人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数(2)课件（25张PPT)

(共25张PPT)
22.3
第2课时
实际问题与二次函数
知识回顾
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依
据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
学习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.
2.弄清商品销售问题中的数量关系及自变量的取值范围.
课堂导入
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.商品买卖过程中，追求利润最大化是商家永恒的追求.如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
知识点1
新知探究
某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件，已知商品的进价为每件
40
元，则每星期销售额是
元，销售利润是
元.
18000
6000
数量关系
（1）销售额=
售价×销售量；
（2）利润=
销售额-总成本=单件利润×销售量；
（3）单件利润=售价-进价.
知识点1
新知探究
例
某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件，市场调查反映：每涨价
1
元，每星期少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
20
件，已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价
x
元，则每星期售出商品的利润
y
元，填空：
单件利润（元）
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
涨价销售
20
300
20+x
300-10x
y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x),
即：y=-10x2+100x+6000.
6000
知识点1
新知探究
②自变量x的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10x
≥0，且x
≥0,因此自变量的取值范围是0
≤x
≤30.
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？
y=-10x2+100x+6000，
当
时，y=-10×52+100×5+6000=6250.
即定价
65
元时，最大利润是
6250
元.
知识点1
新知探究
降价销售
①每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）
销售量（件）
每星期利润（元）
正常销售
降价销售
20
300
20-x
300+20x
y=(20-x)(300+20x)
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
即：y=-20x2+100x+6000.
6000
例
某商品现在的售价为每件
60
元，每星期可卖出
300
件，市场调查反映：每涨价
1
元，每星期少卖出
10
件；每降价
1
元，每星期可多卖出
20
件，已知商品的进价为每件
40
元，如何定价才能使利润最大？
知识点1
新知探究
综合涨价和降价两种情况可知，定价
65
元时，利润最大.
②自变量
x
的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x
≥0，且
x
≥0,因此自变量的取值范围是
0
≤x
≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
当x=
-
=2.5
时,
y=
-
20×(2.5)
2+100×2.5+6000=6125
即定价
57.5
元时，最大利润是
6125元.
即：y=
-20x2+100x+6000，
知识点1
新知探究
求解最大利润问题时，要熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用的数量关系.审清题意，根据具体问题，建立函数关系式，解决实际问题.
常见的销售问题中的数量关系：利润=售价－成本，总利润=每件商品的利润×销量，利润率＝×100%.
知识点1
新知探究
求解最大利润问题的一般步骤：
(1)建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”.
(2)结合实际意义，确定自变量的取值范围.
(3)在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式法求出最大利润，也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
跟踪训练
新知探究
某青年公寓有
100
张床位，每张床位的日租价为
10
元时，公寓的床位可全部出租.若每张床位的日租价提高
1
元，则租出的床位就会减少
5
张，按此种情况，要想获得最大收益，则每张床位的日租价需提高
元.
5
解：设每张床位的日租价提高x元，总收益为y元.
则y=(10+x)(100-5x)
=-5(x-5)2
+1125.
所以当x=5时，总收益y取得最大值1125.
故每张床位的日租价需提高5元，才能获得最大收益.
随堂练习
1
为早日实现脱贫奔小康的宏伟目标，我市结合本地丰富的山水资源，大力发展旅游业.王家庄在当地政府的支持下，办起了民宿合作社，专门接待游客，合作社共有80间客房.根据合作社提供的房间单价
x
(元)和游客居住房间数
y
(间)的信息，乐乐绘制出
y
与
x
的函数图象如图所示.
(1)求
y
与
x
之间的函数关系式；
解：(1)
设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0)，
根据题意得解得
故y与x之间的函数关系式是y=-0.5x+110.
随堂练习
1
(2)
设合作社每天获得的利润为w元，
则w=x(-0.5x+110)-20(-0.5x+
110)
=-0.5x2+120x-2
200=-0.5(x-120)2+5000，
因为60≤x≤150，
所以当x=120时，w取得最大值，此时w=5000，
故当房价定为120元时，合作社每天获利最大，最大利润是5000元.
(2)合作社规定每个房间价格不低于
60
元且不超过
150
元，对于游客所居住的每个房间，合作社每天需要支出
20
元的各种费用，房价定为多少时，合作社每天获利最大？最大利润是多少？
随堂练习
2
某种商品每件的进价为
30
元，在某段时间内若以每件
x
元出售，可卖出(100-x)
件，应该如何定价才能使利润最大？
解：设最大利润为w元
则w=(x-30)(100-x)=-(x-65)2+1225，
∵30≤x≤100，
∴当x=65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
随堂练习
3
某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
(1)
请你写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w元与销售价格x元/件之间的函数关系式；
(2)
销售价格为多少时，每天的销售利润最大？
解：(1)
w=(x
-20)[250-10(x-25)]=-10x2
+700x-10000.
(2)
w=-10x2+700x-10000=-10(x-35)
2
+2250，
故当x=35时，w有最大值2250.
即销售价格为35元/件时，每天的销售利润最大.
随堂练习
3
某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售价格为25元/件时，每天的销售量为250件，销售价格每上涨1元，每天的销售量就减少10件.
(3)
商场的营销部结合上述情况，提出了A，B两种营销方案.
方案A：该文具的销售价格高于进价且不超过30元/件；
方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元.
请通过计算说明哪种方案的最大利润更高.
随堂练习
3
解：(3)方案A：由题意得w=-10(x-35)2+
2250(20因为-10<0，抛物线的对称轴为直线x=35，
所以抛物线开口向下，在对称轴的左侧，w随x的增大而增大，
所以当x=30时，w取最大值2000.
方案B：由题意得解得45≤
x
≤49.
由题意得w=-10(x-35)2
+2250(45≤
x
≤49).
因为在对称轴(直线
x
=35)的右侧，w随x的增大而减小，
所以当x=45时，w有最大值1250.
因为2000>
1250，所以方案A的最大利润更高.
课堂小结
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式法求最大值或利用函数简图和性质求出.
对接中考
1
某种商品每件进价为
20
元，调查表明：在某段时间内，若以每件
x
元(20≤x≤30，且
x
为整数)出售，可卖出(30-x)
件，若利润最大，每件的售价应为
元.
25
解：设利润为w元，
则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25，
∵20≤x≤30，
∴当x=25时，二次函数有最大值25.
对接中考
2
旅游公司在景区内配置了
50
辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金
x(元)是
5
的倍数.发现每天的营运规律如下：当
x
不超过100
元时，观光车能全部租出；当
x
超过100
元时，每辆车的日租金每增加
5
元，租出去的观光车就会减少
1
辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.
(1)为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？
解：(1)
由题意知，若观光车能全部租出，则0＜x≤100，
由50x-1100＞0，解得x＞22，
又∵x是5的倍数，
∴每辆车的日租金至少应为25元.
对接中考
2
旅游公司在景区内配置了
50
辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金
x(元)是
5
的倍数.发现每天的营运规律如下：当
x
不超过100
元时，观光车能全部租出；当
x
超过100
元时，每辆车的日租金每增加
5
元，租出去的观光车就会减少
1
辆.已知所有观光车每天的管理费是1100元.
(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？
解：(2)设每天的净收入为y元，当0＜x≤100时，y=50x-1100，
∵y随x的增大而增大，∴当x=100时，y的最大值为50×100-1100=3900；
当x＞100时，y=(50-)x-1100=-x2+70x-1100=-(x-175)2+5025，
当x=175时，y的最大值为5025，
∵5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多．
对接中考
3
俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价
40
元，规定销售单价不低于
44
元，且获利不高于
30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出
300
本，销售单价每上涨
1
元，每天销售量减少
10
本.现商店决定提价销售.设每天销售量为
y
本，销售单价为
x
元.
(1)请直接写出
y
与
x
之间的函数关系式和自变量
x
的取值范围；
解：(1)
y=300-10(x-44)，
即
y=-10x+740(44≤x≤52).
对接中考
3
俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价
40
元，规定销售单价不低于
44
元，且获利不高于
30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出
300
本，销售单价每上涨
1
元，每天销售量减少
10
本.现商店决定提价销售.设每天销售量为
y
本，销售单价为
x
元.
(2)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？
解：
(2)
根据题意得(x-40)(-10x+740)=2400，
解得x1=50，x2=64(舍去)，
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元.
对接中考
3
俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价
40
元，规定销售单价不低于
44
元，且获利不高于
30%.试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出
300
本，销售单价每上涨
1
元，每天销售量减少
10
本.现商店决定提价销售.设每天销售量为
y
本，销售单价为
x
元.
(3)
将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润
w
元最大？最大利润是多少元？
解：
(3)
w=(x-40)(-10x+740)=-10x2+1140x-29600=-10(x-57)2+2890，
当x＜57时，w随x的增大而增大，
而44≤x≤52，所以当x=52时，w有最大值，最大值为-10×(52-57)2+2890=2640.
答：将足球纪念册销售单价定为52元时，获得最大利润是2640元．