人教版九年级数学上册24.1.3 弧、弦、圆心角课件（21张PPT)

(共21张PPT)
24.1.3
弧、弦、圆心角
圆的有关性质
知识回顾
连接圆上任意两点的线段叫做弦.
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
以A、B为端点的弧记作
，读作“圆弧AB”或“弧AB”．
1.弦的概念：
2.弧的概念：
学习目标
1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.
2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.
3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.
课堂导入
圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性.
.
O
A
B
1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
知识点1
新知探究
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
O
圆是旋转对称图形，具有旋转对称性.
·
知识点1
新知探究
·
O
B
A
O
B
A
观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？
A
B
O
知识点1
新知探究
O
A
B
1.顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB
.
3.圆心角
∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2.圆心角
∠AOB所对的弧为
AB.
⌒
弦
一条弧所对的圆心角只有一个
.
知识点1
新知探究
在⊙O中，如果∠AOB=
∠COD，那么，AB与CD，弧AB与弧CD有怎样的数量关系呢？
(
(
C
·
O
A
B
D
知识点1
新知探究
O
A
B
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO
′
D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
O
′
C
D
知识点1
新知探究
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒
⌒
③AB=CD
A
B
O
D
C
弧、弦与圆心角的关系定理
知识点1
新知探究
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
A
B
O
D
C
知识点1
新知探究
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
知识点1
新知探究
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
知识点1
新知探究
证明：
∴
AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴
△ABC是等边三角形
,
AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
例
如图，在⊙O中，
AB=AC
，∠ACB=60°，求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
B
C
O
⌒
⌒
∵AB=AC，
⌒
⌒
跟踪训练
新知探究
如图，C，D是以AB为直径的圆O上的两点，且OD//BC.求证：AD=DC.
解：如图，连接OC.
∵OD//
BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3,
∵OB=OC，∴∠B=∠3,
∴∠1=∠2，∴
AD=DC.
随堂练习
1
解：
∵
,
·
A
O
B
C
D
E
如图，AB是⊙O
的直径，，∠COD=35°，求∠AOE
的度数．
随堂练习
2
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
（1）如果AB=CD，那么___________，________________．
（2）如果
，那么_________________，_____________．
（3）如果∠AOB=∠COD，那么_____________，_________．
·
C
A
B
D
E
F
O
AB=CD
AB=CD
AB=CD
(
(
∠AOB=
∠COD
∠AOB=
∠COD
AB=CD
(
(
AB=CD
(
(
随堂练习
2
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？
·
C
A
B
D
E
F
O
解：OE=OF.
理由如下：
课堂小结
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
如图，在⊙O中，
=
，∠ACB=60°.
(1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC；
(2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形.
对接中考
1
解：(1)因为=
，
所以AB=AC.
又∠ACB=60°
，
所以△ABC是等边三角形，
所以AB=BC=CA，
所以∠AOB=∠BOC=∠AOC.
对接中考
1
解：
(2)连接OD，如图.
因为D是的中点，所以
AD=
BD，
所以∠AOD=∠BOD=∠ACB=60°.
又OD=OA，OD=OB，
所以△OAD和△OBD都是等边三角形，
所以OA=AD=OD，OB=BD=OD，
所以OA=AD=DB=BO，所以四边形OADB是菱形.
如图，在⊙O中，
=
，∠ACB=60°.
(1)求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC；
(2)若D是的中点，求证：四边形OADB是菱形.