人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(1)课件（23张PPT)

(共23张PPT)
22.3
第1课时
实际问题与二次函数
知识回顾
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1)
y=x2-4x-5；(配方法)
(2)
y=-x2-3x+4.(公式法)
解：(1)
y
=
x2-4x-5
=
x2-4x+4-9
=
(x-2)2-9
开口方向：向上；
对称轴：x=2；
顶点坐标：(2，-9)；
最小值：-9.
(2)
y=-x2-3x+4
中
a=-1，b=-3，c=4，
a=-1<0，开口方向：向下；
对称轴：x=
；
顶点坐标：(，)，即(，)；
最大值：
.
学习目标
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
课堂导入
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度
h(单位：m)与小球的运动时间
t(单位：s)之间的关系式是
h=30t-5t
2
(0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h=
30t
-
5t
2
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当
t
取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
知识点1
新知探究
由于抛物线
y=ax2+bx+c
的顶点是最低(高)点，
当
时，二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
有最小(大)
值
如何求出二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的最小（大）值？
知识点1
新知探究
小球运动的时间是
3
s
时，小球最高.小球运动中的最大高度是
45
m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h=
30t
-
5t
2
知识点1
新知探究
用总长为
60
m
的篱笆围成矩形场地，矩形面积
S
随矩形一边长
l的变化而变化.当
l
是多少米时，场地的面积
S
最大？
解：根据题意得
S=l(30-l),
即
S=-l2+30l
(0因此，当
时，
S
有最大值
也就是说，当
l
是
15
m
时，场地的面积
S
最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
S
O
知识点1
新知探究
如图，用一段长为60
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少?
解：根据题意设矩形菜园平行于墙的一边长为l
m，菜园的面积为S
m2
，
得(0<
l
≤18),即
S=(0≤18).
二次函数
S=
的对称轴为
，
但因为0≤18，所以l=18
时，S取得最大值，即当矩形的长为21
m，宽是18
m
时，菜园的面积最大，最大面积为378
m2.
原本当
l=30
时，S取得最大值，
当
l<30
时，S
随
l
的增大而增大，
当
l>30
时，S
随
l
的增大而减小，
知识点1
新知探究
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量在实际情况中的取值范围进行分析.通过前两道例题的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，厘清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.
知识点1
新知探究
知识点1
新知探究
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值是否在自变量的取值范围内.
跟踪训练
新知探究
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用
28
m
长的篱笆围成一个矩形花园
ABCD
(篱笆只围
AB，BC
两边)，设
AB=x
m，花园面积为
S
m2.
(1)求
S
与
x
之间的函数关系式；
(2)当
x
为何值时，S
有最大值？请求出最大值.
解：(1)由题意得
AD=(28-x)
m，
则
S=x(28-x)=-x2+28x(0(2)因为
S=-x2+28x=-(x-14)2+196，
所以当
x=14
时，S
有最大值，最大值是196.
随堂练习
1
已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？
解：设直角三角形的一条直角边为
x，则另一直角边为8-x．直角三角形的面积是S．
根据题意，得S=x(8-x)(0＜x＜8)，
配方，得S=-
(x-4)2+8；
所以当x=4时，即两条直角边各为4时，此时三角形的面积最大，
最大面积是8．
如图，在一面靠墙的空地上用长
24
m
的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为x
m，面积为
S
m2.
(1)求
S
与
x
之间的函数关系式及自变量
x
的取值范围；
随堂练习
2
解：(1)∵花圃的一边AB的长为x
m，
∴BC=(24-4x)
m，
∴S=x(24-4x)=-4x2+24x
.
∵
∴0＜x＜6.
随堂练习
2
解：(2)∵S=-4x2+24x=-4(x-3)2+36，
∴当x=3时，S最大值=36.
如图，在一面靠墙的空地上用长
24
m
的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为x
m，面积为
S
m2.
(2)当
x
取何值时，围成的花圃面积最大，最大面积是多少？
答：当x取3时所围成的花圃的面积最大，最大面积是36平方米．
随堂练习
2
解：(3)∵0<24-4x≤8，∴4≤x<6，
由(2)知，当x>3时，S
随x的增大而减小，
∴当x=4时，S取得最大值，且S最大值=32.
答：当x取4时所围成的花圃的面积最大，最大面积是32平方米．
如图，在一面靠墙的空地上用长
24
m
的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，设花圃的一边AB的长为x
m，面积为
S
m2.
(3)若墙的最大可用长度为
8
m，则花圃的最大面积是多少？
随堂练习
3
如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃
ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆
EF
与
GH
将矩形ABCD
分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长
80
m的篱笆，当围成的花圃
ABCD
的面积
y
m2最大时，AB
的长
为
m.
解：∵三块矩形区域的面积相等，
∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE=2BE，
设BC=x
m，BE=a
m，则AE=2a
m，
∴8a+2x=80，∴
a=
-
x+10
，3a=
-
x+30，
∴y=(
-
x+30)x=
-
x2+30x，
随堂练习
3
∵a=
-
x+10＞0，∴x＜40，
∵y=
-
x2+30x=
-
(0＜x＜40），
∴当x=20时，y有最大值，最大值为300，
当x=20时，a=
-
+10=5，∴AB=3a=15(m).
如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃
ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆
EF
与
GH
将矩形ABCD
分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长
80
m的篱笆，当围成的花圃
ABCD
的面积
y
m2最大时，AB
的长
为
m.
15
课堂小结
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依
据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
对接中考
1
在一个腰长为
10
cm
的等腰直角三角形的内部作一个矩形
ABCD，使三角形的直角为矩形的一个内角，则矩形
ABCD
面积的最大值是
.
25
cm2
解：∵三角形AEF是等腰直角三角形，
∴AF=AE=10，∠E=∠F=45°，
∵ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∠CDE=90°，
∴∠ECD=45°，∴ED=CD，
设AD=x，矩形面积为y，
∴ED=CD=10-x，
y=x(10-x)=-x2+10x=-(x-5)2+25，
∴当x=5时，y取最大值为25．
解：设窗框的宽为x
m，窗的面积为S
m则窗框的高为
m，
则S=，
当x=
?＝1.2时，S有最大值，
此时，窗框的高为=1.8(m).
所以当窗的高为1.8
m，宽为1.2
m时，这个窗的面积最大.
对接中考
2
有一条长
7.2
m
的木料，做成如图所示的“日”字形的窗框，窗框的高和宽各取多少米时，这个窗的面积最大？(不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积)
对接中考
3
（2018?福建中考）如图，在足够大的空地上有一段长为
a
m的旧墙
MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
ABCD，其中
AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了
100
m木栏.
(1)若
a=20，所围成的矩形菜园的面积
为
450
平方米，求所利用旧墙
AD
的长；
解：(1)
设AB=t
m，则BC=(100-2t)
m，
根据题意得t(100-2t)=450，解得t1=5，t2=45，
当t=5时，100-2t=90＞20，不合题意，舍去；
当t=45时，100-2t=10.
答：AD的长为10
m.
对接中考
3
(2)
设AD=x
m，∴S=
x(100-x)=
-
(x-50)2+1250，
若a≥50时，则当x=50时，S的最大值为1250；
若0＜a＜50时，则当0＜x≤a时，S
随x的增大而增大，
当x=a时，S
的最大值为50a-
a2，
综上，当a≥50时，S
的最大值为1250
m2；
当0＜a＜50时，S
的最大值为(50a-a2)m2．
（2018?福建中考）如图，在足够大的空地上有一段长为
a
米的旧墙
MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园
ABCD，其中
AD≤MN.已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了
100
米木栏.
(2)求矩形菜园
ABCD
面积的最大值.