人教版九年级数学上册24.1.4 圆内接多边形课件（18张PPT)

(共18张PPT)
24.1.4
圆内接多边形
圆的有关性质
知识回顾
1.圆周角定义
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角.（二者必须同时具备）.
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该圆弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对的弧相等.
2.圆周角定理
学习目标
1.掌握圆内接四边形及其对角的性质.
2.掌握圆内接四边形外角的性质.
课堂导入
观察下面的图形，图中的多边形与圆有什么位置关系？
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
知识点1
新知探究
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
每一个圆都有无数个内接四边形，但并不是所有的四边形都有外接圆，只有对角互补的四边形才有外接圆.
知识点1
新知探究
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
猜想：∠A与∠C，∠B与∠D之间的关系为：
∠A+
∠C=180?，
∠B+
∠D=180?.
知识点1
新知探究
∵
弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
如何证明你的猜想呢？
圆的内接四边形的对角互补.
知识点1
新知探究
C
O
D
B
A
∵
弧BCD和弧BAD所对的圆心角的和是周角，
∴∠A＋∠C＝180°，
同理∠B＋∠D＝180°，
E
∵∠BCD＋∠DCE＝180°.
∴∠A＝∠DCE.
图中∠A与∠DCE的大小有何关系？
知识点1
新知探究
圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
跟踪训练
新知探究
如图所示，四边形ABCD为
⊙O
的内接四边形，∠BCD=120°，则∠BOD的大小是(
)
A.80°
B.120°
C.100°
D.90°
B
解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°-∠BCD=60°，
由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120°．
随堂练习
1
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.AB与DC的延长线交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°
，则∠DBC的度数为(
)
C
A.50°
B.60°
C.80°
D.90°
解：延长AE交⊙O于点F，
∵AE⊥CD，∴
，
∴∠DBC=2∠DAF，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ADE=∠GBC=50°，
∴∠DAF=40°，
∴∠DBC=2∠DAF=80°.
F
随堂练习
2
如图，四边形
ABCD
是圆
O
的内接四边形，点
D
是
的中点，点
E
是
上的一点，若
∠CED=40°，则∠ADC=_____度
.
解：如图，连接
AE，
∵点
D
是
的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形
ADCE
是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.
100
如图，在△ABC中，∠ACB
=90°
，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC=
135°，CF
=2则AE2
+BE2的值为(
)
A.8
B.12
C.16
D.20
随堂练习
3
解：∵四边形BCDE内接于⊙O，且∠EDC=135°，
∴∠EFC=∠ABC=180°-∠EDC=45°，
∵∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=BC，
又∵EF是⊙O的直径，
∴∠EBF=∠ECF=∠ACB=90°，∴∠BCF=∠ACE，
∵四边形BECF是⊙O的内接四边形，
∴∠AEC=∠BFC，∴△ACE≌△BCF
(ASA)，
∴AE=BF，
∵在Rt△ECF中，CF=2，∠EFC=45°，∴EF2=16，
则AE2+BE2=BF2+BE2=EF2=16.
随堂练习
3
如图，在△ABC中，∠ACB
=90°
，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F，连接BF，CF.若∠EDC=
135°，CF
=2则AE2
+BE2的值为(
)
C
课堂小结
圆内接四边形的角的“三种关系”：
1.对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
2.四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙O
的内接四边形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
对接中考
1
如图，点A，B，C，D在⊙O上，=
∠CAD
=30°，∠ACD
=50°
，则∠ADB=
°.
70
解：∵
=
，∠CAD=30°，
∴∠CAB=∠CAD=30°，
∴∠DBC=∠DAC=30°，
∵∠ACD=50°，
∴∠ABD=50°，
∴∠ACB=∠ADB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-30°-50°-30°=70°．
对接中考
2
如图，四边形ABCD内接于⊙O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的度数为(
)
C
A.45°
B.50°
C.60°
D.75°
解：∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC=∠AOC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
由圆周角定理得，∠ADC=∠AOC，
∴∠ADC=60°.
对接中考
3
求证：圆内接平行四边形是矩形.
已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B=∠D，∠B+∠D=180°，
∴∠B=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形．