人教A版 高中数学选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 复数四则运算的知识导学（word版）

复数四则运算
　　[本周教学内容]：复数
　　[重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。
　　复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，除运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几何的联系。
　　[难点]：一元二次方程根的讨论。
　　[例题讲解]：
　　例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数
；(3)纯虚数；(4)零。
　　解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i
　　(1)当m=1或m=2时，Z是实数。
　　(2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。
　　(3)当
　　
　即当时，Z是纯虚数。
　　(4)当
　　　
即m=2时，Z是零。
　　例2．已知：，求实数x。
　　解：
　
　　
　　即或x≥8。
　　例3．计算：
　　解：原式=
　　　　　　
　　例4．求的平方根。
　　解：设的平方根为x+yi
(x,y∈R)，
　　则
　　　
　　由复数相等的定义得
　　(1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25
　　　　　　　　　x2+y2=5
(舍去负值)........(3)
　　(1)+(3)，x2=3,
x=,
　　(3)-(1),
y2=2,
。
　　∵
，∴
或
　　∴
的平方根为。
　　例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。
　　解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。
　　|Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；
　　，
　　∴
,
。
　　例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。
　　解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，
　　几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。
　　(1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。
　　(2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1，F2。
　　(3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。
　　例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。
　　解：∵
a∈R，∴
方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。
　　(1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。
　　由韦达定理
　　又∵
|a|+|b|≥0，
　　∴
　　　　　　　　
　　①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2,
　　②当a<0时，|a|+|b|=。
　　(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。
　　
　　例8．已知是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。
　　解：。
　　方法(1)
∵
实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数，
　　∴
也是该方程的根。
　　由韦达定理：
　　解得：a=1，。
　　方法(2)，∵
是方根的根，代入原方程整理得：
　　。
　　由复数相等的定义得
　　解得a=1，。
　　[本周参考练习]
　　一、选择题：
　　1．下面四个命题，正确的是（
）。
　　A、|Z|2=Z2
(Z∈C)　　　　　
B、
(Z∈C)
　　C、|Z|<1-1(Z∈C)　　D、|Z1-Z2|=0Z1=Z2
(Z1,Z2∈C)
　　2．Z1，Z2∈C,
则Z1+Z2∈R,
且Z1·Z2∈R，是Z1与Z2共轭的（
）。
　　A、充分但不必要条件　　B、必要但不充分条件
　　C、充要条件　　　　　　D、既不充分也不必要条件
　　3．复数的共轭复数是（
）。
　　A、3-4i　　B、3+4i　　C、　　D、
　　4．关于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根，则m的取值范围是（
）。
　　A、　　B、
　　C、　　　　D、
　　5．在复平面内，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4.
则复数Z的对应的点的轨迹是（
）。
　　A、椭圆　　B、圆　　C、直线　　D、线段
　　6．设Z=x+yi(x,y∈R)，则满足等式|Z+2|=-x的复数Z对应的点的轨迹是（
）。
　　A、椭圆　　B、双曲线　　C、抛物线　　D、圆
　　7．若P、Q是复平面内|Z|=2与直线的两个交点，则P与Q之间的距离为（
）。
　　A、　　B、　　C、　　D、
　　二、填空题
　　1．设复数Z1=2-i,
Z2=1-3i,
则复数的虚部等于________。
　　2．-5-12i的平方根是______。
　　3．若x∈C且x2+ix+6=5x+2i，则x=______。
　　参考答案：
　　一、1.
D　　2.
C　　3.
D　　4.
B　　5.
D　　6.
C　　7.
A
　　二、1.
　　2.
2-3i,
-2+3i　　3.
2,
3-i