，由得当时，由得
猜想：下面用数学归纳法证明：
①
当时，
结论显然成立；
②
假设当时，由条件知故
于是
故数列的通项公式为：
另解（1）：当时，由得
由得
当时，由得
当时，由得
当时，由条件知故
于是
从而
故
于是数列的通项公式为：
（2）证：当时，
当时，由条件得
从而
故数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
（3）由题意，得
故
从而
知识梳理
解三角形
例题解析
P1
P2
Pn-1
Q1
Q2
Qn-1
Pn-2
O
反思总结
课后练习
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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