人教版九年级数学上册21.2.2 公式法课件（1）（21张PPT)

(共21张PPT)
21.2.2
公式法
一元二次方程
人教版-数学-九年级上册
知识回顾
用配方法解一元二次方程的一般步骤：
一移
→
二化
→
三配→
四开．
学习目标
1．了解一元二次方程根的判别式．
2．会用一元二次方程根的判别式判断根的情况．
3．能根据根的情况，确定方程中字母系数的取值范围．
课堂导入
你能用配方法解方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
吗?
移项，得
ax2+bx=-c．
二次项系数化为1，得
配方，得
即
．
．
课堂导入
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
方程有两个不相等的实数根．
(1)
>0
>0
,
课堂导入
方程有两个相等的实数根．
(2)
=0
0
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
课堂导入
方程无实数根．
因为a≠0，所以4a2＞0．
式子b2－4ac的值有以下三种情况：
(3)
<0
0
知识点1
新知探究
一般地，式子
b2?4ac
叫做一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即
Δ＝b2?4ac．
知识点1
新知探究
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
的根有三种情况：
当
Δ
>
0
时，方程有两个不相等的实数根；
当
Δ＝0
时，方程有两个相等的实数根；
当
Δ
<
0
时，方程无实数根．
根的判别式
Δ＝b2－4ac
一元二次方程有实根包括一元二次方程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根这两种情况，此时
Δ
≥
0，不要漏掉等号．
知识点1
新知探究
判断方程根的情况的方法：
1．若一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
中的左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；
2．若方程中a，c异号，或b≠0且c＝0时，则该方程有两个不相等的实数根；
3．当方程中a，c同号时，必须通过Δ的符号来判断根的情况．
知识点1
新知探究
一元二次方程根的判别式的应用：
1．不解方程，判断方程根的情况；
2．根据方程根的情况，确定方程中的字母的取值范围；
3．应用判别式证明方程根的情况．
跟踪训练
新知探究
若关于
x
的一元二次方程
kx2?4x+2=0有两个不相等的实数根，则
k
的取值范围为
．
k<2且k
0
解：因为关于
x
的一元二次方程
kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
所以
k≠0且Δ＞0，即
(-4)2-4×k×2＞0，
解得
k＜2且
k≠0，
所以k的取值范围为
k＜2且
k≠0．
随堂练习
1
若关于
x
的一元二次方程
x2－4x＋5＝a
有实数根，则
a
的取值范围是(
)
D
A．
a＜1
B．
a＞1
C．
a≤1
D．
a≥1
解：因为关于
x
的一元二次方程
x2－4x＋5＝a有实数根，
方程转化为（x-2)
2+1=
a
，要使方程成立，即a-1≥0，
解得a≥1
，所以a的取值范围为
a≥1
．
随堂练习
2
一元二次方程
x2?5x＋7＝0
的根的情况是(
)
A
A．
没有实数根
B．
有两个相等的实数根
C．
有两个不相等的实数根
D．
有两个实数根
解：要判断方程是否有根，首先要判断Δ，
因为
Δ=
(-5)2-4×1×7=
-3<0，
所以此方程没有实数根.故选A.
随堂练习
3
利用判别式判断下列方程的根的情况：
(1)；
两个不相等的实根
两个相等的实根
Δ=
Δ=
(2)
25x2-20x+4=0．
随堂练习
4
关于
x
的方程
m2x2+(2m+1)x+1=0
有两个不相等的实数根，则
m
的取值范围为
．
解：因为a=m
2
，b=2m+1，c=1，方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=b2-4ac=(2m+1)2-4m2=1+4m＞0，
所以m＞．
又因为二次项系数不为0，
所以m≠0，
即m＞
且m≠0．
课堂小结
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0(a≠0)
根的判别式
Δ＝b2－4ac．
判别式的情况
根的情况
Δ＞0
两个不相等的实根
Δ＝0
两个相等的实根
Δ＜0
无实根
对接中考
1
关于
x
的一元二次方程
(k+1)x2-2x+1=0
有两个实数根，则
k
的取值范围是(
)
A．k≥0
B．k≤0
C．k<0
且
k≠-1
D．k≤0
且
k≠-1
D
解：因为方程有两个不相等的实数根，
所以Δ=b2-4ac=
(-2)
2-4(k+1)=
-4k≥0，
所以k≤．
又因为二次项系数不为0，
所以k+1≠0，即k≠．
故k
的取值范围为k≤0
且
k≠-1.
对接中考
2
（2019·河南中考）一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是（
）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
解：原方程可化为x?-2x-4=0，
∴
a=1，b=-2，c=-4，
∴
?=（-2）?-4×1×（-4）=20>0，
∴
方程有两个不相等的实数根.
A
对接中考
3
不解方程，直接判断下列一元二次方程根的情况：
(1)
x2-4x-5=0；
(2)
2x2+3x+5=0；
(3)
4x2=4x-1．
两个不相等实根
没有实数根
两个相等实根
对接中考
4
已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状.
解：方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0，
因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根，
所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0，
即a2+b2=c2，
所以此三角形为直角三角形．