沪教版数学高二下春季班：第二十讲 期末复习 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第二十讲
课题
期末复习
单元
第章
学科
数学
年级
十一
学习目标
熟练记忆复数相关公式并会灵活运用；掌握立体几何的常见题型解法；掌握排列组合二项式概率统计各种典型问题的解法．
重点
1、立体几何角与距离的计算；2、排列组合概率问题解法．
难点
1、立体几何角与距离的计算；2、排列组合概率问题解法．
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
一、复数
【例1】求同时满足下列两个条件的所有复数：
（1）
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，且
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)；（2）的实部与虚部都是整数．
【难度】★★
【答案】设
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
则
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
因为
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。所以
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。
当
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)时，
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，又
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，而
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以在实数范围内无解。
当
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)时，则
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。由
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
因为
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为正整数，所以
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)的值为
1，或2，或3。
当
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)当
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)；当
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)。
则
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．
【例2】若复数满足.则在复平面上对应点集合的面积为
．
【难度】★★
【答案】
【例3】关于的方程有实根，且一个根的模是2，求实数、的值．
【难度】★★
【答案】设是方程的一实根，则．则
（1）当时，此方程为．
①有实根，即或．
当根为2时，．得．
当根为时，．得．
②有一对共轭虚根即．模为2，即有（舍）．
（2）当时，则，此时．又因为模为2，所以．
所以或或或
【例4】已知，试求的值．
【难度】★★★
【答案】令，可得，再令可得：
，
令，结合复数相等的意义综合可得：，最值可得．
【巩固训练】
1．已知
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为复数，
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为纯虚数，
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，且
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．求复数
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．
【难度】★
【答案】设
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，则
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)=
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)为纯虚数，所以
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，
因为
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)，所以
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)；又
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．解得
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)
所以
(?http:?/??/?www.7caiedu.cn?/??)．
2．在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①；
②若，，则；
③若，则，对于任意，；
④对于复数，若，则．
其中真命题的序号为（
）
A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．②③④
【难度】★★
【答案】B
3．关于的二次方程中，，，都是复数，且，设这个方程的两个根、满足，求的最大值和最小值．
【难度】★★
【答案】根据韦达定理有
∵
∴．
∴，即，
这表明复数在以为圆心，7为半径的圆周上，
∴，．
当即．
4．设复数满足条件（其中，），当为奇数时，动点的轨迹为；当为偶数时，动点的轨迹为，且两条曲线都经过点，求轨迹与的方程．
【难度】★★★
【答案】方法1：①当为奇数时，，常数），
轨迹为双曲线的一支，其方程为；
②当为偶数时，，常数），
轨迹为椭圆，其方程为；
依题意得方程组解得，
因为，所以，
此时轨迹为与的方程分别是：，.
方法2：依题意得
轨迹为与都经过点，且点对应的复数，代入上式得，
即对应的轨迹是双曲线，方程为；
对应的轨迹是椭圆，方程为.
二、立体几何
1、平行与垂直
【例5】如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q在BD上，
点P在D1A，且AP＝BQ，求证：PQ∥平面AA1B1B.
【难度】★★
【答案】作PF⊥AD,连结QF，在△ADD1中,AP：AD1=AF：AD
又因为AP=BQ,AD1=BD所以AF：AD=BQ：BD
由此得QF⊥AD,因为AD⊥PF所以AD⊥平面PFQ
又因为AD⊥平面CC1DD1
所以平面PFQ‖平面CC1DD1
因为PQ在平面PFQ内,所以PQ‖平面CC1DD1
【例6】如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点分别在和上，且，平面，求线段的长．
【难度】★★
【答案】作交于，连，∵平面，平面.
∴平面平面，
而平面分别与此两平行平面相交于，.
∴.
∵,∴＝.∴＝＝,＝＝＝.
∴,又.∴
在Δ中由余弦定理得
【例7】正四棱柱中，，点在上且．
证明：平面；
【难度】★★
【答案】依题设知，．（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，．
在平面内，连结交于点，
由于，故，，
与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面．
【例8】如图2，在三棱锥中，，，作，Ｅ为垂足，作于．求证：．
【难度】★★★
【答案】取AB中点F，连接CF，DF；
∵BC=AC，AD=BD，∴AB⊥CF，AB⊥DF，CF∩DF=F；
∴AB⊥平面CDF，CD?平面CD；
∴CD⊥AB，CD⊥BE，BE∩AB=B；
∴CD⊥平面ABE，AH?平面ABE；
∴CD⊥AH，即AH⊥CD，又AH⊥BE，BE∩CD=E；
∴AH⊥平面BCD．
【巩固训练】
1．E，F分别是空间四边形ABCD的AC，BD的中点，过E，F且平行于AD的平面分别交AB，CD于G，H．求证：BC平面EGFH．
【难度】★★
【答案】
同理，，
又因为EF分别为AC，BD中点，GF、EH分别为所在三角形中位线
，
可知G、H为AB、CD中点，可知
2．如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，
求证：（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A1BD．
【难度】★★
【答案】（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C上的射影.∴AP⊥B1C.
又B1C∥MN，∴AP⊥MN.
（2）连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，
∴PN∥B1D1.又B1D1∥BD，
∴PN∥BD.又PN不在平面A1BD上，
∴PN∥平面A1BD.
同理，MN∥平面A1BD.又PN∩MN=N，
∴平面PMN∥平面A1BD.
3．P是△ABC所在平面外的一点，P在平面ABC内的射影是O，①若PA=PB=PC，则O是△ABC的外心；②若P到△ABC的三边所在直线的距离相等，且O在△ABC内，则O是△ABC的内心；③若PA、PB、PC两两互相垂直，则O是△ABC的垂心；④若PA=PB=PC，且O在边AB上，则△ABC是直角三角形。正确的命题是
．
【难度】★★
【答案】①②③④
4．如图：斜边为AB的与PB交于Ｅ，
求证：平面．
【难度】★★★
【答案】BC⊥PC,?BC⊥AC,?∴BC⊥PAC,?PBC⊥PAC,（BC∈PBC）.又AF⊥PC（交线）
?∴AF⊥PBC,?AF⊥PB,又AE⊥PB,∴AEF⊥PB,EF⊥PB.∴PB⊥平面AEF
2、角与距离
【例9】已知四面体中，两两互相垂直，且，是中点，异面直线与所成的角大小为，求的长．
【难度】★★
【答案】4
【解析】过引的平行线，交的延长线于，连结，则是异面直线与所成的角。
∴。∵是的中点，∴是的中点，。
设，则，又，所以。
中，由余弦定理，，即的长为4。
【例10】已知长方体，点E在是棱的中点，与底面ABCD所成的角为，AB＝AD=1．
（1）求证：∥平面EAC；
（2）求异面直线与AC之间的距离；
（3）求与平面AEC所成的角．
【难度】★★
【答案】（1）略；（2）；（3）
【例11】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=
AD=a,
∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a．
（1）求异面直线AD与PC间的距离；
（2）在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为．
【难度】★★★
【答案】
(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC，AE为所求
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a
∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=
∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一点F，使PC⊥CF
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
【例12】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90?，
AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD，
⑴PA与BD是否互相垂直，请证明你的结论；
⑵求二面角P－BD－C的正切值；
⑶求证：平面PAD⊥平面PAB。
【难度】★★
【答案】⑴PA与BD互相垂直，证明如下：
取BC的中点O，连AO，交BD于点E，连PO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC
又∵面PBC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，由于Rt△ABORt△BCD
∴∠BEO=∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90?，
∴BD⊥AO，∴PA⊥BD
⑵由⑴，易知∠PEO为二面角P－BD－C的平面角，
设AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2a，则，
，∴二面角P－BD－C的正切值。
⑶取PB的中点N，连CN，∵PC＝BC，∴CN⊥PB
又∵面PBC⊥面PAB，∴CN⊥面PAB，取PA中点M，连DM、MN，
则由MN∥AB∥DC，，得MNCD为平行四边形
∴CD∥DM，∴DM⊥平面PAB，又∵DM面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB
【巩固训练】
1．是正三角形所在平面外一点，且∠=∠=∠=，、分别是、的中点，求异面直线SM与所成的角．
【难度】★★★
【答案】取CM中点P，则NP//SM，
从而∠PNB为SM与BN所成的角．
设SA=SB=SC=a,则AB=BC=AC=a,所以
又
所以．
∴异面直线与所成的角是．
2．如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分是上的点，且，过点作的平行线交于．求与平面所成角的正弦值．
【难度】★★
【答案】（1）在中，，,而PD垂直底面ABCD，
，中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即
3．如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F．
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等．
【难度】★★★
【答案】(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1
∴BB1⊥平面A1EF
即面A1EF⊥面BB1C1C
在Rt△A1EB1中，
∵∠A1B1E=45°，A1B1=a
∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a
同理A1F=a,又EF=a
∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°
过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1
即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离
∴A1N=
又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为
∴a=2，∴所求距离为2
(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形
(?http:?/??/?www.xjktyg.com?/?wxc?/??)
∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N
∴B1C1⊥平面ADD1A1
∴BC⊥平面ADD1A1
得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，
若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°
∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件
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4．在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如图1）。将△AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1－EF－B成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）
（Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；
（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角B－A1P－F的大小（用反三角函数表示）
【难度】★★
【答案】解法一：
不妨设正三角形ABC的边长为3。
（Ⅰ）在图1中，取BE的中点D，连结DF。
∵AE
:
EB=CF
:
FA=1:2，∵AF=AD=2，而∠A=60°，
∴△ADF是正三角形。
又AE=DE=1，
∴EF⊥AD[来源:学§科§网]
在图2中，A1E⊥EF，BE⊥EF，
∴∠A1EB为二面角A1—EF—B的平面角。
由题设条件知此二面角为直二面角，
∴A1E⊥BE。
又BE∩EF=E，
∴A1E⊥平面BEF，即A1E⊥平面BEP。
（Ⅱ）在图2中，∵A1E不垂直于A1B，∴A1E是平面A1BP的斜线。
又A1E⊥平面BEP，
∴A1E⊥BP，
从而BP垂直于A1E在平面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）。
设A1E在平面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于点Q，则
∠EA1Q就是A1E与平面A1BP所成的角，
且BP⊥A1Q。
在△EBP中，
∵BE=BP=2，∠EBP=60°，
∴△EBP是等边三角形，
∴BE=EP
又A1E⊥平面BEP，
∴A1B=A1?P，
∴Q为BP的中点，且。
又A1E=1，在Rt△A1EQ中，
∴∠EA1Q=60°
所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°。
（Ⅲ）在图3中，过F作FM⊥A1P于M，连结QM，QF。
∵CF=CP=1，
∠C=60°，
∴△FCP是正三角形，
∴PF=1。
又，
∴PF=PQ。
①
∵A1E⊥平面BEP，
∴A1F=A1Q；
∴△A1FP≌△A1QP
从而∠A1PF=∠A1PQ
②
由①②及MP为公共边知△FMP≌△QMP，
∴∠QMP=∠FMP=90°，且MF=MQ，
从而∠FMQ为二面角B—A1P—F的平面角。
在Rt△A1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，
∴。
∵MQ⊥A1P，
∴
在△FCQ中，FC=1，QC=2，∠C=60°，由余弦定理得QF=。
在△FMQ中，
解法二：
不妨设正三角形ABC的边长为3。
（Ⅰ）同解法一。
（Ⅱ）如图1，由解法一知A1E⊥平面BEF，
BE⊥EF。建立如图4所示的空间直角坐标系
，则E（0，0，0）、A1（0，0，1）
B（2，0，0）、F（0，，0）。
在图1中，连结DP，∵AF=BP=2，
AE=BD=1，∠A=∠B，
∴△FEA≌△PDB，PD=EF=。
由图1知PF//DE且PF=DE=1，
∴P（1，，0）
∴
∴对于平面A1BP内任一非零向量a，存在不全为零的实数、，
使得
∴
∵直线A1E与平面A1BP所成的角是A1E与平面A1BP内非零向量夹角中最小者，
∴可设，
又的最小值为4，
∴的最大值为，即与a夹角中最小的角为60°
所以直线A1E与平面A1BP所成的角为60°
（Ⅲ）如图4，过F作FM⊥A1P于M，过M作MN⊥A1P交BP于N，则∠FMN为二面角B—A1P—F的平面角。
设。
∵
又
∵A1、M、P三点共线，
∴存在，使得
∵
∴，
从而
代入①得
同理可得，从而。
∴
所以二面角B—A1P—F的大小为
3、表面积体积
【例13】如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为
．
【难度】★★
【答案】
【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。
侧面展开后得矩形，其中问题转化为在上找一点使最短
作关于的对称点，连接，令与交于点则得的最小值为。
【例14】三棱锥中，，且与底面成角．
（1）求证是直角三角形；
（2）求该三棱锥体积的最大值．
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】（1）设在底面的射影为，则为的外心，且。
∴为中点，故是以为直角的直角三角形。
（2）。
此时是等腰直角三角形。
也可设，则，当时，。
此时。
【例15】如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为
【难度】★★
【答案】
【例16】地球半径为，地位于经度，北纬；地位于纬度，东经。
（1）地球自转6小时，地旋转了多少路程？
（2）求两地的球面距离．
【难度】★★
【答案】；
【解析】设纬度的大圆圆心为，北纬的小圆圆心为。两地的位置如图所示。
（1）易知，地球自转6小时，
地在北纬的小圆圆周上旋转的圆心角为，则它所经过的路程为。
（2）可看作异面直线与上的两点，是异面直线与的公垂线段。
过作大圆的垂线，垂足为，则
，
∴，则，故求两地的球面距离为。
【巩固训练】
1．如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（??）
A.
B.
C.
D.
【难度】★★
【答案】C
2．我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值，那么
甲的面积是乙的面积的倍。你可以从给出
的简单图形①（甲：大矩形、乙：
小矩形）、②（甲：大直角三角形
乙：小直角三角形）中体会
这个原理，现在图③中的曲线分别是
与，
运用上面的原理，求图③中椭圆的面积．
【难度】★★★
【答案】．
3．设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为4，圆锥
顶点到
直线AB的距离为2，AB和圆锥的轴的距离为2，则该圆锥的体积为________．
【难度】★★
【答案】π
【解析】如图O为底面圆心，OC⊥AB于C.
由OA=OB得C为AB中点，
由SA=SB，C为AB中点得SC⊥AB于C.
∴OC=2,SC=2,AC=CB=2,
SO==2，
OB==2
.
∴V=π·OB2·SO=π.
4．设地球上两点,，其中位于北纬，位于南纬，且、两点的经度差为，求、两点的球面距离。
【难度】★★
【答案】如图所示，设，分别为地球球心、
北纬纬线圈的圆心和南纬纬线圈的圆心。
连结
,，则由异面直线上两点间的距离公式得
即两点的球面距离为
三、排列组合二项式概率统计
【例17】一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有
_____
种．
【难度】★★
【答案】192
【例18】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．
【难度】★★
【答案】
【解析】把问题转化为10个相同的黑球与990个相同白球，其其中黑球不相邻的排
列问题．于是答案为．
【例19】中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围.
（1）求它是第几项；（2）求的最值.
【难度】★★★
【答案】（1）设=（为常数项，则有，∴=4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
≥①
≥②
由①得≥，∵＞0，＞0，∴
≥，即≤.
由②得≥，∴≤≤.故的最大值、最小值分别为、.
【例20】现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄0语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
（1）求A1被选中的概率；
（2）求B1和C1不全被选中的概率．
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用表示“恰被选中”这一事件，事件由，因而.
（2）用表示“不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“全被选中”这一事件，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3个结果，事件有3个基本事件组成，所以，由对立事件的概率公式得.
【例21】一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10。现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同。若m=6，则在第7组中抽取的号码是___________。
【难度】★★
【答案】63
【巩固训练】
1．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，在不同的选派方法共有
．
【难度】★★
【答案】60
【解析】本题采用先分组（）再排列（）的方法．
2．亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
【难度】★★
【答案】252
【解析】设亚洲队队员为a1，a2，…，a5，欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为=252（种）．
3．若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
【难度】★★
【答案】由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，
展开式中系数最大的项为,有
4．一台机床有的时间加工零件A,
其余时间加工零件B,
加工A时,停机的概率是,加工B时,停机的概率是,
则这台机床停机的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
【难度】★★
【答案】A
【解析】机床停机的概率就是两种零件都不能加工的概率，即.
5．已知总体的各个体的值由小到大依次为2,
3,
3,
7，，，12，13.7,
18.3
,20，且总体的中位数为10.5，若要使该总体的方差最小，则=
。
【难度】★★
【答案】10.52
【解析】
1、有下列4个命题：
①若是复数，且，则；
②若，则；
③若，则是实数；
④若分别对应点A、B（O为坐标原点）且，则，
上述命题中正确的是
．（写出所有正确命题的序号）
【难度】★★
【答案】②③④
2、已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是
（写出所有正确结论的编号）
【难度】★★
【答案】①②④
3、种植两株不同的花卉，它们的存活率分别为和，则恰有一株存活的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】A
4、满足+=2n的最小自然数为(
）
A．
1
B．2
C．3
D．4
【难度】★★
【答案】C
5、有一种多面体的饰品，其表面由个正方形和个正三角形组成（如图），
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
与
HYPERLINK
"http://www.zxsx.com"
所成角的大小是
．
【难度】★★
【答案】
6、某研究机构准备举办一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示
版本
人教A版
人教B版
苏教版
北师大版
人数
20
15
5
10
（1）从这50名教师中随机选出2名，问这2人使用相同版本教材的概率是___________
【难度】★★
【答案】
【解析】50名教师中随机选出2名的方法数为，选出的2人所使用版本相同的方法数为，所以2人所使用版本相同的概率为.
7．设二面角的大小为
，若平面
内一点到平面的距离为8
，则点在平面内的射影到平面的距离为
（
）
A．
B．
C．
D．
【难度】★★
【答案】A
8、如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是(　　)
【难度】★★
【答案】D
9、如图,已知三棱锥的底面是直角△,直角边长分别为和,过直角顶点的侧棱长为,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是
(
)
【难度】★★
【答案】B
10、过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有
．
【难度】★★★
【答案】36
【解析】大家知道一个三棱锥可以确定3对异面直线，一个三棱柱可以组成（个）三棱锥，则共有36对异面直线．
11、如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,
则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
A．
B．
C．
D．
【难度】★★★
【答案】D
【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的表面积为若，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为
12、在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，异面直线AB、CD所成角大小是，求线段MN的长．
【难度】★★
【答案】取棱AD的中点，连结MP、NP，
则MP，PN，
若，则，
若，则，
∴．
13、已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【难度】★★
【答案】令得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为
，∴有．∴．
(1)∵，故展开式共有，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
∴，．
(2)设展开式中第项的系数最大．
，
故有
即
解得．∵，
∴，即展开式中第项的系数最大．
14、已知复数，满足条件，，是否存在非零实数，使得和同时成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【难度】★★★
【答案】据题意，得，即，故，是方程的两个根．
（1）当△即且时，，，记，
则，，解得．
（2）当△，即时，、为一对共轭虚数，则，由，得，所以．
综上，当或时，和同时成立．
15、如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
【难度】★★
【答案】连接BD，∵⊥平面
平面
∴AC⊥SD
又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴AC
⊥平面SBD
∴AC⊥SB.
（2）设的中点为，连接、，
∵SD=AD，CS=CA,
∴DE⊥SA，
CE⊥SA.
∴是二面角的平面角.
计算得：DE＝，CE＝，CD＝2，则CD⊥DE.
,
所以所求二面角的大小为
.
16、如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）.平面交于点，于点.
（1）设，将长表示为的函数；
（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
【难度】★★
【答案】（1）在△中，，；
其中；
在△中，，
在△中，，
（2）当时，最小，此时．
因为在底面中，，所以，又，
为异面直线与所成角的平面角，
在△中，为直角，，所以，
异面直线与所成角的大小（或等）
例题解析
A
B
C
D
E
A1
B1
C1
D1
E
B
C
D
A
F
GF\
H
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
图1
图2
图3
C
A
B
P
∴有
反思总结
课后练习
4
5
4
4
4
3
3
4
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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