人教版九年级数学上册24.2.2 直线和圆的位置关系（3）课件（31张PPT)

(共31张PPT)
24.2.2
直线和圆的位置关系
点和圆、直线和圆的位置关系
知识回顾
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
1.切线的判定定理
2.切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
学习目标
1.掌握切线长的定义及切线长定理.
2.初步学会运用切线长定理进行计算与证明.
课堂导入
上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如左图所示)，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
P
O
B
A
O.
P
A
B
知识点1
新知探究
P
切线上一点到切点之间的线段的长叫作这点到圆的切线长．
A
O
①切线是直线，不能度量.
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．
切线长与切线的区别在哪里？
知识点1
新知探究
PA为☉O的一条切线，沿着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B．
OB是☉O的一条半径吗？
PB是☉O的切线吗？
PA，PB有何关系？
∠APO和∠BPO有何关系？
O
.
P
A
B
知识点1
新知探究
已知，如图PA
，
PB是☉O的两条切线，A,B为切点.
求证：PA=PB，∠APO=∠BPO.
证明：∵PA切☉O于点A，
∴
OA⊥PA.
同理可得OB⊥PB.
∵OA=OB，OP=OP，
∴Rt△OAP
≌
Rt△OBP，
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
O
.
P
A
B
知识点1
新知探究
切线长定理
PA，PB分别切☉O于A，B
PA
=
PB
∠OPA=∠OPB
几何语言:
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等.圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
经过圆上一点作圆的切线，有且只有一条；经过圆外一点作圆的切线，有两条.
知识点1
新知探究
若连接两切点A,B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论？并给出证明.
OP垂直平分AB.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB，
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线，
∴OP垂直平分AB.
O.
P
A
B
M
知识点1
新知探究
若延长PO交⊙O于点C，连接CA,CB，你又能得出什么新的结论？并给出证明.
证明：∵PA，PB是⊙O的切线，点A，B是切点，
∴PA
=
PB
，∠OPA=∠OPB.
∴PC=PC.
∴
△PCA
≌
△PCB，
∴AC=BC.
CA=CB
O.
P
A
B
C
知识点1
新知探究
活学巧记
过圆外一点作切线，
此点与切点间线段长，
名称就叫切线长.
圆外一点引两切，
牢记切线长相等，
此点圆心两相连，
平分两切之夹角.
跟踪训练
新知探究
如图，已知四边形ABCD的每条边都和⊙O相切，且BC=
10，AD
=
7，则四边形ABCD的周长为(
)
A.32
B.34
C.36
D.38
B
解：设四边形的各边与圆的切点分别为P，Q，M，N，
则AQ=AM，BN=BM，CN=CP，DP=DQ.
所以四边形ABCD的两组对边的和相等，
所以四边形ABCD的周长=2×(7+10)=34．
P
Q
M
N
D
C
A
B
知识点2
新知探究
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
知识点2
新知探究
如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切.
知识点2
新知探究
1.与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2.三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3.这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
1.锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形的内部.
2.一个圆可以有无数个外切三角形，但是一个三角形只有一个内切圆.
知识点2
新知探究
如何作一个圆，使它与已知三角形的三边都相切？
(1)
如果半径为r的☉O与△ABC的三边都相切，那么圆心
O
应满足什么条件？
(2)
在△ABC的内部，如何找到满足条件的圆心O呢？
圆心O到三角形三边的距离相等，都等于r.
三角形三条角平分线交于一点，这一点与三角形的三边距离相等.圆心O
应是三角形的三条角平分线的交点.
知识点2
新知探究
已知：△ABC.
求作：和△ABC的各边都相切的圆.
作法：
1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为O.
2.过点O作OD⊥BC.垂足为D.
3.以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O就是所求的圆.
D
M
N
O
A
B
C
知识点2
新知探究
三角形内切圆的作法：
作三角形任意两个内角的平分线，以两条角平分线的交点为圆心，以交点到三角形任意一边的距离为半径作圆即可.
知识点2
新知探究
B
A
C
I
如图，☉I是△ABC的内切圆，那么线段IA，IB，IC有什么特点？
线段IA，IB
，IC
分别是∠A，∠B，∠C
的平分线.
知识点2
新知探究
如图，分别过点
I
作AB，AC，BC的垂线，垂足分别为E，F，G，那么线段IE，IF，IG之间有什么关系？
B
A
C
I
E
F
G
IE=IF=IG
知识点2
新知探究
三角形内心的性质
三角形的内心到三角形的三边距离相等，且等于其内切圆的半径.
B
A
C
I
E
F
G
名称
外心(三角形的外接圆圆心，即三角形三边垂直平分线的交点).
内心(三角形的内切圆圆心，即三角形三条角平分线的交点).
图形
性质
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等.
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
位置
外心不一定在三角形的内部.
内心一定在三角形的内部.
角度关系
∠BOC=2∠A.
知识点2
新知探究
三角形外心、内心的区别
跟踪训练
新知探究
如图，已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC=40°，则∠BOD的度数是
.
70°
解：∵△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，
∴OB平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD=
∠ABC=×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
A.△ACD的外心
B.△ABC的外心
C.△ACD的内心
D.△ABC的内心
随堂练习
1
如图为4×4的网格，A,B,C,D,O均在格点上，则点O是(
)
B
随堂练习
2
如图，在Rt△AOB中，OA=OB
=3
☉O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线PQ的最小值为
.
解：连接OP，OQ．
∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2-OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA=OB=3，
∴AB=OA=6，∴OP==3，
∴PQ==2．
随堂练习
3
如图，PA,
PB,
DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上.
(1)
若PA=10，求△PDE的周长；
(2)
若∠P=50°，求∠DOE的度数.
解：(1)
因为PA,PB,DE分别切☉O于点A,B,C,
所以PA=PB，DA=DC，
EC=EB，
所以PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=10+10=20，
所以△PDE的周长为20.
随堂练习
3
解：(2)
如图，连接OA,OC,OB.
∵PA,PB是☉O的切线，∴OA⊥PA,OB⊥PB,
∴
∠DAO=∠EBO=90°,
∴
∠P+∠AOB=180°,
∴
∠AOB=180°-50°=
130°.
由切线长定理知∠ADO=∠CDO,∠CEO=∠BEO,
∴
∠AOD=∠DOC,
∠COE=∠BOE,
∴
∠DOE=∠AOB=
×130°=65°.
如图，PA,
PB,
DE分别切☉O于点A,B,C,点D在PA上，点E在PB上.
(1)
若PA=10，求△PDE的周长；
(2)
若∠P=50°，求∠DOE的度数.
课堂小结
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性
原理
提供了证线段和角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程.
有关概念
内心概念及性质
应用
对接中考
1
（2020?镇江模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A(3,0),B(5,0),C(0,4)，
☉P经过点A,B,C,则点P的坐标为(
)
C
A.(6,8)
B.(4,5)
C.(4,)
D.(4,)
解：∵⊙P经过点A,B,C，∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴点P的横坐标为4，设点P的坐标为(4，y)，
作PE⊥OB于E，PF⊥OC于F，
由PA=PC得，，
解得
y=.
F
E
P
对接中考
2
如图，☉O与正方形ABCD的两边AB,
AD相切，且DE与☉O相切于点E.若☉O的半径为5,AB
=11，则DE的长度为(
)
B
A.5
B.6
C.
D.
解：连接OM，ON，
∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=11，∠A=90°，
∵圆O与正方形ABCD的两边AB，AD相切，
∴∠OMA=∠ONA=90°=∠A，
∵OM=ON，∴四边形ANOM是正方形，∴AM=OM=5，
∵AD和DE与圆O相切，圆O的半径为5，
∴AM=5，DM=DE，∴DE=11-5=6.
N
M
解：如图所示，设O为△ABC内切圆的圆心，
r
为内切圆的半径,D,E,F分别为☉O与边AC,AB,BC的切点，连接OA,OB,OC,OD,OE,OF.
因为AB=60
cm，BC=80
cm，∠ABC=90°，
所以AC=
=100(cm).
因为S△ABC=
S△OAB+
S△OBC+
S△OAC
，
即
，
所以
r
=20
cm，所以2
r
=2×20=40(cm)，
所以王奶奶应该剪出这个三角形的内切圆,这个圆的直径是40
cm.
对接中考
3
如图所示，王奶奶有一块三角形的布料，∠ABC=90°，她要裁一个圆片，已知AB=60
cm，BC=80
cm，为了充分地利用这块布料，使剪下来的圆片的直径尽量大些，她应该怎样裁剪?这个圆的直径是多少?