人教版九年级数学上册22.1.4 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质（2）课件（23张PPT)

(共23张PPT)
22.1.4
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象和性质
二次函数的图象和性质
知识回顾
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
学习目标
1.会用待定系数法求二次函数的表达式.
2.会根据待定系数法解决二次函数的相关问题.
课堂导入
已知一次函数图象上两个点的坐标就可以用待定系数法求出一次函数的解析式，那么要求一个二次函数的解析式需要哪些条件？用什么方法求解呢？这就是我们本节课要学习的内容.
知识点1
新知探究
二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
知识点1
新知探究
例
如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，试求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.
由函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)
三点，得关于a，b，c的三元一次方程组，
∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5.
解得
1.设一般式
2.点代入一般式
3.解得方程组
4.写出解析式
知识点1
新知探究
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法
.
其步骤是：
①设函数表达式为
y=ax2+bx+c；
②将三个点的坐标代入后得到关于a，b，c的三元一次方程组；
③解方程组得到
a，b，c
的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一个二次函数，当自变量
x=0
时，函数值
y=-1，当
x=-2与
时，y=0，这个二次函数的解析式是
.
跟踪训练
新知探究
y=x2+x-1或y=(x+2)(x-)
解：设该抛物线解析式是
y=a(x+2)(x
-
)(a≠0)．
把(0，-1)代入，得a(0+2)(0-
)=-1．
解得a=1．
故该抛物线的解析式是
y=(x+2)(x
-
)或
y
=x2+x-1.
知识点2
新知探究
刚才我们通过已知图象上的三点确定了二次函数的解析式，如果只知道图象上任意两点是否可以确定解析式？如果知道图象的顶点和图象上另一点，能否确定解析式呢？
知识点2
新知探究
例
选取顶点
(-2，1)
和点
(1，-8)，试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是
y=a(x-h)2+k，
把顶点(-2，1)
代入
y=a(x-h)2+k
得
y=a(x+2)2+1，
再把点（1，-8）代入上式得
a(1+2)2+1=
-8，
解得
a=-1.
所求的二次函数的表达式是
y=-(x+2)2+1
或
y=-x2-4x-3.
知识点2
新知探究
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是
y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出
a
值；
④
a
用数值换掉，写出函数表达式.
跟踪训练
新知探究
已知抛物线的顶点坐标是(1，2)，且经过点(3，-6)，则抛物线的解析式是
.
y=-2(x-1)2+2或y=-2x2+4x
解：根据题意设抛物线解析式为
y=a(x-1)2+2，
把(3，-6)代入得a(3-1)2+2=
-6，解得
a=
-2，
所以抛物线解析式为
y=
-2(x-1)2+2或y=
-2x2+4x．
知识点3
新知探究
解：因为
(-3，0)，(-1，0)
是抛物线
y=ax2+bx+c
与
x
轴的交点，
所以可设这个二次函数的表达式是
y=a(x+3)(x+1).
再把点
(0，-3)
代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得
a=-1，
所以所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1)，即
y=-x2-4x-3.
例
选取(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试写出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
知识点3
新知探究
这种知道抛物线与
x
轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是
y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标
x1,
x2
代入到表达式中，得到关于
a
的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入，求出
a
值；
④
a
用数值换掉，写出函数表达式.
知识点3
新知探究
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上(其中两点的连线可平行于
x
轴，但不可以平行于
y
轴).
求二次函数解析式时，设函数解析式的技巧：
1.若抛物线的顶点在原点，可设函数解析式为
y=ax2；
2.若抛物线的顶点在
y
轴上，可设函数解析式为
y=ax2+c；
3.若抛物线的顶点在
x
轴上(或抛物线与
x
轴只有一个交点)，可设函数解析式为
y=a(x-h)2；
4.若抛物线过原点，可设函数解析式为
y=ax2+bx.
跟踪训练
新知探究
经过
A(4，0)，B(-2，0)，C(0，3)
三点的抛物线的解析式是
.
yx2+3
解：根据题意设抛物线解析式为
y=a(x+2)(x-4)，
把C(0，3)代入得
-8a=3，即
a=
-
，
则抛物线解析式为
y=-(x+2)(x-4)=
-
x2+x+3．
随堂练习
1
一个二次函数的图象经过
(0，0)，(-1，-1)，(1，9)
三点，这个二次函数的解析式是
.
yx2+
解：设这个二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c，
因为二次函数的图象经过(0，0)，(-1，-1)，(1，9)三点，
所以代入得
解得
a=4，b=5，c=0，
即二次函数的解析式是
y=4x2+5x．
随堂练习
2
过点
(2，4)，且当
x=1
时，y
有最大值为
6
，则其表达式是
.
y=-2(x-1)2+6
解：根据题意设抛物线解析式为
y=a(x-1)2+6，
把(2，4)代入得
a+6=4，即
a=-2，
则抛物线解析式为
y=-2(x-1)2+6．
随堂练习
3
已知抛物线与
x
轴相交于点
A(-1，0)，B(1，0)，且过点
M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点
A(-1，0)，B(1，0)
是图象与x轴的交点，
所以设二次函数的表达式为
y=a(x+1)(x-1)．
又因为抛物线过点
M(0，1)，
所以
1=a(0+1)(0-1)，解得
a=-1，
所以所求抛物线的表达式为
y=-(x+1)(x-1)，
即
y=-x2+1.
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式
已知二次函数的图象经过
(1，4)，(2，1)，(0，1)
三点，求这个二次函数的解析式．
解：设所求二次函数的解析式为
y=ax2+bx+c．
由题意得
解得
所以这个二次函数的解析式为
y=-3x2+6x+1.
对接中考
1
已知二次函数的图象经过点
A(-1，0)，B(3，0)，C(4，-5)，求此函数的表达式．
解：因为二次函数的图象与
x
轴的交点为
A(-1，0)，B(3，0)，
所以设所求的二次函数的表达式为
y=a(x+1)(x-3)．
又因为二次函数的图象经过点
C(4，-5)，
所以
-5=a×5×1，解得
a=-1，
所以所求二次函数的解析式为
y=-(x+1)(x-3)，
即
y=-x2+2x+3.
对接中考
2
已知二次函数的图象经过点
A(-1，3)，B(3，3)，C(2，6)，求此函数的表达式．
解：因为二次函数的图象经过点
A(-1，3)，B(3，3)，
所以二次函数图象的对称轴为
x=1，
设二次函数的解析式为
y=a(x-1)2+k．
将
A(-1，3)，C(2，6)
代入函数解析式得
解得
所以所求二次函数的解析式为
y=-(x-1)2+7.
对接中考
3