人教版九年级数学上册22章二次函数小结(2)课件（26张PPT)

(共26张PPT)
二次函数
22.4
小结
第2课时
知识梳理
抛物线的平移规律
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0),已知图象上三点的坐标,通常设一般式
左加右减自变量，上加下减常数项
用待定系数法求二次函数的解析式
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0),已知图象的顶点坐标或对称轴方程,通常设顶点式
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),已知图象与x轴的交点坐标,通常设交点式
知识梳理
抛物线
y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的横坐标即一元二次方程ax2+bx+c
=0的根
二次函数与一元二次方程
抛物线与
x
轴的公共点情况
利用图象法求一元二次方程的根
有两个公共点?
有一个公共点?
没有公共点?
抛物线与直线的公共点个数
拓展
知识梳理
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依
据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
知识梳理
最大利润问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本.
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0.
确定最大利润
利用配方法或公式法求最大值或利用函数简图和性质求出.
知识梳理
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线型问题
（实物中的抛物线形问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法.
实际问题
数学模型
转化的关键
知识梳理
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的图象和
x
轴的公共点有三种情况:
有两个公共点，有一个公共点，没有公共点.
当二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的图象和
x
轴有公共点时，公共点的横坐标就是当
y=0时自变量
x
的值，即一元二次方程
ax2＋bx＋c=0
的根.
知识梳理
二次函数
y＝ax2＋bx＋c的图象和x轴公共点
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0
的根
一元二次方程
ax2＋bx＋c=0
根的判别式(b2-4ac)
有两个公共点
有两个相异的实数根
b2-4ac
>
0
有一个公共点
有两个相等的实数根
b2-4ac
=
0
没有公共点
没有实数根
b2-4ac
<
0
二次函数
y=ax2+bx+c的图象与
x
轴公共点的坐标与一元二次方程
ax2+bx+c=0根的关系
知识梳理
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴公共点
a＞0
a＜0
有两个公共点x1,x2
（x1＜x2）
有一个公共点x0
没有公共点
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象与
x
轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2.
y＞0，x＜x1或
x＞x2.
y＞0，x1＜x＜x2.
y＜0，x＜x1或
x＞x2.
y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解
y＞0，无解；
y＜0，x0之外的所有实数
y＞0，所有实数；
y＜0，无解
y＞0，无解；
y＜0，所有实数
知识梳理
知识梳理
用二次函数解决实际问题的一般步骤：
1.审：仔细审题，厘清题意；
2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数；
3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；
4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；
5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论。
重点解析
1
若二次函数
y=x2+mx
的对称轴是
x=3，则关于
x
的方程
x2+mx=7
的解为(
)
A.
x1=0，x2=6
B.
x1=1，x2=7
C.
x1=1，x2=﹣7
D.
x1=﹣1，x2=7
解：∵二次函数
y=x2+mx
的对称轴是
x=3，
∴
=3，解得m=－6，
∴关于
x
的方程
x2+mx=7可化为
x2－6x－7=0，
即(x+1)(x-7)=0，解得x1=－1，x2=7．
故选D．
D
重点解析
2
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量
y(件)与销售单价
x(元)符合一次函数
y＝kx＋b，且
x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：(1)根据题意，得
解得k=-1,b=120.
故所求一次函数的表达式为
y=-x+120.
重点解析
2
某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量
y(件)与销售单价
x(元)符合一次函数
y＝kx＋b，且
x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
解：(2)
W=(x-60)(-x+120)=
-x2+180x-7200=
-(x-90)2+900,
∵抛物线的开口向下，
∴当x＜90时，W
随x的增大而增大，
而60≤x≤60(1+45%)，即60≤x≤87，
∴当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.
重点解析
3
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)
用含有x的代数式表示BF的长；
(2)
设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)
当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
解：(1)
由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.
∴BF=2x-30.
重点解析
3
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)
用含有x的代数式表示BF的长；
(2)
设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)
当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
解：(2)
∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°，BG=BF=2x-30.
所以S△DEF-S△GBF=
DE2-
BF2
=
x2-
(2x-30)2
=
x2+60x-450.
重点解析
3
如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)
用含有x的代数式表示BF的长；
(2)
设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)
当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
解：(3)
S=
x2+60x-450=
(x-20)2+150.
∵a=
＜0,15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为150.
重点解析
4
一位运动员在距篮下4
m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5
m时，达到最大高度3.5
m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05
m，该运动员身高1.9
m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25
m处出手时，他跳离地面的高度是(
)
A.
0.1
m
B.
0.2
m
C.0.3
m
D.0.4
m
重点解析
4
解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
∴抛物线的顶点坐标为(0，3.5)，
∴设抛物线的表达式为
y=ax2+3.5．
由图知图象过点(1.5，3.05)．
∴2.25a+3.5=3.05，解得a=-0.2，
∴抛物线的表达式为
y=-0.2x2+3.5．
设球出手时，他跳离地面的高度为h
m，
因为y=-0.2x2+3.5，
则球出手时，球的高度为h+1.9+0.25=(h+2.15)
m，
∴h+2.15=-0.2×(-2.5)2+3.5，∴h=0.1
m．故选A．
深化练习
1
已知二次函数
y=(x-p)(x-q)+2，若
m，n是关于
x
方程(x-p)(x-q)+2=0的两个根，则实数m，n，p，q的大小关系可能是(
)
解：∵二次函数
y=(x-p)(x-q)+2，
∴该函数开口向上，当x=p或x=q时，y=2，
∵m，n是关于x的方程(x-p)(x-q)+2=0的两个根，
∴p、q一定一个最大，一个最小，m、n一定处于p、q中间，
故选C．
A.
m＜p＜q＜n
B.
m＜p＜n＜q
C.
p＜m＜n＜q
D.
p＜m＜q＜n
C
一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)
求该抛物线对应的二次函数解析式.
深化练习
2
解：(1)
因图象过原点，
则设函数解析式为y=ax2+bx，
由图象的点的含义，得
解得a=-1,b=14.
故所求二次函数的表达式为y=-x2+14x.
一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(2)
该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
深化练习
2
解：(2)
y=-x2+14x=-(x-7)2+49.
当x=7时，y最大值=49，
即第7月的利润最大，为49万元.
解：(3)
没有利润，即y=-x2+14x=0，
解得x1=0(舍去)或x2=14，
而这时利润为滑坡状态，所以第15个月，公司亏损.
深化练习
2
一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(3)
若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损)作预测分析．
张大伯准备用40
m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25
m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)
请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)
请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接
答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
深化练习
3
解：(1)由题意，得羊圈的长为25
m，
宽为(40-25)÷2=7.5(m).
故羊圈的面积为25×7.5=187.5(m2)
解：(2)
设羊圈与墙垂直的一边为x
m,则与墙平行的一边长为(40-2x)
m,
羊圈的面积S=x(40-2x)=-2x2+40x=-2(x-10)2+200(0＜x＜20).
因为0＜10＜20，所以当x=10时，S有最大值，此时S=200.
故张大伯的设计不合理.当羊圈与墙垂直的两边长为10m，而与墙平行的一边长为40-2x=20米时，矩形的面积最大.
深化练习
3
张大伯准备用40
m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25
m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈.
(1)
请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
(2)
请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接
答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由.
深化练习
4
如图，以40
m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t-5t2．下列叙述正确的是(
)
A.小球的飞行高度不能达到15
m
B.小球的飞行高度可以达到25
m
C.小球从飞出到落地要用时4
s
D.小球飞出1s时的飞行高度为10
m
解：当h=15时，15=20t-5t2，解得
t1=1，t2=3，
故小球的飞行高度能达到15
m，故A选项错误；
h=20t-5t2=-5(t-2)2+20，故t=2时，小球的飞行高度最大为20
m，故B选项错误；
∵h=0时，0=20t-5t2，解得
t1=0，t2=4，
∴小球从飞出到落地要用时4
s，故C选项正确；
当t=1时，h=15，故小球飞出1
s时的飞行高度为15
m，故D选项错误.故选C．
C