2019-2020学年人教版八年级下学期数学第18章平行四边形单元测试（含答案）

第18章
平行四边形
一．选择题（共10小题）
1．如图，一个四边形花坛ABCD，被两条线段MN，EF分成四个部分，分别种上红、黄、紫、白四种花卉，种植面积依次是S1，S2，S3，S4，若MN∥AB∥DC，EF∥DA∥CB，则有（　　）
A．S1＝S4
B．S1+S4＝S2+S3
C．S1S4＝S2S3
D．都不对
2．如图，已知△ABC是边长为3的等边三角形，点D是边BC上的一点，且BD＝1，以AD为边作等边△ADE，过点E作EF∥BC，交AC于点F，连接BF，则下列结论中①△ABD≌△BCF；②四边形BDEF是平行四边形；③S四边形BDEF＝；④S△AEF＝．其中正确的有（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，EB∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是（　　）
A．21
B．18
C．15
D．13
5．如图，AC、BD是菱形ABCD的对角线，E、F分别是边AB、AD的中点，连接EF，EO，FO，则下列结论错误的是（　　）
A．EF＝DO
B．EF⊥AO
C．四边形EOFA是菱形
D．四边形EBOF是菱形
6．如图，边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，点M是边AB上一点，点N是边BC上一点，且∠ADM＝15°，∠MDN＝90°，则点B到DN的距离为（　　）
A．
B．
C．
D．2
7．如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，已知菱形OBAC的顶O（0，0），A（﹣2，﹣2），若菱形绕点O顺时针旋转，每秒旋转45°，则旋转30秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）
A．（1，﹣1）
B．（﹣1，1）
C．（1，0）
D．（0，﹣）
9．如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，则AP+BP+CP的最小值为（　　）
A．+
B．+
C．4
D．3
10．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE长（　　）
A．
B．
C．1
D．1﹣
二．填空题（共6小题）
11．如图，在?ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥BC于点E，ED平分∠CDA，若BE：EC＝1：2，则∠BCD的度数为　
　．
12．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则平行四边形ABCD的面积为　
　．
13．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC和CD上，下列结论：①CE＝CF；②BD＝1+；③BE+DF＝EF；④∠AEB＝75°．其中正确的序号是　
　．
14．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　
　．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝，E是BC的中点，AE⊥BD于点F，则CF的长是　
　．
16．如图，点E是正方形CD边上一点，且△ABE的面积为4.5，DE＝1，则线段BE的长度为　
　．
三．解答题（共6小题）
17．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A＝30°，∠DEB＝45°，求证：DA＝DF．
18．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
19．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形．
20．如图，菱形ABCD对角线交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
（1）求证：EO＝DC；
（2）若菱形ABCD的边长为10，∠EBA＝60°，求：菱形ABCD的面积．
21．四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形；
（2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度；
（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．
22．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，
EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH＝　
　；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH＝　
　（用n的代数式表示）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．
C．
2．
C．
3．
C．
4．
D．
5．
D．
6．
B．
7．
A．
8．
A．
9．
B．
10．
A．
二．填空题（共6小题）
11．
120°．
12．12．
13．①②④．
14．
．
15．
．
三．解答题（共6小题）
17．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝CB，∠A＝∠C，AD∥CB，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，
∴∠EDB＝∠FBD＝90°，
∴∠ADE＝∠CBF，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB（ASA）；
（2）作DH⊥AB，垂足为H，
在Rt△ADH中，∠A＝30°，
∴AD＝2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB＝45°，
∴EB＝2DH，
∵ED⊥DB，FB⊥BD．
∴DE∥BF，∵AB∥CD，
∴四边形EBFD为平行四边形，
∴FD＝EB，
∴DA＝DF．
18．证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴△AFE≌△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
19．证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
（2）由（1）知，△AFE≌△DBE，则AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD．
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形．
20．（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD
∴四边形AEBO是平行四边形
又∵菱形ABCD对角线交于点O
∴AC⊥BD
即∠AOB＝90°
∴四边形AEBO是矩形∴EO＝AB
∵菱形ABCD
∴AB＝DC
∴EO＝DC．…（5分）
（2）解：由（1）知四边形AEBO是矩形
∴∠EBO＝90°
∵∠EBA＝60°
∴∠ABO＝30°
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO＝30°
∴AO＝5，BO＝5
∴BD＝10
∴菱形ABCD的面积＝△ABD的面积+△BCD的面积
＝2×△ABD的面积
＝2××10×5
＝50．
21．（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA＝∠BCA，
∴EQ＝EP，
∵∠QEF+∠FEC＝45°，∠PED+∠FEC＝45°，
∴∠QEF＝∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
，
∴Rt△EQF≌Rt△EPD，
∴EF＝ED，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）如图2中，在Rt△ABC中．AC＝AB＝2，
∵EC＝，
∴AE＝CE，
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知CG＝．
（3）①当DE与AD的夹角为30°时，∠EFC＝120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，∠EFC＝30°
综上所述，∠EFC＝120°或30°．
22．（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠EAB+∠AEB＝90°．
∵∠EOB＝∠AOF＝90°，
∴∠FBC+∠AEB＝90°，
∴∠EAB＝∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE＝CF；
（2）解：方法1：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF＝BN，GH＝AM，
∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A＝90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，
∴GH＝EF＝4；
方法2：过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，
得FM＝GN，由（1）得，∠HGN＝∠EFM，
得△FME≌△GNH，
得FE＝GH＝4．
（3）①∵是两个正方形，则GH＝2EF＝8，②4n．