教
案
教学基本信息
课题
利用导数研究函数极值（2）
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1
（B版）
出版社：人民教育出版社出版
日期：2007
年
4
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.结合函数实例，探索并了解函数极值与最值的关系，发展数学抽象素养；
2.结合函数实例，借助几何直观探索并归纳求解函数最值的步骤，发展数学抽象与数学建模素养；
3.在具体实例中，运用恰当的方法解决函数的最值问题与相关问题，提升数学转化能力，逻辑推理能力和数学运算能力.
教学重点、难点：
掌握求解函数最值的步骤，利用最值求解函数相关问题.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
创设情境，引发思考
问题1
已知函数在闭区间上的图象如图1，由图象可以确定出该函数的哪些信息？
问题2
已知函数，判断：在区间上是否存在的最大值与最小值.
解
.
解方程
，
得
，.
当变化时，，的变化状态如下表：
根据单调性可以判断出，的最小值只能是和两个值中的较小者；的最大值只能是和两个值中的较大者.
由,，且，则的最小值为；
由，，且，则的最大值为.
借助几何直观，探究函数极值在研究函数中的作用.
利用导数研究函数单调性与极值，确定出函数在指定闭区间上的最小值、最大值,提升逻辑推理能力.
新课
函数极值是函数的局部性质，而函数最值是函数相对整个定义域或所研究问题的整体的性质.因此，函数的极大值不一定是函数的最大值，函数的极小值也不一定是函数的最小值.
（一）探究规律，总结方法
问题3
已知函数，，在上的图象如图（图2-图4），请说出这三个函数取得最值的位置.
求可导函数在闭区间上的最大（小）值步骤：
I
求在开区间内所有极值点；
II
计算函数在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
（二）对比分析，提升认识
问题2
已知函数，判断：在区间上是否存在最大值与最小值.
解
.
解方程
，
得
，.
由,，，，则的最小值为；的最大值为.
问题4
可导函数在开区间内是否也一定存在最大值与最小值呢？请说出你是怎么判断的.
借助几何直观，发现函数在闭区间上最值的规律，总结求解函数最值的步骤.
总结解决问题的过程与方法，提升概括能力与逻辑推理能力.
对比分析，巩固强化求解函数最值的步骤与方法.
通过对比分析，提升对函数性质的研究与应用意识.
例题
例
已知函数.求函数在区间的最大值和最小值.
解：，
解方程，得，.
，，，.
极值点的函数值与端点的函数值比较，得在区间的最大值是，最小值是.
变式1
已知.若任意，.求实数的取值范围.
解
由题意，可得，.
由例题可知，当时，，
得，.所以，实数的取值范围是.
变式2
已知.若任意，.求实数的取值范围.
解
由题意，可得，.
由例题可知，当时，，
得，.所以，实数的取值范围是.
变式3
已知.若存在，使得，求实数的取值范围.
解
由题意，可得，.
由例题可知，当时，，
得，.所以，实数的取值范围是.
变式4
已知.若存在，使得，求实数的取值范围.
解
由题意，可得，.
由例题可知，当时，，
得，，所以，的取值范围是.
思考题：对于变式4，还能想到其他的思路吗？
通过解决实际问题，巩固强化求解函数最值的步骤与方法.
通过应用函数最值解决函数中的不等式问题，提升学生转化能力与数学运算能力.
从不同角度思考，提升数学思维能力.
总结
1.
通过观察、分析具体函数，发现并归纳出可导函数在指定闭区间上存在唯一确定最大值与最小值，且最值与函数极值有密切联系.
2.
通过观察、研究具体函数，借助函数图象，得到可导函数在指定闭区间上的最大值与最小值一定在极值点或端点取得，总结出求函数在指定闭区间上最值的步骤.
3.
应用求函数在指定闭区间上最值的方法，解决实际函数问题.
4.
应用函数最值，运用转化思维，求解函数中的不等式问题.
这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我熟悉过程.通过小结反思学习过程，提升运用数学思维研究问题的能力，领会研究问题的方法，明确研究问题的步骤.
作业
求函数在区间，上的最大值与最小值.
解：，得：
解方程
，得：，
由
所以，函数在区间，上最小值，最大值.(共32张PPT)
利用导数研究函数极值（2）
高二年级
数学
函数极值
最大值与最小值
单调区间
图1
（一）创设情境
函数极值
函数最值
局部性质
整体性质
图2
图3
图4
（二）探究归纳
我们发现
可导函数在指定闭区间上存在最大值与最小值，而且函数最值一定在极值点或区间端点处取得.
问题4
可导函数在开区间内一定存在最大值与最小值吗？请说出你是怎么判断的.
（三）类比研究
图5
图6
图7
函数举例
问题4
可导函数在开区间内一定存在最大值与最小值吗？请说出你是怎么判断的.
（四）例题解析
（五）变式拓展
图8
图8
图8
图8
图8
图8
图8
图8
图8
图8
图8
图8
1.发现并得到函数最值问题的规律；
课堂小结
2.总结并得到求函数最值的步骤；
3.解决函数最值的具体问题；
4.函数最值的综合应用.
课后作业
