人教版九年级数学上册24.1.2 垂直于弦的直径课件（25张PPT)

(共25张PPT)
24.1.2
垂直于弦的直径
圆的有关性质
知识回顾
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
(2)圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
1.圆的定义
(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．
2.弦的定义
3.弧的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧.
学习目标
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
课堂导入
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？
知识点1
新知探究
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
●O
不能说圆的直径是圆的对称轴，因为对称轴是直线，而直径是线段.
知识点1
新知探究
例
求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
知识点1
新知探究
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意
一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′.
在△OAA′中，∵OA=OA′,
∴△OAA′是等腰三角形.
又AA′⊥CD，∴AM=MA′.
即CD是AA′的垂直平分线.
这就是说，对于圆上任意一点A，
在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称.
即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
知识点1
新知探究
如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
为什么?
线段:
AE=BE
弧:
AC=BC,
AD=BD
)
(
(
(
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．
(
(
(
(
·
O
A
B
D
E
C
知识点1
新知探究
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE，
(
(
AC
=BC，
(
(
AD
=BD.
推导格式：
知识点1
新知探究
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
知识点1
新知探究
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心
；
②垂直于弦；
③平分弦（非直径）；
④平分弦所对的优弧
；
⑤平分弦所对的劣弧.
在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个结论(知二推三).
知识点1
新知探究
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
知识点1
新知探究
例
赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1
400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37
m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23
m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
知识点1
新知探究
解：
如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
(
(
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，
即R2=18.52+（R-7.23）2.
解得R≈27.3.
因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3
m.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点C，
(
连接OA，根据垂径定理，得D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高.
(
由题设可知AB=37，CD=7.23，
所以
AD=
AB=
37=18.5，OD=OC-CD=R-7.23.
知识点1
新知探究
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
O
A
B
C
·
知识点1
新知探究
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
A
B
C
D
O
h
r
d
跟踪训练
新知探究
如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
A
解：∵OC⊥AB，
∴AD=BD=AB=
×8=4，
在Rt△OAD中，OA=5，AD=4，
∴OD==3，
∴CD=OC-OD=5-3=2．
随堂练习
1
如图，下水管道横截面为圆形，直径为100
cm，下雨前水面宽为60
cm，一场大雨过后，水面宽为80
cm，则水位上升
cm.
10或70
解：设圆心为O，下雨前水面与圆交于A，B两点，
过点O作OC⊥AB于C，连接OB
，如图所示，
由垂径定理得：BC=AB=30(cm)，
在Rt△OBC中，OC==40(cm)，
当水位上升到圆心以下，水面宽80cm时，设水面为，
与OC交于C′，连接，则OC′=
=30(cm)，
水面上升的高度为40-30=10(cm)；
当水位上升到圆心以上时，设水面为，过点O作OE⊥于E，连接O，则OE==30(cm)，所以水面上升的高度为40+30=70(cm)，
综上可得，水面上升的高度为10cm或70cm．
随堂练习
2
如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，直线y=kx-3k+4与圆O交于B，C两点，则弦BC的长的最小值为
.
24
解：∵直线y=kx-3k+4必过点(3，4)（设为点D），
∴连接OD，OB，当OD⊥BC时，BC最短，如图所示，
∵点D的坐标是(3，4)，∴OD=5，
∵以原点O为圆心的圆过点A(13，0)，
∴圆O的半径为13，∴OB=13，∴OB?=BD?+OD?，
∴BD==12，
∴弦BC的长的最小值为24.
随堂练习
3
已知圆O的半径为10
cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16
cm，CD=12
cm，则弦AB和CD之间的距离是
cm.
解：分两种情况进行讨论：
①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，
过O作OF⊥CD，垂足为F，交AB于点E，连接OC，OA，
∵
AB//CD，∴
OE⊥AB，
∵AB=16cm，CD=12cm，∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，∴EF=OF-OE=2
cm.
图1
已知圆O的半径为10
cm，AB，CD是圆O的两条弦，AB//CD，AB=16
cm，CD=12
cm，则弦AB和CD之间的距离是
cm.
随堂练习
3
2或14
解：②当弦AB和CD在圆心异侧时，过O作OE⊥CD，交CD于点E，
延长EO交AB于点F，连接OC，OA，如图2所示，
∵
AB//CD，∴
OF⊥AB，
∵AB=16cm，CD=12cm，∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OE=8cm，OF=6cm，∴EF=OF+OE=14cm；
综上所述：AB和CD之间的距离为2cm或14cm．
图2
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦;
③平分弦（不是直径）;
④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：连半径，作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形
对接中考
1
解：作PC⊥x
轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，
连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是(3，a)，∴OC=3，PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，∴D点坐标为(3，3)，∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，
∵PE⊥AB，∴AE=BE=AB=
=2，
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=1，∴PD=PE=
，∴a=3+．
如图，在平面直角坐标系中，圆P的圆心坐标是(3，a)(a>3)，半径为3，函数y=x的图象被圆P截得的弦AB的长为4
，则a的值是(
)
A.4
B.3+
C.3
D.3+
B
对接中考
2
某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?
解：如图，设这座拱桥的截面为AB，AB为水面，O为AB所
在圆的圆心，过点O作OC⊥AB于点D，交AB于点C，
在线段AB上作线段EF=3
m，使点D为EF的中点，
作矩形MNFE，使点M，N在AB上，MN交OC于点H，
连接OA，ON.
(
(
(
(
设OA=r
m，则OD=OC-DC=(r-2.4)m，AD=AB=3.6m，NH=
在Rt△AOD中，
OA2=AD2+OD2，
即r2=3.62+(r-2.4)2，解得r=3.9．
在Rt△OHN中，OH===3.6
(m)，
∴FN=DH=OH-OD=3.6-(3.9-2.4)=2.1(m)，
∵2.1
m＞2m．
∴此货船能顺利通过这座拱桥．
对接中考
3
某地有一座弧形的拱桥，桥下的水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一艘宽3m，高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗?