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高二年级
数学
复数的几何意义
复习
对于复数
（
，
）回答下列问题．
复习
对于复数
（
，
）回答下列问题．
1．复数
的实部、虚部分别是什么？
复习
对于复数
（
，
）回答下列问题．
1．复数
的实部、虚部分别是什么？
实部是
，虚部是
．
复习
对于复数
（
，
）回答下列问题．
1．复数
的实部、虚部分别是什么？
实部是
，虚部是
．
2．
，
满足什么条件时复数
是纯虚数？是实数？
复习
对于复数
（
，
）回答下列问题．
1．复数
的实部、虚部分别是什么？
实部是
，虚部是
．
2．
，
满足什么条件时复数
是纯虚数？是实数？
时
是纯虚数；
时
是实数．
一、建立平面直角坐标系
思考：实数的几何意义是什么？
一、建立平面直角坐标系
思考：实数的几何意义是什么？
思考：实数的几何意义是什么？
一、建立平面直角坐标系
我们知道，实数与数轴上的点一一对应．
实数
数轴上的点
思考：实数的几何意义是什么？
一、建立平面直角坐标系
例如：实数
，
，
，
．
因此，实数可以用数轴上的点来表示．
思考：实数的几何意义是什么？
一、建立平面直角坐标系
例如：实数
，
，
，
．
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
复数能否用数轴上的点表示？
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
由定义出发，复数
，由实部
和虚部
唯一确定，可以记作有序实数对
．
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
任何一个复数
，都可以由一个有序实数对
唯一确定．
由定义出发，复数
，由实部
和虚部
唯一确定，可以记作有序实数对
．
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
即：复数 与有序实数对 一一对应．
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
另一方面，有序实数对
可以看作平面直角坐标系中点的坐标．
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
另一方面，有序实数对
可以看作平面直角坐标系中点的坐标．
也就是说，可以把有序实数对
在平面直角坐标系中用点
表示．
一、建立平面直角坐标系
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
有序实数对
复数
平面直角坐标系中
的点
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．
二、复数的几何意义
二、复数的几何意义
横坐标为
，纵坐标为
的点
可以表示复数
．
二、复数的几何意义
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面
称为复平面，
轴叫做实轴；
轴叫做虚轴．
问题2
实轴上的点表示哪些复数？
除了原点外，虚轴上的点表示哪些
复数？
二、复数的几何意义
二、复数的几何意义
实轴上的点
实部为
，虚部为
的复数
实轴上的点都表示实数．
二、复数的几何意义
虚轴上的点
实部为
，虚部为
的复数
除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
二、复数的几何意义
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
二、复数的几何意义
(实数
)
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
实轴上的点
表示的复数为_______________．
二、复数的几何意义
(实数
)
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
实轴上的点
表示的复数为_______________．
二、复数的几何意义
(实数
)
(实数
)
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
实轴上的点
表示的复数为_______________．
虚轴上的点
表示的复数为_______________．
二、复数的几何意义
(实数
)
(实数
)
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
实轴上的点
表示的复数为_______________．
虚轴上的点
表示的复数为_______________．
二、复数的几何意义
(实数
)
(实数
)
(纯虚数
)
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
实轴上的点
表示的复数为_______________．
虚轴上的点
表示的复数为_______________．
点
表示的复数为_____________．
二、复数的几何意义
(实数
)
(实数
)
(纯虚数
)
例
复平面内的原点
表示的复数为____________．
实轴上的点
表示的复数为_______________．
虚轴上的点
表示的复数为_______________．
点
表示的复数为_____________．
二、复数的几何意义
(实数
)
(实数
)
(纯虚数
)
二、复数的几何意义
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；
二、复数的几何意义
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有唯一一个复数和它对应．
二、复数的几何意义
因此，复数集
和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即
二、复数的几何意义
因此，复数集
和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即
，
二、复数的几何意义
复数
，
对应的点的坐标分别是什么？
二、复数的几何意义
复数
，
对应的点的坐标分别是什么？
二、复数的几何意义
复数
，
对应的点的坐标分别是什么？
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
解：
；
；
；
；
；
；
；
．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
如何找到复平面内各点所表示的复数？
例
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格
的边长为1）．
如何找到复平面内各点所表示的复数？
识别点的坐标
对应实部、虚部
确定复数
二、复数的几何意义
有序实数对
复数
二、复数的几何意义
问题3
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示．那么复数能不能用向量来表示呢？
有序实数对
复数
向量
？
二、复数的几何意义
如图，设复平面内的点
表示复数
，
连结
．
二、复数的几何意义
显然向量
由点
唯一确定；反过来，点
（相对于原点来说）也可以由向量
唯一确定．
如图，设复平面内的点
表示复数
，
连结
．
二、复数的几何意义
复数集
与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即
二、复数的几何意义
复数集
与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即
二、复数的几何意义
例如：
．
点
二、复数的几何意义
例如：
．
点
向量
二、复数的几何意义
注：（1）实数
与零向量对应；
二、复数的几何意义
注：（1）实数
与零向量对应；
（2）相等的向量表示同一个复数．
二、复数的几何意义
问题4
我们知道任何一个实数都有绝对值，任何一个向量都有模，它表示向量长度．相应地，你能试着给出复数的模的概念吗？
二、复数的几何意义
向量
的模
叫做复数
的模，
记作：
或
．
二、复数的几何意义
向量
的模
叫做复数
的模，
记作：
或
．
由模的定义可知：
．
二、复数的几何意义
向量
的模
叫做复数
的模，
记作：
或
．
由模的定义可知：
．
注意：（
，且
．）
二、复数的几何意义
例如：向量
的模
．
则复数 的模 ．
二、复数的几何意义
如果
，那么
是一个实数
，它的模
等于
（就是
的绝对值）．
二、复数的几何意义
如果
，那么
是一个实数
，它的模
等于
（就是
的绝对值）．
例如：向量
对应的复数
的模
．
二、复数的几何意义
如果
，
，那么
是一个纯虚数
，它的模等于
．
二、复数的几何意义
例如：向量
对应的复数
的模
．
如果
，
，那么
是一个纯虚数
，它的模等于
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
（2）在复平面内，画出这些复数对应的向量；
（3）求以上这些复数的模．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
实部为
，虚部为
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
实部为
，虚部为
．
点：
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
实部为
，虚部为
．
点：
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
实部为
，虚部为
．
点：
．
在复平面内找到复数对应的点的一般方法：
1．确定复数的实部和虚部；
2．找到对应的横、纵坐标；
3．确定点．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（2）在复平面内，画出这些复数对应的向量；
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（2）在复平面内，画出这些复数对应的向量；
连接
．
在复平面内找到复数对应的向量的一般方法：
在复平面内找到复数对应的向量的一般方法：
1．确定复数的实部和虚部；
2．找到对应的横、纵坐标；
3．确定点；
4．确定向量．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（3）求以上这些复数的模．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（3）求以上这些复数的模．
向量
的模
叫做复数
的模．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
求向量
的模．
求线段
的长度．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
构造直角三角形
，
求斜边
的长．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
构造直角三角形
，
求斜边
的长．
勾股定理．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
构造直角三角形
，
求斜边
的长．
勾股定理．
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（3）求以上这些复数的模．
分析：
利用公式：
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（3）求以上这些复数的模．
分析：
中实部为
，虚部为
，
利用公式：
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（3）求以上这些复数的模．
分析：
中实部为
，虚部为
，
利用公式：
．
．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（3）求以上这些复数的模．
解：
；
；
；
．
求复数的模的一般方法：
求复数的模的一般方法：
方法一
1．在复平面内找到复数对应的点和向量；
2．构造直角三角形，求斜边长．
求复数的模的一般方法：
方法一
方法二
1．在复平面内找到复数对应的点和向量；
2．构造直角三角形，求斜边长．
1．确定复数的实部和虚部；
2．利用公式计算．
例
已知下列4个复数：
；
；
；
．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
（2）在复平面内，画出这些复数对应的向量；
（3）求以上这些复数的模．
（1）位于第四象限；
（2）位于第一、三象限；
（3）位于直线
上．
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
分析：确定复数
的实部和虚部；
不同象限及位置的点坐标的特点．
（1）位于第四象限；
（2）位于第一、三象限；
（3）位于直线
上．
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
（1）位于第四象限；
解：（1）当
时，复数
对应的点位于
第四象限．
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
（1）位于第四象限；
解：（1）当
时，复数
对应的点位于
第四象限．解得：
或
．
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
（2）位于第一、三象限；
解：（2）当
，或
时，复数
对应的点位于第一、三象限．
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
（2）位于第一、三象限；
解：（2）当
，或
解得：
或
或
．
时，复数
对应的点位于第一、三象限．
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
（3）位于直线
上．
解：（3）当
时，复数
对应的点位于直线
上．
例
实数
取什么值时，复平面内表示复数
的点
（3）位于直线
上．
解得：
．
解：（3）当
时，复数
对应的点位于直线
上．
三、反思总结，提炼学习收获
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法方面谈谈．
三、反思总结，提炼学习收获
知识方面：认识了复数的两种几何意义：
，
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法方面谈谈．
，
三、反思总结，提炼学习收获
知识方面：认识了复数的两种几何意义；知道了复平面、实轴、虚轴的概念；
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法方面谈谈．
三、反思总结，提炼学习收获
知识方面：认识了复数的两种几何意义；知道了复平面、实轴、虚轴的概念；以及复数的模的概念．
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法方面谈谈．
三、反思总结，提炼学习收获
思想方法方面：复数的几何意义是通过类比实数的几何意义得到的；其中还蕴含了数形结合的思想．
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法方面谈谈．
三、反思总结，提炼学习收获
思想方法方面：找复数对应的点和向量的方法；求复数的模的方法．
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法方面谈谈．
四、课后作业
（1）在复平面内描出表示这些复数的点；
（2）在复平面内画出这些复数对应的向量；
（3）求这些复数的模．
1．已知复数
，
，
，
，
．
四、课后作业
2．如果点
是复平面内表示复数
（
，
）
的点，分别指出在下列条件下点
的位置：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
同学们再见！教
案
教学基本信息
课题
复数的几何意义
学科
数学
学段：
高中
年级
高二
教材
书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2
（A版）
出版社：人民教育出版社
出版日期：
2007
年
1
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．经历类比实数与实轴上的点一一对应，发现复数与复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系的过程，并在此基础上，得到复数与向量之间的一一对应关系；体会类比的思想．
2．通过从形与数两个角度认识复数的模，能分别用几何方法、代数方法求复数的模，体会数形结合的思想．
3．通过分析和解答例题，能总结出找到复数对应的点和向量的方法，以及求复数的模的方法，发展直观想象的数学素养．
教学重点：复数的几何意义以及复数的模．
教学难点：复数的向量表示．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
对于复数，（其中是实数），请同学们思考回答下列问题．
1．复数的实部和虚部分别是什么？
2．当满足什么条件时，复数是纯虚数？是实数？
复习复数的概念等相关知识，为本节课的内容做铺垫．
新课
一、建立平面直角坐标系
思考：实数的几何意义是什么？
实数与数轴上的点一一对应．
例如：实数．可以分别用图中数轴上的点来表示．
反过来，数轴上的每一个点也都表示唯一一个实数．
有了这种对应关系，实数可以用数轴上的点来表示．
问题1
类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么？复数能否也用数轴上的点表示？
观察复数的结构特征：
由定义出发，复数，由实部和虚部唯一确定，可以记作有序实数对．
任何一个复数，都可以由一个有序实数对唯一确定．
即：复数与有序实数对一一对应．
另一方面，有序实数对可以看作平面直角坐标系中点的坐标．
可以把有序实数对在平面直角坐标系中用点表示．
二、复数的几何意义
复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．
建立了平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，轴叫做实轴；轴叫做虚轴．
问题2
实轴上的点表示哪些复数？除了原点外，虚轴上的点表示哪些复数？
实轴上的点坐标为，对应着实部为，虚部为的复数，因此实轴上的点都表示实数．
虚轴上的点坐标为，且，对应着实部为，虚部为的复数，因此除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
例如：
复平面内的原点表示的复数为（实数）．
实轴上的点表示的复数为（实数）．
虚轴上的点表示的复数为（纯虚数）．
点表示的复数为．
按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；
反过来，复平面内的每一个点，有唯一一个复数和它对应．
因此，复数集和复平面内所有点所成的集合是一一对应的，即
复数复平面内的点
例如：复数，对应的点的坐标分别是什么？
问题3
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示．那么复数能不能用向量来表示呢？
如图，设复平面内的点表示复数，连结．
显然向量由点唯一确定；反过来，点（相对于原点来说）也可以由向量唯一确定．
复数集与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的，即
复数平面向量.
注：（1）实数与零向量对应；
（2）相等的向量表示同一个复数．
问题4
我们知道任何一个实数都有绝对值，任何一个向量都有模，它表示向量长度．相应地，你能试着给出复数的模的概念吗？
向量的模叫做复数的模，
记作：或．
由模的定义可知：
．
注意：（，且．）
例如：向量的模
．则复数的模．
如果，那么是一个实数，它的模等于（就是的绝对值）．
例如：向量对应的复数的模．
如果，，那么是一个纯虚数，它的模等于．
例如：向量对应的复数
的模．
类比实数的几何意义，探究发现复数的几何意义．
根据复数的结构特征，发现复数与有序实数对之间的一一对应关系．
由有序实数对与点的坐标的关系，得出结论：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．
根据实轴、除了原点外虚轴上点的坐标特点，得出对应结论．
通过简单的例子加深对复数与点之间一一对应关系的理解．
归纳总结出复数的第一种几何意义：复数集和复平面内所有点所成的集合是一一对应的．
通过例子更直观的理解复数与点之间的一一对应关系．
通过回忆平面向量的坐标表示，引导学生发现复数与平面向量之间的关系．
进一步得到复数的第二种几何意义：复数集与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的．
通过向量的模，得出复数的模的概念，及其计算方法．
提示注意复数求模的结果是非负的实数．
深入研究特殊的复数的模,结合例子理解其几何意义．
例题
例1
说出图中复平面内各点所表示的复数（每个小正方格的边长为1）．
解：；；；；
；；；．
例2
下列4个复数：．
（1）在复平面内，描出表示这些复数的点；
（2）在复平面内，画出这些复数对应的向量，
（3）求以上这些复数的模．
解：（1）如图所示．
归纳在复平面内找到复数对应的点的一般方法．
（2）如图所示：
归纳在复平面内找到复数对应的向量的一般方
法．
（3）法一：复数的模等于它对应向量的模，因此：
过点做轴的垂线交轴于点，构造直角三角形
．
根据勾股定理得：
，
所以，．
法二：
；
；
；
．
归纳求复数的模的一般方法．
例3
实数取什么值时，复平面内表示复数
的点
（1）位于第四象限；
（2）位于第一、三象限；
（3）位于直线上．
解：（1）当时，复数对应的点位
于第四象限．解得：或．
（2）当，或
时，复数对应的点位于第一、三象限．解得：
或或．
（３）当时，复数
对应的点位于直线上．解得：．
加深对复数与复平面内的点之间一一对应关系的理解．
检测学习效果，同时熟悉解题思路，巩固知识，加深对复数的两种几何意义，及复数的模的理解．
引导学生总结找到复数对应的点，及向量的方法．
引导学生发现几何、代数两种求模的方法，并将两种方法进行对比．
对复数与点之间一一对应关系的更高层次考查．
总结
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和数学思想方法方面谈谈．
知识方面：复数的两种几何意义．复平面、实轴、虚轴的概念．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数的模的概念．
能够通过几何，和代数两种方法求复数的模．公式，即实部和虚部平方和的算术平方根．
思想方法方面：复数的几何意义是类比实数的几何意义得到的，其中还蕴含了数形结合的思想．
找到复数对应的点和向量的方法，以及求复数的模的方法．
对本节课的知识进行梳理，体会其中蕴含的数学思想方法，将其转化为自己的学习经验．
作业
1．已知复数．
（1）在复平面内描出表示这些复数的点；
（2）在复平面内画出这些复数对应的向量，
（3）求这些复数的模．
2．如果点是复平面内表示复数的点，分别指出在下列条件下点的位置：
（1）
；
（2）；
（3）
；
（4）．
落实本节课的学习内容．
