人教版九年级数学上册24.4弧长和扇形面积（1）课件（30张PPT)

(共30张PPT)
24.4
第1课时
弧长和扇形面积
知识回顾
回忆小学学习的圆的知识，半径为
r
的圆，周长是多少？面积是多少？
周长：或.
面积：.
学习目标
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
课堂导入
如图，在运动会的4×100米比赛中，甲和乙分别在第1跑道和第2跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
知识点1
新知探究
(1)
圆心角是180°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的_____.
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的______.
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
，因此它所对的弧长是圆周长的______.
下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几?
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
在半径为
R
的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C
=
2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是
，即
.
于是n°的圆心角所对的弧长为
.
知识点1
新知探究
在弧长公式中，R，n，l
三个量，可以做到知二求一：，
.
扇形的周长公式：C扇形
=
2R
.
知识点1
新知探究
1.题目中若没有写明精确度，可用含
π
的代数式表示弧长，如弧长为
3π，11π
等.
2.
公式中的n和180表示倍数关系，没有单位.
3.不要混淆弧长相等和弧相等，弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才是等弧.
知识点1
新知探究
例
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度L.(单位：mm，精确到1mm)
解：由弧长公式，可得弧AB的长
因此所要求的展直长度L≈2×700+1570=2970（mm）.
答：管道的展直长度约为2970mm．
l==500
跟踪训练
新知探究
已知扇形的圆心角为120°，弧长为10π
cm，则该扇形的半径为
cm.
15
解：扇形的弧长公式是
＝?10π，
解得：R=15．
知识点2
新知探究
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，劣弧AB与半径OA，OB围成的图形记作扇形OAB；
优弧AB与半径OA，OB围成的图形记作扇形OACB.
知识点2
新知探究
下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢?
(1)
圆心角是180°，占整个周角的
，因此扇形面积是圆的面积的_____.
(2)
圆心角是90°，占整个周角的
，因此扇形面积是圆的面积的______.
(3)
圆心角是45°，占整个周角的
，因此扇形面积是圆的面积的______.
(4)
圆心角是n°，占整个周角的
，因此扇形面积是圆的面积的______.
O
R
180°
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
知识点2
新知探究
扇形面积公式
半径为r的圆中，圆心角为n°的扇形的面积
扇形面积公式中的“n”和弧长公式中的“n”一样，表示“1°”的圆心角的倍数，参与计算时不带单位.
知识点2
新知探究
圆心角大小不变时，对应的扇形面积与半径有关，半径越长，面积越大.
圆的半径不变时，扇形面积与圆心角有关，
圆心角越大，面积越大.
扇形的面积与哪些因素有关？
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
●
扇形的面积与圆心角、半径有关.
知识点2
新知探究
扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
A
B
O
O
知识点2
新知探究
扇形的面积公式与什么公式类似？
知识点2
新知探究
(1)
截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
例
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6
m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(2)
水面高0.3
m是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段DC.过点O作OD垂直于AB并交圆O于C.
知识点2
新知探究
例
如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6
m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（精确到0.01m）
(3)
要求图中阴影部分的面积，应该怎么算？
阴影部分面积=扇形OAB的面积-
△OAB的面积
知识点2
新知探究
解：如图，连接OA,OB,过点O作弦AB的垂线，垂足为D,交于点C,连接AC.
∵
OC＝0.6,
DC＝0.3,
∴
OD＝OC-
DC＝0.3，
∴
OD＝DC.
又
AD
⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，
∴AC＝AO＝OC.
　从而
∠AOD＝60?,
∠AOB=120?.
有水部分的面积：S＝S扇形OAB
-
SΔOAB
知识点2
新知探究
弓形的面积可以看成是扇形面积和三角形面积的和或差，实际应用时，可根据具体图形选用对应的公式：
1.如图(1)，弓形ADB的面积小于圆面积的一半，此时
S弓形
=
S扇形OAB
-
S△OAB
.
2.如图(2)，弓形ADB的面积大于圆面积的一半，此时
S弓形
=
S扇形OADB
+S△OAB
.
3.如图(3)，弓形ADB的面积等于圆面积的一半，此时
S弓形
=
S圆
.
由弦及弦所对的弧组成的图形叫做弓形.
跟踪训练
新知探究
(1)
已知扇形的半径为6
cm,面积为6π
cm2，则该扇形的圆心角的度数为
.
(2)
（2018?哈尔滨中考）一个扇形的圆心角为135°
，弧长为3π
cm，则此扇形的面积是
cm2.
60°
6π
解：(1)
设扇形的圆心角是
n°，
根据扇形的面积公式得：6π=
，解得
n=60．
(2)
设扇形的半径为
R，
∵扇形的圆心角为135°，弧长为3π
cm，∴=3π，
解得
R=4，∴此扇形的面积为=6π(cm2).
随堂练习
1
如图，实线部分是由两条等弧组成的游泳池，且这两条弧所在的圆的半径均为15
m.若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是
m.
40π
解：如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1，DO2，
∵O1O2=CO2=CO1=15m，
∴∠CO2O1=
∠CO1O2
=
60°，
同理，
∠CO1D=
∠CO2D=120°，
∴游泳池的周长为2×=2×=40π(m)．
随堂练习
2
如图，AC是汽车挡风玻璃前的雨刷器，如果AO=45
cm，
CO=5
cm，当AC绕点O顺时针旋转90°时，则雨刷器AC扫过的区城(阴影部分)的面积为
cm2(结果保留π).
500π
解：∵OA=OA′，OC=OC′，AC=A′C′，
∴△AOC≌△A′OC′，
∴雨刷器AC扫过的面积=扇形AOA′的面积-扇形COC′的面积
=×π
=500π(cm2).
随堂练习
2
在求解阴影部分面积的问题中，如果所求的阴影部分是不规则图形，可以采取各种方法，将阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差的形式.与圆有关的阴影部分面积的问题，往往需要利用扇形面积公式或弓形面积的计算公式.
不规则图形面积的求解方法
随堂练习
3
如图，以BC为直径的⊙O与△ABC的另两边分别相交于点D,E.若∠A=60°,BC=4,则图中阴影部分的面积为______
(结果保留
π).
解：∵△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵△OBD，△OCE是等腰三角形，
∴∠BDO+∠CEO=∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BOD+∠COE=360°-(∠BDO+∠CEO)-(∠ABC+∠ACB)=360°-120°-
120°=120°，
∵BC=4，∴OB=OC=2，∴S阴影==
π．
课堂小结
弧长
计算公式：
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
S弓形=S扇形-S三角形
S弓形=S扇形+S三角形
对接中考
1
如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是(
)
A.
π-1
B.π-2
C.π-2
D.π-1
D
解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，∴CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分=S扇形ACB-S△ADC=
π×22-
×()2=π-1．
对接中考
2
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线
l
上，将矩形ABCD沿直线
l
作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为
.
解：点A的运动路径如图所示.∵四边形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，对角线AC(BD)=5．
∵根据旋转的性质知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，
∴点A第一次翻滚到点A′位置时，则点A经过的路线长为
．
对接中考
2
同理，点A′翻滚到点A″位置时，则点A经过的路线长为
=2π．
点A″翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为
．
则当点A第一次翻滚到点A1位置时，则点A经过的路线长为
+2π+
=6π．
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，边CD在直线
l
上，将矩形ABCD沿直线
l
作无滑动翻滚，当点A第一次翻滚到点A1的位置时，则点A经过的路线长为
.
6π
如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1)
求证：DP是⊙O的切线；
(2)
若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.
解：(1)
如图，连接OD.
因为∠ACD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,
所以∠DOP=180°-120°=60°.
因为∠APD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,
所以OD⊥DP.
又OD为⊙O的半径，所以DP是⊙O的切线.
对接中考
3
对接中考
3
(2)因为∠APD=30°,∠ODP=90°
,
OD=3,
所以OP=2OD=6,
所以DP
=
,
所以S阴影=S△ODP-S扇形ODB=.
如图，AB为⊙O的直径，AC,DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°.
(1)
求证：DP是⊙O的切线；
(2)
若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积.