人教版九年级数学上册22.2二次函数与一元二次方程课件（35张PPT)

(共35张PPT)
22.2
二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程
知识回顾
一次函数
y=kx+b
与一元一次方程
kx+b=0
有什么关系?
学习目标
1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程(不等式）之间的联系.
2.能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解或不等式的解集.
3.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
课堂导入
以前我们从一次函数的角度看一元一次方程，认识了一次函数与一元一次方程的联系．本节我们从二次函数的角度看一元二次方程，认识二次函数与一元二次方程的联系．先来看下面的问题．
知识点1
新知探究
如图，以
40
m/s
的速度将小球沿与地面成
30°
角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度
h(单位：m)与飞行时间
t(单位：s)之间具有函数关系：
h=20t-5t2，
考虑以下问题：
知识点1
新知探究
(1)
球的飞行高度能否达到
15
m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
15
1
3
∴当球飞行1
s和3
s时，它的飞行高度为15
m.
解：解方程
15=20t-5t2，
t2-4t+3=0，
t1=1，t2=3.
为什么在两个时间球的高度为
15
m？
h=20t-5t2
知识点1
新知探究
(2)球的飞行高度能否达到20
m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20
2
解方程：20=20t-5t2，
t2-4t+4=0，
t1=t2=2.
当球飞行2
s时，它的高度为20
m.
h=20t-5t2
为什么只在一个时间球的高度为20
m？
知识点1
新知探究
(3)球的飞行高度能否达到20.5
m？如果能，需要多少飞行时间？
O
h
t
20.5
解方程：20.5=20t-5t2，
t2-4t+4.1=0，
因为(-4)2-4
×4.1<0，
所以方程无实数根.
即球的飞行高度达不到20.5
m.
为什么球不能达到20.5
m的高度?
解：
h=20t-5t2
知识点1
新知探究
(4)球从飞出到落地要用多少时间？
O
h
t
0=20t-5t2,
t2-4t=0,
t1=0，t2=4.
当球飞行0
s和4
s时，它的高度为0
m.
即0
s时球从地面飞出，4
s时球落回地面.
解：
h=20t-5t2
知识点1
新知探究
从上面发现，一般地，当
y
取定值且
a≠0
时，二次函数为一元二次方程.
如：y=5
时，5=ax2+bx+c
就是一个一元二次方程.
知识点1
新知探究
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数
y=-x2＋4x
的值为
3，求自变量
x
的值，可以解一元二次方程
-x2＋4x=3(即x2－4x+3=0)．
反过来，解方程
x2－4x+3=0
又可以看作已知二次函数
y
=
x2－4x+3
的值为0，求自变量
x
的值．
知识点1
新知探究
(1)如果
y=ax2+bx+c(a≠0)
的函数值为
m
，求
y=m
时的自变量的值，就是解一元二次方程
ax2+bx+c=m；反之，解一元二次方程ax2+bx+c=m
可以看成已知的函数值为
m
，求自变量
x
的值.
(2)方程
ax2+bx+c=m
的解是抛物线
y=
ax2+bx+c
与直线
y=m
的公共点的横坐标.
(3)抛物线
y=
ax2+bx+c
与直线
y=kx+m
的公共点的坐标是方程组解.
已知二次函数
y=-x2+2x+m
的部分图象如图所示，则关于
x
的一元二次方程
-x2+2x=-m
的解为
.
跟踪训练
新知探究
x1=-1，x2=3
解：由图可知，抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x轴的一个交点的横坐标为3，
所以另一个交点的横坐标为2×1-3=-1，
所以关于x的一元二次方程-x2+2x=-m，即-x2+2x+m=0的解为x1=-1，x2=3．
知识点2
新知探究
下列二次函数的图象与
x
轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当
x
取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
(1)
y=x2-x+1；
(2)
y=x2-6x+9；
(3)
y=x2+x-2.
知识点2
新知探究
1
x
y
O
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2－x＋1
y
=
x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与x轴公共点个数
公共点
横坐标
相应的一元二次
方程的根
y
=
x2－x＋1
y
=
x2－6x＋9
y
=
x2＋x－2
0个
1个
2个
x2-x+1=0无实数根
3
x2-6x+9=0，x1=x2=3
-2,
1
x2+x-2=0，x1=-2,x2=1
知识点2
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点
一元二次方程ax2+bx+c=0的根
b2-4ac
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2-4ac
>
0
有两个重合的公共点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有公共点
没有实数根
b2-4ac
<
0
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根的关系
知识点2
新知探究
利用二次函数的图象解一元二次方程基本步骤：
1.在平面直角坐标系内画出二次函数的图象；
2.观察图形，确定抛物线与
x
轴的公共点的坐标；
3.公共点的横坐标就是对应一元二次方程的解.
知识点2
新知探究
当函数图象与
x
轴有两个公共点，且公共点的横坐标不是整数时，可通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的解：
①观察函数图象与
x
轴的一个公共点的横坐标在哪两个连续整数之间，从而确定这个公共点的横坐标的取值范围.
知识点2
新知探究
②由①可确定方程
ax2+bx+c=0
的一个根在整数
m
和
n
(mm
和
n
的平均数，计算出当时的函数值y2，将y2与自变量分别为
m
和
n
时的函数值ym，yn比较，若函数值y2，ym异号，说明所求根在m和之间，再取m和的平均数，计算函数值；若函数值y2，yn异号，说明所求的根在和
n
之间，再取和
n
的平均数，计算函数值.重复前面的步骤，直到得出的数达到所需精确的数位为止.
③按照①②的方法估计出方程的另一个根.
跟踪训练
新知探究
利用函数图象求方程
x2－2x－2＝0
的实数根(结果保留小数点后一位)．
画出函数
y＝x2－2x－2
的图象(如图)，
它与
x
轴的交点的横坐标大约是－0.7，2.7.
所以方程
x2－2x－2＝0
的实数根为x1≈－0.7，x2≈2.7.
解：
知识点3
新知探究
函数
y=ax2+bx+c
的图象如图，那么
方程
ax2+bx+c=0
的根是
；
不等式
ax2+bx+c>0
的解集是
；
不等式
ax2+bx+c<0
的解集是
.
3
-1
O
x
y
x1=-1，
x2=3
x<-1或x>3
-1知识点3
新知探究
函数
y=ax2+bx+c
的图象如图，那么
方程
ax2+bx+c=2
的根是
______________;
不等式
ax2+bx+c>2
的解集是___________;
不等式
ax2+bx+c<2
的解集是_________.
(4,2)
(-2,2)
x1=-2，
x2=4
x<-2或x>4
-23
-1
O
x
y
知识点3
新知探究
如果不等式
ax2+bx+c>0(a≠0)
的解集是
x≠2
的一切实数，那么函数
y=ax2+bx+c
的图象与
x轴有____
个公共点，坐标是______.方程
ax2+bx+c=0
的根是______.
1
(2,0)
x=2
2
O
x
y
知识点3
新知探究
如果方程
ax2+bx+c=0(a≠0)
没有实数根，那么函数
y=ax2+bx+c
的图象与
x
轴有______个公共点；不等式ax2+bx+c<0的解集是多少？
0
解：(1)
当
a>0
时,
ax2+bx+c<0
无实数根；
(2)
当
a＜0
时,
ax2+bx+c<0
的解集
是一切实数.
3
-1
O
x
y
知识点3
新知探究
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的公共点
a＞0
a＜0
有两个公共点x1,x2
（x1＜x2）
有一个公共点x0
没有公共点
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象与
x
轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.
y＞0，x2＜x或x＜x1
.
y＞0，x1＜x＜x2.
y＜0，x2＜x或x＜x1.
y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解.
y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；
y＜0，无解.
y＜0，所有实数；
y＞0，无解.
跟踪训练
新知探究
已知二次函数
y=x2-x-2.
(1)当
x
取什么值时，函数值小于0？
(2)当
x
取什么值时，函数值大于0？
作出函数
y=x2-x-2
的图象如图所示，观察图象可知：
(1)当
-1时，抛物线上的点位于
x
轴的下方，即函数值小于0.
(2)当
x<-1或
x>2
时，抛物线上的点位于
x
轴的上方，即函数值大于0.
解：
若函数
y=x2-2x+b
的图象与坐标轴有三个交点，则
b
的取值范围是(
)
随堂练习
1
A
A.
b<1
且
b≠0
B.
b>1
C.
0D.
b<1
解：因为函数
y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点，
所以抛物线与x轴有两个交点，与y轴有一个交点，且与x轴、y轴的交点不为(0，0)，
所以(-2)2-4b＞0且b≠0，
解得
b＜1且b≠0，故选A．
下表是一组二次函数
y=x2+3x-5
的自变量
x
与函数值
y
的对应值：
那么方程x2+3x-5=0
的一个近似值是(
)
随堂练习
2
C
A.
1
B.1.1
C.1.2
D.
1.3
x
1
1.1
1.2
1.3
1.4
y
-1
-0.49
0.04
0.59
1.16
函数
y=x2+bx+c
与函数
y=x
的图象如图所示，有以下结论：
①b2-4c>0；②b+c=0；③b<0；④方程组的解为
⑤当
1时，
x2+(b-1)x+c>0，其中正确的是(
)
B
A.
①②③
B.②③④
C.③④⑤
D.
②③⑤
随堂练习
3
随堂练习
3
解：因为函数y=x2+bx+c的图象与x轴无交点，所以b2-4c＜0，故①错误；
当x=1时，y=1+b+c=1，则b+c=0，故②正确；
对称轴在y轴的右侧，a、b异号，则b＜0，故③正确；
根据抛物线与直线y=x的交点知，方程组的解为故④正确；
因为当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
所以x2+bx+c＜x，所以x2+(b-1)x+c＜0，故⑤错误．
故选B．
课堂小结
二次函数y=ax2+bx+c
（a>0）
的图象
一元二次方程ax2+bx+c=0
（a≠0）的根
不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集
不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1=
x2
x
y
x
O
y
>0
＝0
＜0
x1
;
x2
x1
=x2＝－
没有实数根
xx2
x
≠
x1的一切实数
所有实数
x1无解
无解
如图，抛物线
y=ax2
与直线y=bx+c
的两个交点坐标分别为
A(-2,4)，B(1，1)，则方程
ax2=bx+c
的解是
.
对接中考
1
x1=-2，x2=1
解：因为抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2，4)，B(1，1)，
所以关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．
所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1．
如图，直线
y=mx+n
与抛物线
y=ax2+bx+c
交于
A(-1，p)，B(4，q)两点，则关于
x
的不等式
mx+n>
ax2+bx+c
的解集是
.
对接中考
2
x<-1
或
x>4
解：观察函数图象可知当x＜-1或x＞4时，
直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
所以不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜-1或x＞4．
对接中考
3
如图，二次函数
y=ax2+bx+c
的图象经过点
A(-1，0)，点B(3，0)，点
C(4，y1)，若点
D(x2，y2)
是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数
y=ax2+bx+c
的最小值为-4a；②若-1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2>y1，则x2>4；④一元二次方程
cx2+bx+a=0
的两个根为-1和.
其中正确结论的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
解：因为二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(-1，0)，点B(3，0)，
所以抛物线解析式为
y=a(x+1)(x-3)，即
y=ax2-2ax-3a，
所以y=a(x-1)2-4a，所以当x=1时，二次函数有最小值-4a，所以①正确；
当x=4时，y=5a，所以当-1≤x2≤4时，-4a≤y2≤5a，所以②错误；
对接中考
3
因为点C(4，5a)关于直线x=1的对称点为(-2，5a)，
所以当y2＞y1时，x2＞4或x2＜-2，所以③错误；
因为b=-2a，c=-3a，所以方程cx2+bx+a=0化为-3ax2-2ax+a=0，
整理得3x2+2x-1=0，解得x1=-1，x2=，所以④正确．
故正确结论为①④．
如图，二次函数
y=ax2+bx+c
的图象经过点
A(-1，0)，点B(3，0)，点
C(4，y1)，若点
D(x2，y2)
是抛物线上任意一点，有下列结论：
①二次函数
y=ax2+bx+c
的最小值为-4a；②若-1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；
③若y2>y1，则x2>4；④一元二次方程
cx2+bx+a=0
的两个根为-1和.
其中正确结论的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
B