沪教版数学高一下春季班：第十九讲 数列综合 同步学案 （教师版）

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沪教版数学高一下春季班第十九讲
课题
数列综合
单元
第章
学科
数学
年级
十
学习目标
1．在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题；2．在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力．
重点
1．数列本身的有关知识，等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式；2．数列与其它知识的结合：数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合，数列的应用问题．
难点
数列与其它知识的结合：数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合，数列的应用问题．
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
1．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。
(2)通项公式法：
①若，则为等差数列；
②若，则为等比数列。
(3)中项公式法：验证中项公式成立。
2．在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当,时，满足的项数使得取最大值.
(2)当,时，满足的项数使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
3．非特殊数列(等差数列或等比数列)求数列通项的方法:
⑴根据数列几项求通项:
分析、归纳数列(数学归纳法)；或利用关系；
⑵形如(其中k为与项数有关的代数式):
累加迭加法；
⑶形如(其中k为与项数有关的代数式):
累乘迭乘法；
⑷形如(其中c、k为常数):
细尾巴，将其转化为⑵的形式，用待定系数或巧算法构造一个新数列；
⑸形如(其中c为常数，为与项数有关的代数式):
粗尾巴，通过化粗为细，将其转化为⑷的形式；由于多为指数式，可通过同除指数式进行转化；
⑹式中含有如的指数式或含有对数式:
取对数；
⑺形如(其中k为常数):
转化为关于的形式，再取倒数；
⑻式中同时含有及其前后项:
双递推类型，通过裂中项；
⑼式中同时含有(或含平方):
化混为清，即消去一次项，再利用关系；
⑽部分试题还可通过注意题中隐含信息来寻找解题思路.
4．数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。
1、数列及其基本概念
【例1】已知数列的前项和，则
．
【难度】★
【答案】
【例2】已知数列的通项公式是则数列的最大项是
．
【难度】★
【答案】和
【例3】观察下式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，则可得出一般结论
．
【难度】★
【答案】
【巩固训练】
1．数列中，，，则的值是
．
【难度】★
【答案】
2．数列中，，求取最小值时的值是
．
【难度】★
【答案】
【解析】，时，取最小值.
3．数列中，，求数列的最大项和最小项．
【难度】★
【答案】数列的最小项为，没有最大项.
【解析】，
又，，数列是递增数列
数列的最小项为，没有最大项.
2、等差数列与等比数列及其性质运用
【例4】已知数列是等比数列,且,,，则
．
【难度】★
【答案】9
【例5】等差数列前项和是，前项和是，则它的前项和是
．
【难度】★★
【答案】210
【例6】等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，其项数和中间项分别是
．
【难度】★★
【答案】13、
【解析】设数列的项数为项，
则，
∴，
∴，∴数列的项数为，中间项为第项，且．
【例7】已知为等差数列的前项和，，则
．
【难度】★★
【答案】
【例8】设、分别是等差数列、的前项和，，则
．
【难度】★★
【答案】
【巩固训练】
1．公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列，则=_____．
【难度】★★
【答案】
2．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是
．
【难度】★★
【答案】［4，+∞）或（－∞，0］
3．已知为等差数列的前项和，，，则
．
【难度】★
【答案】—110
3、数列的通项与求和
【例9】数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】，，.
数列是以2为公比的等比数列，其首项为
【例10】已知数列中，，求数列的通项公式.
【难度】★★
【答案】，.
数列是以3为公比的等比数列，其首项为
，.
令，则
，
，.
【例11】已知，()，
．
【难度】★★
【答案】
【例12】设数列的前n项和，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】∵
……①
∴
……②
②①得
，∵，∴
∴
数列是首项为，公比为的等比数列
【例13】设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为
.
【难度】★★
【答案】
【例14】求和.
【难度】★
【答案】—5050
【例15】的结果为
．
【难度】★★
【答案】
【例16】若数列的通项，求此数列的前项和
【难度】★★
【答案】，
①
②
①-②，得
.
.
【巩固训练】
1．已知数列满足是首项为1，公比为的等比数列。
（1）求；
（2）如果，，求数列的前项和
【难度】★★
【答案】（1）由，当n≥2时，，
∴
①当时，;
②当时，，
∴
（2）
……………………………………………①
则…………………………②
①-②，得
2．已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为
.
【难度】★★
【答案】
3．若，则在、、...、中有_________个正数.
【难度】★★
【答案】37
4、数学归纳法和极限
【例17】利用数学归纳法证明“对任意正偶数n，能被整除”时，其第二步论证应该是
(
).
A．假设时命题成立，再证时命题也成立
B．假设时命题成立，再证时命题也成立
C．假设时命题成立，再证时命题也成立
D．假设时命题成立，再证时命题也成立
【难度】★
【答案】D
【例18】设正数数列的前项和，求通项的公式．
【难度】★★
【答案】由题得：，，，猜想得：
证明如下：①时，，符合；
②假设时，成立，则当时，
，即：
，∴
也成立。
综上所述，
【例19】，用数学归纳法证明：
（1）能被13整除；
（2）能被9整除．
【难度】★★
【答案】（1）①时，，能被13整除；
②假设时能被13整除，则当时，
也能被13整除，
综上所述，命题成立。
（2）①时，原式==27，能被9整除；
②假设时，能被9整除，则当时，
也能被9整除。
综上所述，命题成立。
【例20】判断下列结论正确与否？
若，则越来越小；
若，且不是常数数列，则无限接近A，但总不能达到A；
在数列中，如果对一切总有，则没有极限；
若，则
【难度】★
【答案】（1）、（2）、（3）不正确；（4）正确
【例21】
①
=
；
②
=
;
③
=________;
④
=
;
⑤
=
；
⑥
=
【难度】★★
【答案】0，，，1，1，
【例22】已知数列，满足，，求的值
【难度】★★★
【答案】设，，则：，，
又
,
∴
=
=
【巩固训练】
1．是否存在常数，使得等式对一切自然数都成立，并证明你的结论．
【难度】★★
【答案】假设存在常数，使题设等式成立，则分别取，等式也应成立，即：
，解得
即对，等式成立。
再用数学归纳法证明，证明略
2．证明：．
【难度】★★
【答案】（1）当时，左式=，右式=，左式-右式=-=，不等式成立；
（2）假设（）时，命题成立，即，则当时，左式=，
而，
∴
左式也成立。
综上所述，原不等式对一切且均成立
3．，计算
【难度】★★
【答案】
4．如图，直线与互相依次外切的半圆，，，都相切，半圆与轴相切，这些半圆的圆心分别是，，，，半径分别是，，，。
（1）求半径，的值；
（2）如果无限增大，求所有半圆的弧长之和。
【难度】★★★
【答案】（1）令，得，即P(0,1)；
令，得，即
由三角形相似可知：，
同理：
（2）由三角形相似可知：，得：，
设第n个半圆的弧长为，则：
则是首项为，公比的等比数列，则
5、数列应用题
【例23】用砖砌墙,第一层(底层)用去了全部砖块的一半多一块,第二层用去了剩下的一半多一块,…依次类推,每一层都用去了上次剩下的砖块的一半多一块,到第十层恰好把砖块用完，问共用了多少块?
【难度】★★
【答案】设从上层到底层砖块数分别为,则,
易得,即
因此,每层砖块数构成首项为2,公比为2的等比数列,则
(块)
答:共用2046块.
【例24】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?
【难度】★★
【答案】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程:
.
由于,当时,有最小值.
答:
将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.
【巩固训练】
1．某养渔场，据统计测量，第一年鱼的重量增长率为200﹪，以后每年的增长率为前一年的一半.
（1）饲养5年后，鱼重量预计是原来的多少倍？
（2）如因死亡等原因，每年约损失预计重量的10﹪，那么，经过几年后，鱼的总质量开始下降？
【难度】★★
【答案】（1）设鱼原来的产量为，200﹪
，，
（2）由（1）可知，，而鱼每年都损失预计产量的10﹪，即实际产量只有原来的.
设底年鱼的总量开始减少，则
，即
，解得，，经过5年后，鱼的总量开始减少.
2．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加.
（1）设年内（本年度为第一年）总收入为万元，旅游业总收入为万元，写出表达式
（2）至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？
【难度】★★
【答案】（1）第一年投入为800万元，第二年投入为万元，第年的投入为
万元.所以，年内的总投入为：；
第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为万元，
第年旅游业收入为万元.所以，年内的旅游业总收入为
（2）设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，由此，
即，化简得，
设，代入上式得，
解此不等式，得，或（舍去）即，由此得
答：至少经过5年旅游业的总收入能超过总投入.
6、综合应用
【例25】已知为数列的前项和，，.
（1）设数列中，，求证：是等比数列；
（2）设数列中，，求证：是等差数列；
（3）求数列的通项公式及前项和．
【难度】★★
【答案】（1），，两式相减，得
，
又，，由，，得
，是等比数列，.
（2）由（1）知，，且
是等差数列，.
（3），且，
当时，，，
【例26】设函数的定义域为，当时，，且对任意的实数，有．
（1）求，判断并证明函数的单调性；
（2）数列满足,且
①求通项公式；
②当时，不等式对不小于的正整
数恒成立，求的取值范围.
【难度】★★★
【答案】（1），在上减函数（解法略）
（2）①
由单调性
，故等差数列
②
是递增数列
当时，
，
即
而，∴，故的取值范围是
【例27】已知函数,若成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是不等式整数解的个数，求；
（3）记数列的前n项和为，是否存在正数，对任意正整数，使恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）由题可知，得．
（2）原式化简：
其中整数个数．
（3）由题意，，
又恒成立，，，
所以当取最大值，取最小值时，取到最大值．
又，，所以，解得
【例28】已知，且，，数列、满足，，，．
（1）求证数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）若满足，，，试用数学归纳法证明：
．
【难度】★★★
【答案】证明（1）∵，
∴,.
∵，，
∴．
又，
∴数列是公比为3，首项为的等比数列．
解（2）：依据（1）可以，得．
于是，有，即．
因此，数列是首项为，公差为1的等差数列．故．
所以数列的通项公式是．
（3）用数学归纳法证明：
(i)当时，左边，右边，
即左边=右边，所以当时结论成立．　　
(ii)假设当时，结论成立，即．
当时，左边，
右边．
即左边＝右边，因此，当时，结论也成立．
根据(i)、(ii)可以断定，对的正整数都成立．
【例29】正数列的前项和满足：，常数
（1）求证：是一个定值；
（2）若数列是一个周期数列，求该数列的周期；
（3）若数列是一个有理数等差数列，求．
【难度】★★★
【答案】证明：（1）
（1）
（2）
：
（3）
（4）
（2）计算
根据数列是隔项成等差，写出数列的前几项：，，，，，...
当时，奇数项和偶数项都是单调递增的，所以不可能是周期数列
所以时，数列写出数列的前几项：，，，，...
所以当且时，该数列的周期是2，
当时，该数列的周期是1，
（3）因为数列是一个有理等差数列，所以
化简，是有理数
设,是一个完全平方数，设为，均是非负整数
时，
时=可以分解成8组，其中只有符合要求，
此时
或者，
等差数列的前几项：，，，……
因为数列是一个有理等差数列
是一个自然数，
此时
如果没有理由，猜想：，解答
【例30】对数列和，若对任意正整数，恒有，则称数列是数列的“下界数列”.
（1）设数列，请写出一个公比不为1的等比数列，使数列是数列的“下界数列”；
（2）设数列，求证数列是数列的“下界数列”；
（3）设数列，构造，，求使对恒成立的的最小值.
【难度】★★★
【答案】（1）等，答案不唯一；
（2），当时最小值为9,；
，则,
因此，时，最大值为6，所以，，数列是数列的“下界数列”；
（3），
，
不等式为，，，
设，则，
当时，单调递增，时，取得最小值，因此，
的最小值为
【巩固训练】
1．定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．
（1）比较与的大小；
（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．
（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．
【难度】★★★
【答案】（1）设数列的前项和为，由题意得，所以，
当时，，当时，，而也满足此式．
所以（）．所以，
，因此．
（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，解得或．
所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立．
（3）由，，得，
①
若，则，，，因为周期为，故，所以，所以，（舍），故．
此时，为，，，，，，…．符合题意．
②
若，则，，因为周期为，故，
所以，即或，解得或，均不合题意．
设数列的前项和为，则对，有
即
所以
因此．
2．如果无穷数列满足下列条件：①
；②存在实数，使．
其中，那么我们称数列为数列．
（1）设数列的通项为，且是数列，求的取值范围；
（2）设是各项为正数的等比数列，是其前项和，
证明：数列是数列；
（3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：．
【难度】★★★
【答案】（1）,故数列单调递减；
当时,，即，则数列中的最大项是，所以，
（2）是各项正数的等比数列，是其前项和，,，设其公比为，
，整理得，解得或（舍）
对任意的，有，且，故是数列。
（3）假设存在正整数使得成立，有数列的各项均为正整数，可得，
即。因为，所以，
由及，得
，故
因为，
所以
由此类推，可得,又存在,使，总有，故有，
这与数列的各项均为正数矛盾
，所以假设不成立，即对任意，都有成立
1．证明数列是等差或等比数列常用定义，即通过证明
或而得。
2．在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。
3．注意与之间关系的转化。如：=
，
=．
4．数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路．
5．解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略．
一、选择题
1．数列的通项公式，则该数列的前（
）项之和等于．
A．
B．
C．
D．
【难度】★
【答案】B
2．在等差数列中，若，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★
【答案】A
3．在等比数列中，若，且,则为（
）
A．
B．
C．
D．或或
【难度】★★
【答案】D
4．已知等差数列项和为等于（）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】C
5．等差数列,的前项和分别为,,若,则=（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】B
二、填空题
1．已知数列中，，，则数列通项___________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】
2．已知数列的，则=_____________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★
【答案】
3．三个不同的实数成等差数列，且成等比数列，则_________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】
4．在等差数列中，公差，前项的和，则=________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】
5．一个等比数列各项均为正数，且它的任何一项都等于它的后面两项的和，则公比为_________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】
三、解答题
1．一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】设此数列的公比为，项数为，
则
∴项数为
2．数列…的前多少项和为最大？
【难度】★★
【答案】是以为首项，以为公差的等差数列，
对称轴比较起来更靠近对称轴
∴前项和为最大
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
另法：由，得
3．如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列
中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；
（3）
已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？
如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.
（4）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是
“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”
所以也是该数列的项，且
故即。
（2）不妨设有穷数列的项数为。因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，
所以也是该数列的项，又因为数列是递增数列
，且，则，
故
（3）数列是“兑换数列”。证明如下：设数列的公差为，
因为数列是项数为项的有穷等差数列
若，则
即对数列中的任意一项，
同理可得：若，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是
“兑换数列”；
又因为数列所有项之和是，所以，即
（4）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，
所以，则
又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数
故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，则，
①
若，则有，又，由此得，与矛盾；
②
若。由，得
即，故，与矛盾；
综合①②得，不存在满足条件的数列。
知识梳理
例题解析
反思总结
课后练习
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精品试卷·第
2
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