人教版九年级数学上册22.1.2二次函数 y=ax2 的图象和性质课件（30张PPT)

(共30张PPT)
22.1.2
二次函数
y=ax2
的图象和性质
二次函数的图象和性质
知识回顾
(1)一次函数的图象是什么？
一条直线
(2)画函数图象的基本方法与步骤是什么？
列表——描点——连线
(3)研究函数时，主要用什么来了解函数的性质呢？
主要工具是函数的图象
学习目标
1．正确理解抛物线的有关概念．
2．会用描点法画出二次函数
y=ax?
的图象，概括出图象的特点．
3．掌握形如
y=ax?
的二次函数图象的性质，并会应用．
课堂导入
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和性质，像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和性质．结合图象讨论性质是数形结合研究函数的重要方法．
知识点1
新知探究
x
…
?3
?2
?1
0
1
2
3
…
y=x2
…
　
　
　
　
　
　
　
…　
画出二次函数
y=x2
的图象．
9
4
1
0
1
9
4
1．列表：在
y
=
x2
中自变量
x
可以是任意实数，列表表示几组对应值：
知识点1
新知探究
o
2
4
?2
?4
3
6
9
x
y
2．描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点（x，y）．
3．连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到
y
=
x2
的图象．
知识点1
新知探究
(1)用描点法画出的图象只是二次函数图象的一部分，并且是近似的．
(2)在画二次函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画成尖的，一般来说，选点越多，画图越精确．
(3)抛物线是向两端无限延伸的，左右两侧应关于对称轴对称．
知识点1
新知探究
?3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数
y=x2
的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线．
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴．
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点．
跟踪训练
新知探究
画出函数
y=?x2
的图象．
y
O
2
4
?2
?4
?3
?6
?9
x
x
…
?3
?2
?1
0
1
2
3
…
y=
?x2
…
?9　
?4　
?1　
0　
?1　
?4　
?9　
…　
知识点2
新知探究
根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函数
y=x2
的图象有哪些性质，并与同伴交流．
x
O
y=x2
1．y＝x2
的图象是一条抛物线；
2．图象开口向上；
3．图象关于
y
轴对称；
4．顶点（
0
，0
）；
5．图象有最低点．
y
知识点2
新知探究
说说二次函数
y=?x2
的图象有哪些性质，与同伴交流．
O
x
y
y=?x2
1．y＝?x2的图象是一条抛物线；
2．图象开口向下；
3．图象关于y轴对称；
4．顶点（
0
，0
）；
5．图象有最高点．
知识点2
新知探究
1．
顶点都在原点；
3．当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
二次函数y=ax2
的图象性质：
2．
图象关于y轴对称；
知识点2
新知探究
观察下列图象，抛物线
y=ax2
与
y=
?ax2（a＞0)的关系是什么？
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于x轴对称．
x
y
O
y=ax2
y=?ax2
知识点2
新知探究
观察图形，y随x的变化如何变化？
(-2,4)
(-1,1)
(2,4)
(1,1)
O
O
(a>0)
知识点2
新知探究
对于抛物线
y
=
ax2
（a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，
y随x取值的增大而减小．
知识点2
新知探究
(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
观察图形，y
随
x
的变化如何变化？
O
O
(a>0)
知识点2
新知探究
对于抛物线
y
=
-ax2
(a>0)
当x＞0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大．
知识点2
新知探究
1．分别填表如下：
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
知识点2
新知探究
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
抛物线
开口大小与
a
的大小有什么关系？
当a>0时，a越大，开口越小．
2．描点，连线得到函数图象如图：
知识点2
新知探究
在同一直角坐标系中，画出函数
的图象．
x
···
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
···
···
···
x
···
－2
－1.5
－1
－0.5
0
0.5
1
1.5
2
···
···
···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
－2
－0.5
0
－8
－4.5
－2
－0.5
1．分别填表如下：
知识点2
新知探究
x
y
O
?2
2
?2
?4
?6
4
?4
?8
当a<0时，a越小（即a的绝对值越大），开口越小．
抛物线
开口大小与a的大小有什么关系？
2．描点，连线得到函数图象如图：
对于抛物线
y
=
ax
2
，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识点2
新知探究
y＝ax2
a>0
a<0
图象
位置、开
口方向
对称性
顶点、最值
增减性
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0
顶点坐标是（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
y
O
x
y
O
x
跟踪训练
新知探究
已知二次函数，回答下列问题：
(1)抛物线开口向
，对称轴是
，顶点坐标是
；
(2)当
x>0
时，y
随
x
的增大而
，当
x<0
时，y
随
x
的增大而
；
(3)对于任意
x
的值，总有函数值
y
0，当
x=
时，y
有最
值，是
．
下
y
轴
(0，0)
减小
增大
≤
0
0
大
随堂练习
1
(1)
y=3x2；
(2)
y=?3x2；
(3)
y=
；
(4)
y=.
向上
向下
向下
向上
y轴
y轴
y轴
y轴
（0，0）
（0，0）
（0，0）
（0，0）
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
随堂练习
2
函数
y=2x2
的图象的开口
，
对称轴是
，顶点坐标是
；
在对称轴的左侧，y
随
x
的增大而
，
在对称轴的右侧，y
随
x
的增大而
．
向上
y轴
(0，0)
减小
增大
x
y
O
已知
y=(m+1)x
是二次函数，其图象开口向上，求
m
的值和函数解析式．
3
m2+m
解:
依题意有:
m+1>0
，
①
m2+m=2
，
②
解②得：m1=?2，m2=1
，
由①得：m>?1，
∴
m=1，
此时，二次函数的表达式为：
y=2x2．
随堂练习
课堂小结
二次函数y=ax2的图象及性质
画法
描点法
以对称轴为中心对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
对接中考
1
若抛物线
y=ax2
(a
≠
0)，过点(?1，2)．
(1)则
a
的值是
；
(2)对称轴是
，开口
．
(3)顶点坐标是
，顶点是抛物线上的最
值点
，抛物线在
x轴的
方（除顶点外）．
(4)若A(x1，y1)，B(x2，y2)在这条抛物线上，且x1则y1
y2．
2
y轴
向上
（0，0）
小
上
>
对接中考
2
如下图，观察函数
y=(k?1)x2
的图象，则
k
的取值范围是
．
x
y
k>1
O
对接中考
3
已知
是二次函数，且当
x＞0时，y
随
x
增大而增大，则
k=
．
2
解：由题意得
k2+k
?
4=2，
解得
k=
?
3或k=2，
且
k+2＞0，
解得
k＞?2，
所以
k=2.