人教版九年级数学上册22.1.3二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象和性质（1）课件（31张PPT)

(共31张PPT)
22.1.3
二次函数
y=a(x-h)2+k
的图象和性质
二次函数的图象和性质
知识回顾
二次函数y=ax2的图象及性质
图象
抛物线
轴对称图形
性质
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
学习目标
1.会画二次函数
y=ax2+k
及
y=a(x-h)2
的图象.
2.掌握二次函数
y=ax2+k
及
y=a(x-h)2
的性质并会应用.
3.理解
y=ax?
与
y=ax?+k
及
y=a(x-h)2
之间的联系.
课堂导入
前面我们已经学习了二次函数
y=ax2
的图象和性质，同学们能说出二次函数
y=ax2
的图象的开口方向、大小、对称轴、顶点坐标、最值、以及增减性吗？今天我们先来学习只有二次项和常数项的二次函数
y=ax2+k
的图象和性质.
知识点1
新知探究
画出二次函数
y=2x?，y=2x2+1
，y=2x2-1
的图象.
x
…
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
…
y=2x2+1
…
…
y=2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
y=2x2-1
…
…
3.5
1
-0.5
1
-0.5
-1
3.5
5.5
1.5
3
1.5
1
3
5.5
知识点1
新知探究
观察上述图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点坐标、顶点高低、函数最值、函数增减性.
10
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
－2
y
=
2x2＋1
y
=
2x2－1
y=2x2
知识点1
新知探究
几何性质：
1.抛物线
y=ax2+k
开口方向由
a
决定：
当
a>0
时，开口向上，当
a<0
时，开口向下；
2.对称轴是
y
轴；
3.顶点坐标是
(0，k)；
4.|a|
决定了抛物线的开口大小.
函数
y=ax2+k(a≠0)
的性质：
知识点1
新知探究
代数性质：
1.当
a>0
时，函数有最小值
k，当
a<0
时，函数有最大值
k；
2.如果
a>0，当
x<0
时，y
随
x
的增大而减小，当
x>0
时，y
随
x的增大而增大；
如果
a<0，当
x<0
时，y
随
x
的增大而增大，当
x>0
时，y
随
x
的增大而减小.
函数
y=ax2+k(a≠0)
的性质：
知识点1
新知探究
a，k的符号
a>0，k>0
a>0，k<0
a<0，k>0
a<0，k<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
y轴（直线
x=0）
y轴（直线
x=0）
（0，k）
（0，k）
当
x<0
时，y
随
x
增大而减小；当
x>0
时，y
随
x
增大而增大.
当
x<0
时，y
随
x
增大而增大；当
x>
0时，y
随
x
增大而减小.
x=0时，y最小值=k
x=0时，y最大值=k
知识点1
新知探究
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y
=
2x2＋1
y
=
2x2－1
可以发现，把抛物线
y=2x2
向
平移
个单位长度，就得到抛物线
y=2x2+1；把抛物线
y=2x2
向
平移
个单位长度，就得到抛物线
y=2x2-1.
下
1
上
从形的角度探究
1
y=2x2
知识点1
新知探究
这三条抛物线的开口方向，开口大小都相同，
对称轴都是
y
轴，
把抛物线
y=2x2
向上平移
1
个单位长度，就得到抛物线
y=2x2+1；把抛物线
y=2x2向下平移
1
个单位长度，就得到抛物线
y=2x2-1.
知识点1
新知探究
二次函数
y=ax2+k
的图象可以由
y=ax2
的图象平移得到：
当
k
>
0
时，向上平移
k
个单位长度得到.
当
k
<
0
时，向下平移
-k
个单位长度得到.
二次函数
y=ax2
与
y=ax2+k
(a
≠
0)
的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
知识点1
新知探究
1.一般地，抛物线
y=ax2+k
与
y=ax2
形状相同，位置不同；
2.抛物线
y=ax2+k
可由抛物线
y=ax2
平移
|k|
个单位长度得到(当
k>0
时，向上平移；当
k<0
时，向下平移)；
3.抛物线
y=ax2+k
有如下特点：当
a>0
时，开口向上；当
a<0
时，
开口向下，对称轴是
y
轴，顶点为
(0，k).
知识点1
新知探究
抛物线
y=ax2+k
的图象可以怎样画？
第二种方法：平移法，分两个步骤，即先画
y=ax2
的图象，再向上(或向下)平移
|k|
个单位长度.
第一种方法：描点法，分三个步骤，即列表、描点和连线.
知识点1
新知探究
抛物线
y=ax2+k
中的
a
决定什么？怎样决定的？k
决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？
a
决定开口方向和大小，
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；
k
决定顶点的纵坐标；
对称轴是
y
轴；
顶点坐标为(0，k).
跟踪训练
新知探究
已知抛物线
y=2x2?3.
(1)它的开口向
，对称轴为
，顶点坐标为
；
(2)
把抛物线
y=2x2
可得抛物线y=2x2?3；
(3)若点
(?4，y1)，(?1，y2)
在抛物线
y=2x2?3
上，则y1
y2(填“>”“<”或“＝”).
上
y轴
向下平移
3
个单位长度
>
(0，?3)
知识点2
新知探究
函数
的图象，能否也可以由函数
的图象平移得到？
把函数
的图象向右平移1个单位长度得到函数
的图象.
知识点2
新知探究
画出二次函数
的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
···
－3
－2
－1
0
1
2
3
···
···
···
···
···
－2
－4.5
－2
0
0
－2
－2
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－4.5
O
x
y
知识点2
新知探究
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
直线x=-1
(
-1
,
0
)
直线x=0
直线x=1
向下
向下
(
0
,
0
)
(
1,
0)
O
x
y
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
知识点2
新知探究
a，h的符号
a>0，h>0
a>0，h<0
a<0，h>0
a<0，h<0
图象
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
向上
向下
直线
x=h
（h，0）
当
x时，y
随
x
增大而减小；当
x>h
时，y
随
x
增大而增大.
当
x时，y
随
x
增大而增大；当
x>h
时，y
随
x
增大而减小.
x=h
时，y最小值=0
x=h
时，y最大值=0
二次函数
y=a(x-h)2
的图象和性质
知识点2
新知探究
向右平移
1个单位
抛物线
，
与抛物线
有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
向左平移
1个单位
知识点2
新知探究
二次函数
y=a(x±h)2(h>0)
的图象与
y=ax2
的图象的关系
y=a(x-h)2
当向左平移
h
时
y=a(x+h)2
当向右平移
h
时
y=ax2
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
在同一平面直角坐标系中，画出函数
y=-x2与
y=-(x-2)2
的图象，并根据图形回答下列问题：
(1)抛物线
y=-(x-2)2可以由抛物线
y=-x2怎样平移得到？
跟踪训练
新知探究
直线
x=2
2
下
2
2
0
向右平移两个单位长度
(2)抛物线
y=-(x-2)2
的对称轴是
；当
x<
时，曲线自左向右上升；除顶点外，抛物线上的点都在
x
轴的
方.
(3)对于函数
y=-(x-2)2，当
x>
时，y
随
x
的增大而减小；
当
x=
时，y
有最大值，最大值是
。
随堂练习
1
将二次函数
y=-2x2
的图象平移后，可得到二次函数
y=-2(x+1)2的图象，平移的方法是(　
　)
C
A．向上平移1个单位　　
B．向下平移1个单位
C．向左平移1个单位　　
D．向右平移1个单位
随堂练习
2
对于函数
y=-2(x-m)2
的图象，下列说法不正确的是(
)
D
A.开口向下
B.对称轴是直线
x=m
C.最大值为0
D.与
y
轴不相交
随堂练习
3
在同一直角坐标系中，一次函数
y＝ax＋k
和二次函数
y＝ax2＋k的图象大致为(　　)
D
解：因为一次函数的图象和二次函数的图象都经过
y
轴上的(0，k)，
所以两个函数图象交于
y
轴上的同一点，故B选项错误；
当a＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数经过第一、三象限，故C选项错误；
当a＜0时，二次函数的图象开口向下，一次函数经过第二、四象限，故A选项错误.
故选D．
课堂小结
二次函数
y=ax2+k(a≠0)
的图象和性质
图象
性质
与
y=ax2
的关系
1.开口方向由
a
的符号决定；
2.
k
决定顶点位置；
3.对称轴是
y
轴.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
k
正向上平移；
k
负向下平移.
课堂小结
二次函数
y=a(x-h)2
的图象及性质
图象
性质
与
y=ax2
的关系
1.开口方向由
a
的符号决定；
2.
顶点坐标为(h，0)；
3.对称轴是
x=h.
增减性结合开口方向和对称轴才能确定.
平移规律：
h
正向右平移；
h
负向左平移.
对接中考
1
把抛物线
y=-x2
沿着
x
轴方向平移
3
个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是
.
y=-(x+3)2
或
y=-(x-3)2
解：因为原抛物线的顶点为(0，0)，
所以沿着
x
轴向右平移3个单位，得到的抛物线的顶点为(3，0)，
所以新抛物线为
y=-(x-3)2．
若抛物线沿着
x
轴向左平移3个单位，得到的抛物线的顶点为(-3，0)，
所以新抛物线为
y=-(x+3)2．
故答案为
y=-(x-3)2或
y=-(x+3)2．
已知一个二次函数的图象开口向上，顶点坐标为(0，-1)，那么这个二次函数的解析式可以是
.(只需写一个)
对接中考
2
y=2x2-1
对接中考
3
＞
已知函数
y=-(x-1)2
图象上两点
A(2，y1)，B(a，y2)，其中
a>2，则
y1
与
y2
的大小关系是y1
y2(填“<”“>”或“＝”).
解：因为函数
y=-(x-1)2，
所以函数图象的对称轴是直线
x=1，开口向下，
因为函数图象上两点A(2，y1)，B(a，y2)，a＞2，
所以
y1＞y2.