(共29张PPT)
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
第二十二章
二次函数
第1课时
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
情境引入
【学习目标】
1．会用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．
3．掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质．
【学习重点】
用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质解决简单问题．
【学习难点】
通过配方法将二次函数y＝ax2＋bx＋c化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并得到其性质．
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增
减
性
极值
向上
向下
(h
,k)
(h
,k)
x=h
x=h
当xh时，
y随着x的增大而增大.
当xh时，
y随着x的增大而减小.
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的.
复习引入
顶点坐标
对称轴
最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y轴
0
(0,-5)
y轴
-5
(-2,0)
直线x=-2
0
(-2,-4)
直线x=-2
-4
(4,3)
直线x=4
3
想一想，试一试
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论
的图象和性质？
问题1
怎样将
化成y=a(x-h)2+k的形式？
探究归纳
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
问题2
你能说出
的对称轴及顶点坐标吗？
答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）.
问题3
二次函数
可以看作是由
怎样平移得到的？
答：平移方法1：
先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的；
平移方法2：
先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的.
问题4
如何画二次函数
的图象？
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，
得到图象如右图.
O
问题5
结合二次函数
的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
当x<6时，y随x的增大而减小；
当x>6时，y随x的增大而增大.
O
例1
画出函数
的图象，并说明这个函数具有哪些性质.
x
···
-2
-1
0
1
2
3
4
···
y
···
···
-6.5
-4
-2.5
-2
-2.5
-4
-6.5
解:
函数
通过配方可得
，
先列表：
典例精析
2
x
y
-2
0
4
-2
-4
-4
-6
-8
然后描点、连线，得到图象如下图.
由图象可知，这个函数具有如下性质：
当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
当x=1时，函数取得最大值，最大值y=-2.
求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标.
因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1).
解：
练一练
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
我们如何用配方法将一般式y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k？
y=ax?+bx+c
一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y=ax2+bx+c
的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
(1)
(2)
x
y
O
x
y
O
如果a>0,当x<
时，y随x的增大而减小；当
x>
时，y随x的增大而增大.
如果a<0,当x<
时，y随x的增大而增大；当
x>
时，y随x的增大而减小.
例2
已知二次函数y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（
）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
D．b≤1
解析：∵二次项系数为－1＜0，∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小，∴抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=－x2＋2bx＋c的对称轴
，即b≤1，故选择D
.
D
顶点坐标
对称轴
最值
y=-x2+2x
y=-2x2-1
y=9x2+6x-5
(1,3)
x=1
最大值1
(0,-1)
y轴
最大值-1
最小值-6
(
,-6)
直线x=
填一填
二次函数字母系数与图象的关系
问题1
一次函数y=kx+b的图象如下图所示，请根据一次函数图象的性质填空：
x
y
O
y=k1x+b1
x
y
O
y=k2x+b2
y=k3x+b3
k1
___
0
b1
___
0
k2
___
0
b2
___
0
＞
＞
＜
＜
k3
___
0
b3
___
0
＜
＞
合作探究
x
y
O
问题2
二次函数
的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1
___
0
b1___
0
c1___
0
a2___
0
b2___
0
c2___
0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，x＜0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
x
y
O
a3___
0
b3___
0
c3___
0
a4___
0
b4___
0
c4___
0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，x=0
对称轴在y轴右侧，x＞0
x=0时，y=c.
＝0
＞0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号
图象的特征
a＞0
开口_____________________
a＜0
开口_____________________
b=0
对称轴为_____轴
a、b同号
对称轴在y轴的____侧
a、b异号
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过原点
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
例3
已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2.
其中正确的个数是
( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D
由图象上横坐标为
x＝－2的点在第三象限可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
由图象上x＝1的点在第四象限得a＋b＋c＜0，由图象上x＝－1的点在第二象限得出
a－b＋c＞0，则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，可得(a＋c)2＜b2，故④正确．
【解析】由图象开口向下可得a＜0，由对称轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交于正半轴可得
c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴x>－1可得2a－b＜0，故②正确；
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表：
x
-1
0
1
2
3
y
5
1
-1
-1
1
A.y轴
B.直线x=
C.
直线x=2
D.直线x=
则该二次函数图象的对称轴为(
)
D
当堂练习
O
y
x
–1
–2
3
2.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
（1）a、b同号；
（2）当x=–1和x=3时，函数值相等；
（3）
4a+b=0；
（4）当y=–2时，x的值只能取0；
其中正确的是
.
直线x=1
（2）
3.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：①b-2a=0；②4a-2b+c<0；③a-b+c=
-9a；④若（-3，y1）,（
，y2）是抛物线上两点，则y1>y2.其中正确的是（
）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
x
y
O
2
x=-1
B
4.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
直线x=3
直线x=8
直线x=1.25
直线x=
0.5
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a
≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
课堂小结(共22张PPT)
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的
图象和性质
第二十二章
二次函数
第2课时
用待定系数法求二次函数的解析式
【学习目标】
1．学会用待定系数法求抛物线的解析式．
2．熟练地根据二次函数的不同性质选择适当的方法求解析式．
【学习重点】
用待定系数法求二次函数的解析式．
【学习难点】
由条件灵活选择解析式类型．
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
复习引入
一般式法二次函数的表达式
问题1
（1）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分：
x
-3
-2
-1
0
1
2
y
0
1
0
-3
-8
-15
探究归纳
解：
设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得
①选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.
9a-3b+c=0，
a-b+c=0，
c=-3，
解得
a=-1，
b=-4，
c=-3.
∴所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.
待定系数法
步骤：
1.设：
（表达式）
2.代：
（坐标代入）
3.解：
方程（组）
4.还原：
（写解析式）
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
归纳总结
例1.一个二次函数的图象经过
(0,
1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.
解：
设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,
1)，可得c=1.
又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
解这个方程组，得
∴所求的二次函数的表达式是
顶点法求二次函数的表达式
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=-8，
解得
a=-1.
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例2
一个二次函数的图象经点
(0,
1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解：
因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0
,1)，可得
0=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的解析式是
解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试出这个二次函数的表达式.
交点法求二次函数的表达式
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,
x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴.
想一想
特殊条件的二次函数的表达式
例3.已知二次函数y＝ax2
＋
c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
3=4a+c，
－3=a+c，
∴所求二次函数表达式为
y=2x2－5.
∴{
a=2，
c=－5.
解得
{
关于y轴对称
已知二次函数y＝ax2
＋
bx的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
图象经过原点
8=4a-2b，
5=a-b，
∴{
解得a=-1,b=-6.
∴
y=-x2-6x.
做一做
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是
.
注
y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
3
2
1
-1
3
4
5
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是
.
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴
＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝
×8×7＝28.
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
课堂小结
