人教版九年级数学上册21.2.3因式分解法课件（2）（21张PPT)

(共21张PPT)
21.2.3
因式分解法
一元二次方程
人教版-数学-九年级上册
知识回顾
因式分解的方法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法：
提公因式法：
利用平方差公式
和完全平方公式
分解因式.
十字相乘法：
简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实就是运用乘法公式
(x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab
的逆运算来进行因式分解.
知识回顾
解一元二次方程的方法：
直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如
的方程，
其解为
配方法：
把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
公式法：
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式
Δ=b2-4ac
的值，当
b2-4ac≥0
时，把各项系数
a，b，c
的值代入求根公式
x=
就可得到方程的根.
学习目标
2．理解并掌握用因式分解法解一元二次方程．
1．理解因式分解法解一元二次方程的推导过程．
课堂导入
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10
m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x
s离地面的高度(单位：m)为
10x－4.9x2.
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
设物体经过x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m，
即
10x－4.9x2＝0.
①
除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？
知识点
新知探究
观察方程
10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
两个因式的积等于零
至少有一个因式为零
10x
-
4.9x
2
=
0
x1
=
0，x2
=
x
=
0
或　10
-
4.9x
=
0
x(10
-
4.9x)
=
0
因式分解法的依据：如果
a·b=0，那么
a=0
或
b=0．
知识点
新知探究
解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
知识点
新知探究
例1
解方程：x(x－2)＋x－2＝0.
解：
因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元一次方程
知识点
新知探究
例2
解方程：
移项、合并同类项，得
4x2－1＝0.
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是得
2x＋1＝0，或
2x－1＝0，
解：
知识点
新知探究
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.移项：将方程化为一般形式；
2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
不能随意在方程的两边约去含未知数的代数式，如
x(x-1)=x，
若约去
x，则会导致丢掉
x=0
这个根.
知识点
新知探究
常见的可以用因式分解法求解的方程的类型：
常见类型
因式分解
方程的解
x2+bx=0
x(x+b)=0
x1=0，x2=-b
x2-a2=0
(x-a)
(x+a)=0
x1=-a，x2=a
x2±2ax+a2=0
x2+(a+b)x+ab=0
(a，b为常数)
(x+a)(x+b)=0
x1=-a，x2=-b
知识点
新知探究
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.”
（2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元二次方程的方法.
跟踪训练
新知探究
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，
于是得x＝0，或x＋1＝0，
即x1＝0，x2＝－1.
解下列方程：
(1)
x2＋x＝0；
(2)
(3)
3x2－6x＝－3.
跟踪训练
新知探究
解：(2)因式分解，得x(x－
)＝0，
于是得x＝0，或x－
＝0，
解得x1＝0，x2＝
.
(3)移项，化简，得x2－2x＋1＝0，
因式分解，得(x－1)2＝0，
于是得x－1＝0，即x1＝x2＝1.
解下列方程：
(1)
x2＋x＝0；
(2)
(3)
3x2－6x＝－3.
随堂练习
1
用因式分解法解下列方程：
(1)
3x2-12x＝-12；
(2)
3x(x-1)＝2(x-1).
解：(1)
方程整理为
x2-4x+4=0，
(x-2)2=0，
所以
x1=x2=2.
解：(2)
3x(x-1)-2(x-1)=0，
(x-1)(3x-2)=0，
x-1=0
或
3x-2=0，
所以
x1=1，x2=
.
随堂练习
2
如图，把小圆形场地的半径增加
5
m
得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
解：设小圆的半径为
x
m，则大圆的半径为
(x+5)
m，
根据题意得：π(x+5)2=2πx2，
解得
x=5+5或
x=5-5(不合题意，舍去)．
答：小圆形场地的半径为(5+5)
m．
课堂小结
因式分解法
概念
步骤
简记歌诀：
右化零
左分解
两因式
各求解
如果
a
·
b
=0，那么a=0或b=0.
原理
将方程左边因式分解，右边=0.
因式分解的方法有
ma
+
mb
+
mc
=
m(a+
b+
c);
a2
±2ab+b2=(a
±
b)2；
a2
-b2=(a
+
b)(a-b).
对接中考
1
解方程：2(x-3)=3x(x-3).
解：移项，得
2(x-3)-
3x(x-3)
=0，
即
(x-3)
(2-3x)=0，
所以
x-3=0
或
2-3x=0，
解得
x1=3，x2=.
对接中考
2
用因式分解法解下列方程：
(1)
(x-5)
(x-6)=x-5；
(2)
16(x-3)2-25(x-2)2=0.
解：(1)移项，得
(x-5)
(x-6)-
(x-5)
=0，
因式分解，得
(x-5)
(x-6-1)=0，
所以
x-5=0
或
x-6-1=0，
所以
x1=5，x2=7.
对接中考
2
用因式分解法解下列方程：
(1)
(x-5)
(x-6)=x-5；
(2)
16(x-3)2-25(x-2)2=0.
解：(2)整理方程，得
[4(x-3)]2-[5(x-2)]2=0，
因式分解，得
[4(x-3)+5(x-2)][4(x-3)-5(x-2)]=0，
即
(9x-22)(x+2)=0，
所以
9x-22=0
或
x+2=0，
所以
x1=，x2=-2.
由多项式乘法：(x
+
a)(x
+
b)=x2+(a
+
b)x
+
ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x2+(a
+
b)
x+
ab
=
(x
+
a)
(x
+
b).
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(1)尝试：
分解因式：x2+6x+8=(x+
)(x+
)；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.
2
对接中考
3
4
解：（2）由
x2-3x-4=0得
(x-4)(x+1)=0，
所以
x-4=0
或
x+1=0，
所以
x1=4，x2=-1.