沪教版数学高一下春季班：第二十讲 期末复习 同步学案 （教师版）

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沪教版数学高一下春季班第二十讲
课题
期末复习
单元
第章
学科
数学
年级
十
学习目标
熟练记忆三角相关公式并会灵活运用；掌握三角函数的常见题型解法；掌握数列各种典型问题的解法．
重点
1、三角恒等式灵活运用；2、解三角形综合问题解法；3、数列综合问题解法．
难点
1、三角恒等式灵活运用；2、解三角形综合问题解法；3、数列综合问题解法．
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
一、三角比
【例1】已知角的终边过点，且，则的值为
．
．
．
．
．
【难度】★
【答案】见解析
【解析】；∵，即，∴，∴，又∵，，∴角的终边应在第三象限，∴，∴．
【例2】已知，，则的值是
．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；法一：∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴。则。
法二：∵，∴，∴，∴，∴，即，∴或，又∵，，，∴，∴。
【例3】若，则
．
．
．
．
．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；．
【例4】已知，则
．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；
，∴．
【例5】在中，角、、对应的边分别为、、，若，，，则角的大小为
．
【难度】★★
【答案】；∵，∴，又∵，∴。又∵，∴，又∵，∴或（舍）．
【例6】在中，角、、对应的边分别为、、，若，则
．
【难度】★★
【答案】；法一：
。
法二：
，则．
【例7】在中，下列结论：①若，则此三角形为钝角三角形；②若，则此三角形为等腰三角形；③若，则；④，其中正确的个数为
．
【难度】★★★
【答案】；，故此三角形为钝角三角形，①正确；
，又∵，∴，故②正确；∵，∴，又∵，∴，故③正确；∵，即，∴，即，故④正确．
【例8】如图，，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？
【难度】★★★
【答案】，
又∵，∴（海里），∴
，∴（海里），
∴时间（小时）。答：救援船到达点需要小时．
【巩固训练】
1、若是第二象限角，那么和都不是
．
．第一象限角
．第二象限角
．第三象限角
．第四象限角
【难度】★
【答案】见解析
【解析】；∵是第二象限角，∴是第一或三象限角，为第三象限角，∴为第四象限角，故和都不是第二象限角。
2、已知，则
．
．
．
．
．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；∵，∴，∴
．
3、记，那么
．
．
．
．
．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；，则，故．
4、已知，则
．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】；．
5、在中，若，则=
【难度】★★
【答案】
6、设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（　　）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
【难度】★★
【答案】B
7、三条直线两两平行、、，到的距离为1，到的距离为2，等边三角形三个顶点分别在这三条直线上，则该三角形的面积为
。
【难度】★★
【答案】
8、某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱AB与地面垂直，灯杆BC与灯柱AB所在的平面与道路走向垂，路灯C采用锥形灯罩，射出的光线与平面ABC的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．
设
（1）求灯柱AB的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱AB与
灯杆BC所用材料的总长度最小？最小值为多少？
（结果精确到0.01米）
【难度】★★
【答案】（1）；（2）当时，所用材料最小长度为米
二、三角函数与反三角函数
【例9】已知函数，（其中,,）的周期为，且图像上一个最低点为，则=_____．
【难度】★★
【答案】
【例10】已知函数，．
（1）设是函数图象的一条对称轴，求的值．
（2）求函数的单调递增区间．
【难度】★★
【答案】（1）由题设知．
因为是函数图象的一条对称轴，所以，
即（）．
所以．
当为偶数时，，
当为奇数时，．
（2）
．
当，即（）时，
函数是增函数，
故函数的单调递增区间是（）．
【例11】函数，对任意实数在区间上取到的次数不少于4次且不多于8次，则的值为
.
【难度】★★
【答案】
【例12】已知函数，求的最小正周期，并求在区间上的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】
，
因为，所以，
当时，即时，的最大值为，
当时，即时，的最小值为．
【例13】函数的值域是（
）
（A）（B）（C）（D）
【难度】★★
【答案】因为及在上均为单调递增函数，所以在上为增函数，由此得：，
即，选取（D）
【例14】下列方程与同解的是
①;②;③
【难度】★★
【答案】②③
【巩固训练】
1．如图，函数（其中）的图像与轴交于点．
（1）求的值；
（2）设是图像上的最高点，是图像上与轴的交点，求与的夹角．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）．
2．设函数图像的一条对称轴是直线。
（1）求；
（2）求函数的单调增区间；
（3）画出函数在区间上的图像。
【难度】★★
【答案】（1）的图像的对称轴，
（2）由（1）知
由题意得
所以函数
（3）由
x
0
y
－1
0
1
0
故函数
3．已知函数，
（1）求的最小正周期及取得最大值时的集合；
（2）求证：函数的图像关于直线对称．
【难度】★★
【答案】（1）；；
（2）提示：证明即可．
4．求函数的最小值．
【难度】★★
【答案】，
令则，
时在上单调递减，
时在上单调递增，在上单调递增，
时在上单调递减
时在上单调递减，在上单调递增，
，
5．，_____．
【难度】★★
【答案】
6．解下列三角方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
三、数列
【例15】等差数列中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为，偶数项之和为，，其项数和中间项分别是
．
【难度】★★
【答案】13、
【解析】设数列的项数为项，
则，
∴，
∴，∴数列的项数为，中间项为第项，且．
【例16】设、分别是等差数列、的前项和，，则
．
【难度】★★
【答案】
【例17】数列中，，求数列的通项公式．
【难度】★★
【答案】，，.
数列是以2为公比的等比数列，其首项为
【例18】已知数列中，，求数列的通项公式.
【难度】★★
【答案】，.
数列是以3为公比的等比数列，其首项为
，.
令，则
，
，.
【例19】利用数学归纳法证明“对任意正偶数n，能被整除”时，其第二步论证应该是
(
).
A．假设时命题成立，再证时命题也成立
B．假设时命题成立，再证时命题也成立
C．假设时命题成立，再证时命题也成立
D．假设时命题成立，再证时命题也成立
【难度】★
【答案】D
【例20】设正数数列的前项和，求通项的公式．
【难度】★★
【答案】由题得：，，，猜想得：
证明如下：①时，，符合；
②假设时，成立，则当时，
，即：
，∴
也成立。
综上所述，
【例21】在一直线上共插有13面小旗，相邻两面之距离为，在第一面小旗处有某人把小旗全部集中到一面小旗的位置上，每次只能拿一面小旗,要使他走的路最短，应集中到哪一面小旗的位置上?最短路程是多少?
【难度】★★
【答案】设将旗集中到第面小旗处,则从第一面旗到第面旗处,共走路程为,然后回到第二面处再到第面处是,从第面处到第面处路程为20，从第面处到第面取旗再到第面处,路程为，总的路程:
.
由于,当时,有最小值.
答:
将旗集中以第7面小旗处,所走路程最短.
【巩固训练】
1．公差不为零的等差数列{an}的第二、三及第六项构成等比数列，则=_____．
【难度】★★
【答案】
2．若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是
．
【难度】★★
【答案】［4，+∞）或（－∞，0］
3．已知数列满足是首项为1，公比为的等比数列。
（1）求；
（2）如果，，求数列的前项和
【难度】★★
【答案】（1）由，当n≥2时，，
∴
①当时，;
②当时，，
∴
（2）
……………………………………………①
则…………………………②
①-②，得
4．已知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为
.
【难度】★★
【答案】
5．是否存在常数，使得等式对一切自然数都成立，并证明你的结论．
【难度】★★
【答案】假设存在常数，使题设等式成立，则分别取，等式也应成立，即：
，解得
即对，等式成立。
再用数学归纳法证明，证明略
6．如图，直线与互相依次外切的半圆，，，都相切，半圆与轴相切，这些半圆的圆心分别是，，，，半径分别是，，，。
（1）求半径，的值；
（2）如果无限增大，求所有半圆的弧长之和。
【难度】★★★
【答案】（1）令，得，即P(0,1)；
令，得，即
由三角形相似可知：，
同理：
（2）由三角形相似可知：，得：，
设第n个半圆的弧长为，则：
则是首项为，公比的等比数列，则
【解析】
1、已知的终边经过点，且，，则的取值范围是
．
【难度】★
【答案】
2、已知数列中，，，则数列通项___________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】
3、三个不同的实数成等差数列，且成等比数列，则_________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】
4、的三边a、b、c和面积，满足，试计算=
。
【难度】★★
【答案】
5、已知内接于单位圆，则长为的三条线段（）
（A）能构成一个三角形，其面积大于面积的一半
（B）能构成一个三角形，其面积等于面积的一半
（C）能构成一个三角形，其面积小于面积的一半
（D）不一定能构成一个三角形
【难度】★
【答案】C
6、设，，，，则
．
【难度】★★
【答案】
7、在等比数列中，若，且,则为（
）
A．
B．
C．
D．或或
【难度】★★
【答案】D
8、把函数的图像按向量平移，得到函数的图像，则
．
【难度】★
【答案】
9、等差数列,的前项和分别为,,若,则=（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】B
10、若，，则的取值范围是_____．
【难度】★★
【答案】
11、已知数列的，则=_____________
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★
【答案】
12、扇形的中心角为，半径为，在扇形中作内切圆及与圆外切、与、相切的圆．问为何值时，圆的面积最大？最大值是多少？
【难度】★★
【答案】，面积最大值是
13、一个有穷等比数列的首项为，项数为偶数，如果其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数
(?http:?/??/?wxc.833200.com?/??)
【难度】★★
【答案】设此数列的公比为，项数为，
则
∴项数为
14、已知函数，
（1）求的最小正周期及取得最大值时的集合；
（2）求证：函数的图像关于直线对称．
【难度】★★
【答案】（1）；；
（2）提示：证明即可．
15、如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,.
（1）求索道的长;
（2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
【难度】★★
【答案】（1）；（2）乙出发分钟时；（3）乙的速度要控制在的范围内。
16、如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列
中的一项，称数列为“兑换数列”，常数是它的“兑换系数”.
（1）若数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；
（2）若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；
（3）
已知有穷等差数列的项数是，所有项之和是，试判断数列是否是“兑换数列”？
如果是的，给予证明，并用和表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由.
（4）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列，是否有可能它既是等比数列，又是
“兑换数列”？给出你的结论并说明理由.
【难度】★★★
【答案】（1）因为数列：是“兑换系数”为的“兑换数列”
所以也是该数列的项，且
故即。
（2）不妨设有穷数列的项数为。因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，
所以也是该数列的项，又因为数列是递增数列
，且，则，
故
（3）数列是“兑换数列”。证明如下：设数列的公差为，
因为数列是项数为项的有穷等差数列
若，则
即对数列中的任意一项，
同理可得：若，也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列是
“兑换数列”；
又因为数列所有项之和是，所以，即
（4）假设存在这样的等比数列，设它的公比为，因为数列为递增数列，
所以，则
又因为数列为“兑换数列”，则，所以是正整数
故数列必为有穷数列，不妨设项数为项，则，
①
若，则有，又，由此得，与矛盾；
②
若。由，得
即，故，与矛盾；
综合①②得，不存在满足条件的数列。
例题解析
（第2题图）
A
B
C
D
反思总结
课后练习
C
B
A
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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