人教版九年级数学上册21.3实际问题与一元二次方程（3）课件（21张PPT)

(共21张PPT)
实际问题与一元二次方程
21.3
第3课时
知识回顾
1.审清题意
2.设未知数
3.列方程
4.解方程验根
5.作答
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
学习目标
1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型.
2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题.
如图，要设计一本书的封面，封面长
27
cm，宽
21
cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)？
分析：封面的长宽之比是
27∶21＝9∶7，中央的矩形的长宽之比也应是
9∶7.设中央的矩形的长和宽分别是
9a
cm和
7a
cm，由此得上、下边衬与左、右边衬的宽度之比是　
＝9(3－a)∶7(3－a)
＝9∶7.
新知探究
知识点1
新知探究
设上、下边衬的均宽为
9x
cm，则左、右边衬的宽均为
7x
cm，
依题意得
所以上、下边衬的宽均为
1.8
cm
，左、右边衬的宽均为
1.4
cm.
解：
解得x1
=（不符合题意，舍去），
x2
=
解：
设正中央的矩形的长、宽分别为
9x
cm，7x
cm.
依题意得
故上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
知识点1
新知探究
如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决
上面的问题？请你试一试．
解得
知识点1
新知探究
1.一般情况下，题中问什么就设什么，即直接设所求的量为未知数，这种设元的方法叫直接设元法；如果直接设元列方程比较困难或列出的方程比较复杂，此时可以设其他相关的量为未知数，把问题中所求的量用含未知数的代数式表示，这种设元的方法叫间接设元法.某些问题中，为了便于列方程，还可以设辅助未知数.
2.利用方程解应用题的关键是找出等量关系.分析等量关系时，要抓住关键词，联想基本关系式，删除实际背景的文字描述，呈现数学化的形式，列出方程.
知识点1
新知探究
如图，某小区有一块长为
30
m，宽为
24
m
的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为
480
m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽为多少米？
解：设人行通道的宽为
x
m，
将两块矩形绿地合在一起构成长为
(30-3x)
m，宽为
(24-2x)
m，
列方程，得
(30-3x)(24-2x)=480，整理，得
x2-22x+40=0，
解方程，得
x1=2，x2=20，
当
x=20
时，30-3x=-30，24-2x=-16，不符合题意，舍去，
所以
x=2，即人行通道的宽为
2
m.
由于绿地所占面积与绿地位置无关，所以在解决这类问题时，要灵活运用平移，对分离的图形的面积进行整体表示，使问题简化.
30
m
24
m
例
知识点1
新知探究
列一元二次方程求解与几何图形面积相关问题的方法
解决图形面积问题的关键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题中的已知量和未知量归结到某一个几何图形中，然后利用几何知识来寻找它们之间的关系，列出一元二次方程求解.求不规则图形的面积时，一般是将不规则图形拼凑或分割成规则图形，再利用规则图形的面积公式列方程求解.
如图，在△ABC
中，∠C=90°，AC=8
cm，BC=4
cm，一动点
P
从
C
出发沿着CB
方向以
1
cm/s
的速度运动，另一动点
Q
从
A
出发沿着
AC
方向以
2
cm/s
的速度运动，P，Q
两点同时出发，运动时间为
t
s.
(1)当
t
为何值时，△PCQ
的面积是△ABC
面积的？
(2)请问△PCQ
的面积能否为△ABC
面积的一半？若能，求出
t
的值；若不能，说明理由.
知识点1
新知探究
A
B
C
Q
P
例
(1)当
t
为何值时，△PCQ
的面积是△ABC
面积的？
解：(1)由题意知，CP=t
cm，AQ=2t
cm，AC=8
cm，
则
CQ=AC-AQ=(8-2t)
cm，
故
S△PCQ=
cm2，又
S△ABC=
×4×8=16(cm2)，
当
=16×时，整理，得
t2-4t+4=0，解得
t=2，
又
CPt<4，所以
t=2
满足题意，
故当
t=2
时，△PCQ
的面积是
△ABC
面积的
知识点1
新知探究
A
B
C
Q
P
解：(2)
当
S△PCQ=S△ABC
时，
=16×，
整理，得
t2-4t+8=0，
此时
Δ=b2-4ac=(-4)2-4×1×8=-16<0，
所以此时方程没有实数根，
所以
△PCQ
的面积不可能为
△ABC
面积的一半.
(2)请问△PCQ
的面积能否为△ABC
面积的一半？若能，求出
t
的值；若不能，说明理由.
知识点1
新知探究
A
B
C
Q
P
以“静”制“动”求解动态问题.
跟踪训练
新知探究
20
32
x
x
解法一：设道路的宽为
x
米，则由题意得
如图，在一块宽为
20
m，长为
32
m
的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540
m2，求道路的宽为多少.
整理，得
x2-52x+100=0，
解得
x1=2，x2=50，
当
x=50
时，32-x=-18，不合题意，舍去.
所以x=2.
答：道路的宽为2米.
还有其他解法吗？
跟踪训练
新知探究
20
32
x
x
解法二：设道路的宽为
x
米，则由题意得
20-x
32-x
(32-x)(20-x)=540，
整理，得
x2-52x+100=0，
解得
x1=2，x2=50，
当
x=50
时，32-x=-18，不合题意，舍去.
所以x=2.
答：道路的宽为2米.
如图，在一块宽为
20
m，长为
32
m
的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540
m2，求道路的宽为多少.
A.10
cm
B.13
cm
C.14
cm
D.16
cm
将一块正方形铁皮的四个角各剪去一个边长为
3
cm
的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为
300
cm3，则原铁皮的边长为(
)
随堂练习
1
D
解：设正方形铁皮的边长是
x
厘米，
则没有盖的长方体盒子的长、宽为(x-3×2)厘米，高为3厘米，
根据题意列方程得
(x-3×2)(x-3×2)×3=300，
解得
x1=16，x2=-4(不合题意，舍去)；
所以正方形铁皮的边长是16厘米．
随堂练习
2
一个直角三角形的两条直角边的和是
14
cm，面积是
24
cm2.求两条直角边的长．
解：设一条直角边的长为
x
cm，则另一条直角边的长为
(14－x)
cm，
可得到
x(14－x)＝24，
方程可化为
x2－14x＋48＝0，解得
x1＝6，x2＝8.
当
x＝6
时，14-x＝14-6＝8；
当
x＝8
时，14-x＝14-8＝6.
所以两条直角边的长分别为
8
cm和
6
cm.
随堂练习
3
在长为
160
m
，宽为
100
m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
13500
m2，求这种方案下的道路的宽为多少.
解：设道路的宽为
x
米，
(160-x)(100-x)=13500，
可列方程为
整理，得
x2-260x+2500=0，
解得
x1=10，x2=250(不合题意，舍去)，
所以x=10，
即道路的宽为10米.
课堂小结
几何图形与一元二次方程问题
几何图形
常见几何图形面积是等量关系.
类
型
课本封面问题
小路宽度问题
常采用图形平移，聚零为整方便列方程.
对接中考
1
如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为
12
m
的住房墙，另外三边用
25
m
长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个
1
m
宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为
80
m2？
解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为
x
m，
则平行于墙的一边的长为
(25-2x+1)
m，
由题意得
x(25-2x+1)=80，化简得x2-13x+40=0，
解得
x1=5，x2=8，
当
x=5
时，26-2x=16>12(舍去)；当x=8
时，26-2x=10<12，符合题意.
答：所围猪舍的长为10
m，宽为
8
m
时，面积为
80
m2.
如图，矩形
ABCD
中，AB=16
cm，AD=6
cm，动点
P，Q
分别从
A，C
两点同时出发，点
P
以
3
cm/s
的速度向点
B
移动，一直到达点
B
为止，点
Q以
2
cm/s
的速度向点
D
移动.
(1)
P，Q
两点从出发开始，经过几秒时，四边形
PBCQ
的面积为33
cm2？
对接中考
2
A
B
C
Q
P
D
解：(1)设经过
x
s
时，四边形
PBCQ
的面积为
33
cm2，
依题意得×6×(16-3x+2x)=33，
解得
x=5，
所以经过
5
s
时，四边形
PBCQ
的面积为
33
cm2.
如图，矩形
ABCD
中，AB=16
cm，AD=6
cm，动点
P，Q
分别从
A，C
两点同时出发，点
P
以
3
cm/s
的速度向点
B
移动，一直到达点
B
为止，点
Q以
2
cm/s
的速度向点
D
移动.
(2)
P，Q
两点从出发开始，经过几秒时，点
P
和点
Q
的距离为
10
cm？
对接中考
2
A
B
C
Q
P
D
解：(2)设经过
y
s
时，点
P
和
Q
的距离为
10
cm，
依题意得
62+(16-3y-2y)2=102，
整理得
25y2-160y+192=0，
解得
y1=1.6，y2=4.8，均符合题意，
所以经过
1.6
s
或
4.8
s
时，点
P
和
Q
的距离为
10
cm
.