人教版九年级数学上册22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质（1）课件（34张PPT)

(共34张PPT)
22.1.4
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象和性质
二次函数的图象和性质
知识回顾
y=a(x-h)2+k
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
(h
,k)
(h
,k)
x=h
x=h
当
x时，y
随着
x
的增大而减小；当
x>h
时，y
随着x的增大而增大.
当
x时，y
随着
x
的增大而增大；当
x>h
时，y
随着
x
的增大而减小.
x=h
时，y最小值=k
x=h
时，y最大值=k
抛物线
y=a(x-h)2+k
可以看作是由抛物线
y=ax2
经过平移得到的.
学习目标
1.会用配方法或公式法将一般式
y＝ax2＋bx＋c
化成顶点式
y=a(x-h)2+k.
2.会熟练求出二次函数一般式
y＝ax2＋bx＋c
的顶点坐标、对称轴.
课堂导入
顶点坐标
对称轴
最值
y=-2x2
y=-2x2-5
y=-2(x+2)2
y=-2(x+2)2-4
y=(x-4)2+3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
(0,0)
y
轴
0
(0,-5)
y
轴
-5
(-2,0)
直线
x=-2
0
(-2,-4)
直线
x=-2
-4
(4,3)
直线
x=4
3
?
?
?
?
?
?
知识点1
新知探究
我们已经知道
y=a(x-h)2+k
的图象和性质，能否利用这些知识来讨论
的图象和性质？
知识点1
新知探究
配方可得
怎样将
化成
y=a(x-h)2+k
的形式？
知识点1
新知探究
你能说出
的对称轴及顶点坐标吗？
对称轴是直线
x=6，顶点坐标是(6，3).
二次函数
可以看作是由
怎样平移得到的？
平移方法
1：
先向上平移
3
个单位，再向右平移
6
个单位得到的；
平移方法
2：
先向右平移
6
个单位，再向上平移
3
个单位得到的.
知识点1
新知探究
1.描点法：
①用配方法把二次函数
y=ax2+bx+c
化成
y=a(x-h)2+k
的形式；
②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，在对称轴两侧对称取点，按列表、描点、连线的步骤画出抛物线.
画二次函数
y=ax2+bx+c
的图象的方法
知识点1
新知探究
画二次函数
y=ax2+bx+c
的图象的方法
2.平移法
①用配方法把二次函数
y=ax2+bx+c
化成
y=a(x-h)2+k
的形式，明确顶点
(h，k)；
②作出抛物线
y=ax2；
③将抛物线
y=ax2
平移，使其顶点平移到
(h，k)
处.
知识点1
新知探究
…
…
…
…
9
8
7
6
5
4
3
x
先利用图形的对称性列表.
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
y=
画出二次函数
的图象.
知识点1
新知探究
5
10
x
y
5
10
然后描点画图，得到图象如图.
O
画出二次函数
的图象.
知识点1
新知探究
结合二次函数
的图象，说出其性质.
5
10
x
y
5
10
x=6
当
x<6
时，y
随
x
的增大而减小；
当
x>6
时，y
随
x
的增大而增大.
O
跟踪训练
新知探究
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点.
(1)
y=3x2+2x；
(2)
y=-x2-2x；
(3)
y=-2x2+8x-8；
(4)
y=x2-4x+3.
开口向上，对称轴是
x=，顶点是(，)
开口向下，对称轴是
x=，顶点是(，)
开口向下，对称轴是
x=，顶点是(，)
开口向上，对称轴是
x=，顶点是(，5)
知识点2
新知探究
我们如何用配方法将一般式
y=ax2+bx+c(a≠0)
化成顶点式
y=a(x-h)2+k？
知识点2
新知探究
y=ax?+bx+c
知识点2
新知探究
一般地，二次函数
y=ax2+bx+c
可以通过配方法化成
y=a(x-h)2+k
的形式，即
因此，抛物线
y=ax2+bx+c
的顶点坐标是：
对称轴是：
直线
知识点2
新知探究
x
y
O
如果
a>0，
当
x<
时，y
随
x
的增大而减小；
当
x>
时，y
随
x
的增大而增大.
知识点2
新知探究
x
y
O
如果
a<0，
当
x<
时，y
随
x
的增大而增大；
当
x>
时，y
随
x
的增大而减小.
跟踪训练
新知探究
已知二次函数
y=-2x2+4x+3，请回答下列问题：
(1)试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数
y=-2x2+4x+3
的图象，并指出抛物线
y=-2x2+4x+3
是由抛物线y=-2x2
经过怎样的平移得到的；
(3)对于二次函数
y=-2x2+4x+3，当
x
取何值时，y
随
x
的增大而减小？
判断抛物线
y=ax2
经过怎样的平移能得到抛物线
y=ax2+bx+c
时，通常先将
y=ax2+bx+c
配成y=a(x-h)2+k
的形式，再根据“左加右减自变量，上加下减常数项”判断平移方式，或者根据顶点的位置确定平移方式.
知识点3
新知探究
x
y
O
二次函数
的图象如下图所示，请根据二次函数的性质填空：
a1
___
0
b1___
0
c1___
0
a2___
0
b2___
0
c2___
0
＞
＞
＞
＞
＜
＝
开口向上，a＞0
对称轴在y轴左侧，
对称轴在y轴右侧，
x=0时，y=c.
知识点3
新知探究
x
y
O
a3___
0
b3___
0
c3___
0
a4___
0
b4___
0
c4___
0
＜
＝
＞
＜
＞
＜
开口向下，a＜0
对称轴是y轴，
x=
-
=0
对称轴在y轴右侧，x=
-
>0
x=0时，y=c.
知识点3
新知探究
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象与
a，b，c
的关系
字母符号
图象的特征
a＞0
开口__________
a＜0
开口__________
b=0
对称轴为_____轴
a，b同号
对称轴在y轴的____侧
a，b异号
对称轴在y轴的____侧
c=0
经过原点
c＞0
与y轴交于_____半轴
c＜0
与y轴交于_____半轴
向上
向下
y
左
右
正
负
二次函数
y=ax2+bx+c
中，a
的符号决定抛物线的开口方向，a，b
的符号决定抛物线的对称轴的大致位置，c
的符号决定抛物线与
y
轴交点的大致位置.
知识点3
新知探究
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象特征与系数
a，b，c
的符号之间的关系是互逆的，即由字母的符号能确定图象的特征，反之，根据图象的特征，也可以确定其解析式
y=ax2+bx+c
中系数
a，b，c的符号.
A.1
B.2
C.3
D.4
跟踪训练
新知探究
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象如图所示，给出下列结论：①b<0；②c>0；③a+b+c>0；④4a+2b+c<0.其中正确的个数是(
)
C
解：①因为二次函数
y=ax2+bx+c
的图象的开口方向是向下，所以
a＜0，
根据对称轴在
y
轴的右侧，所以a，b的符号相反，得出b＞0，故①错误；
②因为二次函数
y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，所以c＞0，故②正确；
③根据图象知，当x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，故③正确；
④根据图象知，当x=2时，y
<
0，∴4a+2b+c<0，故④正确；
综上所述，正确结论共3个，故选C．
随堂练习
1
若A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数
y=x2+2x-6
的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是(
)
B
A.
y1B.
y2C.
y3D.
y1解：因为A(-4，y1)，B(-3，y2)，C(3，y3)为二次函数y=x2+2x-6的图象上的三点，
y2=9-6-6=-3，即
y2=-3，
y3=9+6-6=9，即
y3=9，
因为-3＜2＜9，所以y2＜y1＜y3．
所以
y1=16-8-6=2，即
y1=2，
随堂练习
1
比较二次函数值大小的方法：
(1)代入比较法：若已知二次函数的解析式，可将几个点的横坐标分别代入二次函数的解析式，求出对应的函数值，再比较函数值的大小；
(2)增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直接根据函数的增减性比较大小，当点不在对称轴的同侧时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小；
(3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线的开口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大，当抛物线的开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越小.
随堂练习
2
在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移
3
个单位长度，再作关于
x
轴对称的图象，得到抛物线
y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式为(
)
B
A.
y=-(x-)2-
B.
y=-(x+)2-
C.
y=-(x-)2-
D.
y=-(x+)2+
解：因为抛物线的解析式为
y=x2+5x+6，
设原抛物线上有点(x，y)，关于x轴对称后，变为(x，-y)，点(x，-y)在抛物线
y=x2+5x+6上，将(x，-y)代入
y=x2+5x+6得-y=x2+5x+6，
所以关于x轴对称前的方程为
y=-x2-5x-6=-(x+)2+，所以向下平移3个单位长度的解析式为
y=-(x+
)2+
-3=-(x+)2-
.
随堂练习
3
分别在下列范围内求函数
y=x2-2x-3
的最大值和最小值.
(1)
-1≤x≤2;
(2)
2≤x≤3.
解：因为
y=x2-2x-3=(x-1)2-4，
所以当
x<1
时，y
随
x
的增大而减小，
当
x>1
时，y
随
x
的增大而增大.
(1)由
-1≤x≤2
知，当
x=1时，y
有最小值
-4，
因为当
x=-1
时，y=0，当
x=2
时，y=-3，
所以当
x=-1
时，y
有最大值
0.
(2)当
2≤x≤3时，y
随
x
的增大而增大，
所以当
x=2
时，y
有最小值
-3，当
x=3
时，y
有最大值
0.
求二次函数的最值时，要先确定函数在自变量取值范围内的增减性，如果所给范围包含顶点的横坐标，则在顶点处取得最大(小)值；如果所给范围不包含顶点的横坐标，则利用函数的增减性确定最值.
课堂小结
顶点：
对称轴：
y=ax2+bx+c（a
≠0)
(一般式)
配方法
公式法
(顶点式)
a>0
a<0
开口方向
顶点坐标
对称轴
增减性
最值
向上
向下
当
x<
时，y
随着
x
的增大而减小；当
x>
时，y
随着x的增大而增大.
当
x<
时，y
随着
x
的增大而增大；当
x>
时，y
随着
x
的增大而减小.
x=
时，y最小=
x=
时，y最大=
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象与性质：
x=
课堂小结
对接中考
1
A.图象与
y
轴的交点坐标为(0，1)
B.图象的对称轴在
y
轴的右侧
C.当
x<0
时，y
随
x
的增大而减小
D.
y
的最小值为
-3
关于二次函数
y=2x2+4x-1，下列说法正确的是(
)
D
解：因为y=2x2+4x-1=2(x+1)2-3，
所以当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确.
对接中考
2
A.
y3>y2>y1
B.
y3>y1=y2
C.
y1>y2>y3
D.
y1=y2>y3
点P1(-1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数
y=-x2+2x+c
的图象上，则y1，y2，y3
的大小关系是(
)
D
解：因为
y=-x2+2x+c=-(x-1)2+1+c，
所以图象的开口向下，对称轴是直线x=1，
而P1(-1，y1)和P2(3，y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5，y3)到直线x=1的距离为4，
所以y1=y2＞y3．
故选D．
A.①②③
B.②③⑤
C.②③④
D.③④⑤
对接中考
3
已知二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，有下列
5
个结论：
①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正确的结论有(
)
解：①因为对称轴在y轴的右侧，所以ab＜0，由图象可知c＞0，
所以abc＜0，故①不正确；
②当x=-1时，y=a-b+c＜0，所以b-a＞c，故②正确；
③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故③正确；
对接中考
3
④因为x=
-
=1，所以b=-2a，因为a-b+c＜0，
所以a+2a+c＜0，3a＜-c，故④不正确；
⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m时，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c(m≠1)，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m(am+b)，故⑤正确．
故②③⑤正确，故选B．
A.①②③
B.②③⑤
C.②③④
D.③④⑤
已知二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，有下列
5
个结论：
①abc>0；②b-a>c；③4a+2b+c>0；④3a>-c；⑤a+b>m(am+b)(m≠1).
其中正确的结论有(
)
B