(共26张PPT)
第二十二章
二次函数
第1课时
二次函数y=ax2+k的图象和性质
【学习目标】
1．能画出二次函数y＝ax2＋k的图象．
2．掌握二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k图象之间的联系．
3．掌握二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．
【学习重点】
1．二次函数y＝ax2与y＝ax2＋k的图象之间的联系．
2．二次函数y＝ax2＋k的图象及其性质．
【学习难点】
二次函数y＝ax2＋k的性质的基本应用．
这个函数的图象是如何画出来的？
x
y
情境引入
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＞0)
画出二次函数
y=2x?
,
y=2x2+1
，y=2x2-1的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
x
…
–1.5
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
…
y=2x2+1
…
…
y=2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
y=2x2-1
…
…
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
y=2x2+1
y=2x2
y=2x2-1
观察上述图象，说说它有哪些特征.
解：先列表：
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
···
···
例1:在同一直角坐标系中，画出二次函数
与
的图象．
典例精析
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
抛物线
，
的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
二次函数
开口方向
顶点坐标
对称轴
向上
向上
（0,0）
（0,1）
y轴
y轴
想一想：通过上述例子，函数y=ax2+k(a＞0)
的性质是什么？
观察与思考
y
-2
-2
4
2
2
-4
x
0
二次函数y=ax2+k的图象和性质(a＜0)
做一做
在同一坐标系内画出
下列二次函数的图象：
根据图象回答下列问题:
(1)图象的形状都是
.
(2)三条抛物线的开口方向_______;
(3)对称轴都是__________
(4)
从上而下顶点坐标分别是
_____________________
抛物线
向下
直线x=0
(
0,0)
(
0，2)
(
0,-2)
(5)顶点都是最____点，函数都有最____值，从上而下最大值分别为_______、_______﹑________
(6)
函数的增减性都相同：
__________________________
_____________________________
高
大
y=0
y=
-2
y=2
对称轴左侧y随x增大而增大
对称轴右侧y随x增大而减小
二次函数y=ax2+k（a
≠
0）的性质
y=ax2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
y轴
y轴
顶点坐标
（0,k）
（0,k）
最值
当x=0时，y最小值=k
当x=0时，y最大值=k
增减性
当x＜0时，y随x的增大而减小；x＞0时，y随x的增大而增大.
当x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大.
例2：已知二次函数y＝ax2+c,当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝x1+x2时，其函数值为________.
解析：由二次函数y＝ax2+c图象的性质可知，x1，x2关于y轴对称，即x1+x2＝0.把x＝0代入二次函数表达式求出纵坐标为c.
c
【方法总结】二次函数y＝ax2+c的图象关于y轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，函数值相等的两点的对应横坐标互为相反数．
解析式
y=2x2
y=2x2+1
y=2x2-1
+1
-1
点的坐标
函数对应值表
x
…
…
y=2x2-1
…
…
y=2x2
…
…
y=2x2+1
…
…
4.5
-1.5
3.5
5.5
-1
2
1
3
x
2x2
2x2-1
(x,
)
(x,
)
(x,
)
2x2-1
2x2
2x2+1
从数的角度探究
二次函数y=ax2+k的图象及平移
2x2+1
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y
=
2x2＋1
y
=
2x2－1
可以发现，把抛物线y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
；把抛物线
y=2x2
向
平移1个单位长度，就得到抛物线
y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
从形的角度探究
二次函数y=ax2+k的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当k
>
0
时,向上平移k个单位长度得到.
当k
<
0
时,向下平移-k个单位长度得到.
二次函数y=ax2
与y=ax2+k（a
≠
0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识要点
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
解析：二次函数y＝－3x2＋1的图象是将抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到的．故选D.
D
练一练
1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？
2.抛物线y=ax2+k
中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k
︱单位.
第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.
a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.
想一想
例3：如图，抛物线y＝x2－4与x轴交于A、B两点，点P为抛物线上一点，且S△PAB＝4，求P点的坐标．
解：抛物线y＝x2－4，令y＝0，得到x＝2或－2，
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
∴
×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)；
当b＝－2时，x2－4＝－2，解得x＝±
，
此时P点坐标为(
，2)，(－
，2)．
1.抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物
线
．
2.填表：
y
=
2x2－４
函数
开口方向
顶点
对称轴
有最高（低）点
y
=
３x2
y
=
3x2＋1
y
=
-4x2－5
向上
向上
向下
（0,0）
(0,1)
(0,-5)
y轴
y轴
y轴
有最低点
有最低点
有最高点
课堂练习
3.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n)
___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上.
4.
若y=x2+（k-2）的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k
.
在
=2
>2
<2
5.不画函数y=-x2和y=-x2+1的图象回答下面的问题：
（1）抛物线y=-x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y=-x2.
（2）函数y=-x2+1，当x
时，
y随x的增大而减小；当x
时，函数y有最大值，最大值y是
，其图象与y轴的交点坐标是
，与x轴的交点坐标是
.
（3）试说出抛物线y=x2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标.
向下平移1个单位.
>0
=0
1
(0,1)
(-1,0),(1,0)
开口方向向上，对称轴是y轴，顶点坐标（0，-3）.
6.在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋k和二次函数y＝ax2＋k的图象大致为( )
方法总结：熟记一次函数y＝kx＋b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质(开口方向、对称轴、顶点坐标等)是解决问题的关键．
D
7.对于二次函数y=(m+1)xm2-m+3,当x>0时y随x的增大而增大，则m=____.
8.已知二次函数y=(a-2)x2+a2-2的最高点为（0，2）
则a=____.
9.抛物线y=ax2+c与x轴交于A（-2,0）﹑B两点，与y轴交于点C(0，-4),则三角形ABC的面积是_______.
2
-2
8
二次函数y=ax2+k（a≠0)的图象和性质
图象
性质
与y=ax2的关系
开口方向由a的符号决定；
k决定顶点位置；
对称轴是y轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k正向上；
k负向下.
课堂小结(共21张PPT)
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
第二十二章
二次函数
情境引入
【学习目标】
1．能画出二次函数y＝a(x－h)2的图象．
2．了解抛物线y＝ax2与抛物线y＝a(x－h)2的联系．
3．掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象特征及其简单性质．
【学习重点】
1．掌握二次函数y＝a(x－h)2的图象及性质．
2．二次函数y＝ax2与y＝a(x－h)2图象之间的联系．
【学习难点】
利用二次函数y＝a(x－h)2的性质解决实际问题．
复习引入
a,c的符号
a>0,c>0
a>0,c<0
a<0,c>0
a<0,c<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0,c）
（0,c）
当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大.
当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小.
x=0时，y最小值=c
x=0时，y最大值=c
问题1
说说二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的特征.
问题2
二次函数
y=ax2+k(a≠0)与
y=ax2(a
≠0)
的图象有何关系？
答：二次函数y=ax2+k(a
≠
0)的图象可以由y=ax2(a
≠
0)
的图象平移得到：
当k
>
0
时，向上平移c个单位长度得到.
当k
<
0
时，向下平移-c个单位长度得到.
问题3
函数
的图象，能否也可以由函数
平移得到？
二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
引例：在如图所示的坐标系中，画出二次函数
与
的图象．
解：先列表：
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
···
···
互动探究
x
y
-4
-3
-2
-1
o
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
描点、连线，画出这两个函数的图象
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向上
y轴
x=2
(0,0)
(2,0)
根据所画图象，填写下表：
想一想：通过上述例子，函数y=a(x-h)2的性质是什么？
画出二次函数
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
···
···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－4.5
0
x
y
－8
试一试
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
直线x=-1
(
-1
,
0
)
直线x=0
直线x=1
向下
向下
(
0
,
0
)
(
1,
0)
二次函数
y=a(x-h)2(a
≠
0)的性质
y=a(x-h)2
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,0）
（h,0）
最值
当x=h时，y最小值=0
当x=h时，y最大值=0
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
知识要点
若抛物线y＝3(x＋
)2的图象上的三个点，A(－3
，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________．
解析：∵抛物线y＝3(x＋
)2的对称轴为x＝－
，a＝3＞0，∴x＜－
时，y随x的增大而减小；x＞－
时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3
，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为(
，y1)．∵－1＜0＜
，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1.
y2＜y3＜y1
练一练
向右平移
1个单位
二次函数y=ax2与y=a(x-h)2的关系
抛物线
，
与抛物线
有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2
的图象的关系
可以看作互相平移得到.
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2
当向左平移
︱h︱
时
y=a(x+h)2
当向右平移
︱h︱
时
y=ax2
例1.
抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式．
解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2，
，
∴平移后二次函数关系式为y＝
(x－3)2.
方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”．
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
C
练一练
1.把抛物线y=-x2沿着x轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是
.
2.二次函数y=2(x-
)2图象的对称轴是直线_______，顶点是________.
3
.若（-
，y1）（-
，y2）（
，y3）为二次函数y=(x-2)2图象上的三点，则y1
，y2
，y3的大小关系为_______________.
y=-(x+3)2或y=-(x-3)2
y1
＞y2
＞
y3
4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
直线x=3
(
3,
0
)
直线x=2
直线x=1
向下
向上
(2,
0
)
(
1,
0)
5.在同一坐标系中，画出函数y＝2x2与y＝2(x-2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图.
函数y=2(x-2)2的图象由函数y=2x2的图象向右平移2个单位得到.
y
O
x
y
=
2x2
2
复习y=ax2+k
探索y=a(x-h)2的图象及性质
图象的画法
图象的特征
描点法
平移法
开口方向
顶点坐标
对称轴
平移关系
直线x=h
（h,0）
a>0,开口向上
a<0,开口向下
y=ax2
平移规律：
括号内：左加右减；括号外不变.
课堂小结(共24张PPT)
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的
图象和性质
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
【学习目标】
1．会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象．
2．掌握抛物线y＝ax2与y＝a(x－h)2＋k之间的平移规律．
3．依据具体问题情境建立二次函数y＝a(x－h)2＋k模型来解决实际问题．
【学习重点】
二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象及其性质．
【学习难点】
1．二次函数y＝a(x－h)＋k与y＝ax2(a≠0)的图象之间的平移关系．
2．通过对图象的观察，分析规律，归纳性质．
(1)y=ax2
(2)y=ax2+k
(3)y=a(x-h)2
1.说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
y
y
x
x
x
x
O
O
O
O
y
y
x
x
O
O
复习引入
2.请说出二次函数y=-2x2的开口方向、顶点坐标、
对称轴及最值？
3.把y=-2x2的图像
向上平移3个单位
y=-2x2+3
向左平移2个单位
y=-2(x+2)2
4.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？
O
X
y
3
-2
O
y
3
-2
X
二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质
例1
画出函数
的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴.
探究归纳
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解:
先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-1)
画出函数y=2(x+1)2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点.
开口方向向下；
对称轴是直线x=-1;
顶点坐标是(-1,-2)
-2
2
x
y
O
-2
4
6
8
-4
2
4
试一试
二次函数
y=a(x-h)2+k（a
≠
0）的性质
y=a(x-h)2+k
a＞0
a＜0
开口方向
向上
向下
对称轴
直线x=h
直线x=h
顶点坐标
（h,k）
（h,k）
最值
当x=h时，y最小值=k
当x=h时，y最大值=k
增减性
当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大.
当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大.
知识要点
顶点式
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数y＝ax＋c的大致图象经过第一、二、三象限．故选A.
A
典例精析
例2.
已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)．
(1)求a的值；
(2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y
2时，求m、n之间的数量关系．
解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4，
得0＝4a－4，解得a＝1；
(2)方法一：
根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4，
∵y1＝y2，
∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2.
∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2；
方法二：
∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线，
∴m＋n－1＝1－m，化简，得
2m＋n＝2.
方法总结：已知函数图象上的点，则这点的坐标必满足函数的表达式，代入即可求得函数解析式．
例3.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
C(3,0)
B(1，3)
A
x
O
y
1
2
3
1
2
3
解:如图建立直角坐标系,
点(1,3)是图中这段抛物线的顶点.
因此可设这段抛物线对应的函数是
∵这段抛物线经过点(3,0)，
∴
0=a(3－1)2＋3.
解得:
因此抛物线的解析式为:
y=a(x－1)2＋3
(0≤x≤3).
当x=0时,y=2.25.
答:水管长应为2.25m.
3
4
a=－
y=
(x－1)2＋3
(0≤x≤3)
3
4
－
向左平移
1个单位
二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
怎样移动抛物线
就可以得到抛物线
？
平移方法1
向下平移
1个单位
探究归纳
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
O
-1
-2
-3
-4
-5
-10
怎样移动抛物线
就可以得到抛物线
？
平移方法2
向左平移
1个单位
向下平移
1个单位
二次函数y=ax2
与y=a（x-h)2+k的关系
可以看作互相平移得到的.
y
=
ax2
y
=
ax2
+
k
y
=
a(x
-
h
)2
y
=
a(
x
-
h
)2
+
k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
平移规律
简记为：
上下平移，
括号外上加下减；
左右平移，
括号内左加右减.
二次项系数a不变.
要点归纳
1.请回答抛物线y
=
4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到?
由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的.
2.如果一条抛物线的形状与
形状相同，且顶点坐标是（4，-2），试求这个函数关系式.
练一练
二次函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
(
1,
－2
)
向下
向下
(
3
,
7)
(
2
,
－6
)
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3,
5
)
y=－3(x－1)2－2
y
=
4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
当堂练习
2.把抛物线y=-3x2先向上平移2个单位，再向右平移1
个单位，那么所得抛物线是___________________.
4.抛物线y=-3(x-1)2+2的图象如何得到
y=-3x2
.
3.抛物线y=-3x2+2的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为______________
5.已知一个二次函数图象的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式.
该二次函数的解析式为：y=5(x+1)2+3
一般地，抛物线
y
=
a(x-h)2+k与y
=
ax2形状相同，位置不同.
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
图象特点
当a>0,开口向上；当a<0,开口向下.
对称轴是x=h,
顶点坐标是（h,k).
平移规律
左右平移：括号内左加右减；
上下平移：括号外上加下减.
课堂小结
