人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆（1）课件（30张PPT)

(共30张PPT)
24.3
第1课时
正多边形和圆
知识回顾
圆内接四边形的性质：
1.对角互补；
2.四个内角的和是360°；
3.任一外角与其相邻的内角的对角相等(即外角等于内对角)．
学习目标
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
课堂导入
下面这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
知识点1
新知探究
什么叫做正多边形？
各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
知识点1
新知探究
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
知识点1
新知探究
知识点1
新知探究
正多边形的对称性
所有的正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心.n为偶数时，它还是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
知识点1
新知探究
O
A
B
C
D
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
EF是边AB，CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.
GH是边AD，BC的垂直平分线，
∴OA=OD，OB=OC.
∴OA=OB=OC=OD.
∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.
知识点1
新知探究
O
A
B
C
D
E
F
G
H
AC平分∠DAB及∠DCB，BD平分∠ABC及∠ADC，
∴OE=OH=OF=OG.
∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.
以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
知识点1
新知探究
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
知识点1
新知探究
任意三角形都有外接圆和内切圆，但是只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆；任意多边形不一定有外接圆和内切圆，但当多边形是正多边形时，一定有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
知识点1
新知探究
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.
O
A
B
C
D
E
F
G
H
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.正n
边形的每个中心角都等于
.
知识点1
新知探究
把圆分成n(n≥3)等份，依次连接各分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆.
圆内接正多边形
知识点1
新知探究
圆的外切正n边形
把圆分成n(n≥3)等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.一定要注意正多边形的半径是指外接圆的半径，而不是内切圆的半径.
知识点1
新知探究
边心距是正多边形的中心到正多边形一边的距离，此时的边心距也可以看作正多边形的外接圆的圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距，但弦心距不一定是边心距.
边心距与弦心距的关系
跟踪训练
新知探究
如图所示，△AOB是正三角形，以点O为圆心，OA为半径作☉O，直径FC//AB，AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E.求证：六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
解：
∵
△AOB是正三角形，
∴
∠AOB=∠OAB=∠OBA
=60°
,OB=OA,∴点B在☉O上.
∵FC//AB,∴
∠FOA=
∠OAB
=60°,∠COB=∠OBA=
60°,
∴
∠AOB=∠BOC=∠COD=
∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°.
∴
.
∴六边形ABCDEF为圆内接正六边形.
知识点2
新知探究
例
有一个亭子，它的地基是半径为4
m的正六边形，求地基的周长和面积
(结果保留小数点后一位).
抽象成
知识点2
新知探究
利用勾股定理，可得边心距
r
==2
亭子地基的面积
在Rt△OPB中，OB＝4
m,
PB＝
=
=2（m）,
过点O作OP⊥BC于P.
解:如图，连接OB,
OC.因为六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此亭子地基的周长
l=6×4=24(m)，
知识点2
新知探究
正n边形的中心角怎么计算？
正n边形的边长a，半径R，边心距r之间有什么关系？
边长为a，边心距为r的正n边形的面积如何计算？
其中l为正n边形的周长.
知识点2
新知探究
正多边形的有关结论
1.正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半径的倍；正方形的边长等于其外接圆半径的倍.
2.若已知正n边形的边长、周长、边心距、面积中的任意一项，则可求出其他各项.
知识点2
新知探究
3.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形，所以在进行与正多边形有关的计算时，可以把正多边形的计算转化到直角三角形中，利用勾股定理等知识解决.
4.由正多边形的内角与外角互补，正多边形的中心角等于外角，可得正多边形的中心角和内角互补.
知识点2
新知探究
2.作边心距，构造直角三角形.
1.连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形的辅助线
O
边心距r
边长一半
半径R
B
M
中心角一半
跟踪训练
新知探究
已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E,
AD,BE交于点O，连接CO.
由题意得BD=CD=2，AE=EC=2,
AD垂直平分BC,BE垂直平分AC,
∴AO=CO,CO=BO，∴AO=CO=BO,
∴点O为等边三角形ABC的中心.
∵
∠BOC=2∠BAC,∠BAC=
60°,
∴
△ABC的中心角∠BOC
=
120°.
∵OB=OC,
∴
∠OBC=∠OCB=.
跟踪训练
新知探究
设OD=x,则OB
=2x.
在Rt△BOD中，根据勾股定理得(2x)2-x2
=22,∴x=,
∴等边三角形ABC的边心距为,半径为.
∴
S△ABC=
BC·AD=
×4×(+
)=4.
已知边长为4的等边三角形ABC,求△ABC的中心角、半径、边心距、面积.
随堂练习
1
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(
)
A
A.正三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形
解：∵正三角形一条边所对的圆心角是360°÷3=120°，
正方形一条边所对的圆心角是360°÷4=90°，
正五边形一条边所对的圆心角是360°÷5=72°，
正六边形一条边所对的圆心角是360°÷6=60°，
∴一条边所对的圆心角最大的图形是正三角形.
随堂练习
2
已知圆的半径是2则该圆的内接正六边形的面积是(
)
C
A.3
B.9
C.18
D.36
解：连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
∵等边三角形的边长是2，
∴高为3，
∴等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积是18.
课堂小结
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
对接中考
1
以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(
)
A
A.
B.
C.
D.
解：半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为1，，，
又12+()2=()2，
所以由这三个边心距为三边构成的三角形为直角三角形，
则该三角形的面积为
.
对接中考
2
一个上、下底面为全等正六边形的礼盒，高为10
cm，上、下底面正六边形的边长为12
cm，如果用彩色胶带按如图(1)所示的方式包扎礼盒，所需胶带的长度至少为
cm.
图(1)
图(2)
72+60
解：胶带包括上、下底面各3段，侧面6段，上、下底面中的每段胶带的长度至少都等于图(2)中OC长度的2倍.
由该六边形是正六边形，易得OB=AB=12cm，BC=
AB=
6cm.
在Rt?OBC中，由勾股定理得OC=
=6cm，
∴上、下底面每段胶带的长至少为12
cm，
∴所需胶带的长度至少为6×12
+6×10=(72+60)(cm).