第4课时
等边三角形的判定（含30°角的直角三角形的性质）
【教学目标】
【知识与技能】
理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30°角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.
【过程与方法】
经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维.
【情感态度】
在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.
【教学重点】
1．学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题；
2．掌握含30°角的直角三角形的性质，并学会运用该结论进行相关的计算和证明．
【教学难点】
1、学习并掌握等边三角形的判定方法，能够运用等边三角形的性质和判定解决问题
2、了解反证法的基本证明思路，并能简单应用.
【教学过程】
一、情境导入
问题1：观察下面图形：
师：等腰三角形中有一种特殊的三角形，你知道是什么三角形吗？
生：等边三角形．
师：对，等边三角形具有和谐的对称美．今天我们来学习等边三角形，引出课题．
问题2：
1.等腰三角形的性质和判定定理是什么？
2.等边三角形作为一种特殊的等腰三角形，具有哪些性质呢？又如何判别一个三角形是等边三角形呢？
二、合作探究
探究点一：等边三角形的判定
【类型一】
三边都相等的三角形是等边三角形
已知a，b，c是△ABC的三边，且满足关系式a2＋c2＝2ab＋2bc－2b2，试说明△ABC是等边三角形．
解析：把已知的关系式化为两个完全平方的和等于0的形式求解．
解：移项得a2＋c2－2ab－2bc＋2b2＝0，
∴a2＋b2－2ab＋c2－2bc＋b2＝0，
∴(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0且b－c＝0，即a＝b且b＝c，
∴a＝b＝c.
故△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)几个非负数的和为零，那么每一个非负数都等于零；(2)有两边相等的三角形是等腰三角形，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
【类型二】
三个角都是60°的三角形是等边三角形
如图，在等边△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，且OD∥AB，OE∥AC.试判定△ODE的形状，并说明你的理由．
解析：根据平行线的性质及等边三角形的性质可得∠ODE＝∠OED＝60°，再根据三角形内角和定理得∠DOE＝60°，从而可得△ODE是等边三角形．
解：△ODE是等边三角形，
理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE＝∠ABC＝60°，∠OED＝∠ACB＝60°.
∴∠DOE＝180°－∠ODE－∠OED＝180°－60°－60°＝60°.
∴∠DOE＝∠ODE＝∠OED＝60°.
∴△ODE是等边三角形．
方法总结：证明一个三角形是等边三角形时，如果较易求出角的度数，那么就可以分别求出这个三角形的三个角都等于60°，从而判定这个三角形是等边三角形．
【类型三】
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
如图，在△EBD中，EB＝ED，点C在BD上，CE＝CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，AB＝BC.试判断△ABC的形状，并证明你的结论．
解析：由于EB＝ED，CE＝CD，根据等边对等角及三角形外角性质，可求得∠CBE＝∠ECB.再由BE⊥CE，根据三角形内角和定理，可求得∠ECB＝60°.又∵AB＝BC，从而得出△ABC是等边三角形．
解：△ABC是等边三角形．
理由如下：∵CE＝CD，∴∠CED＝∠D.
又∵∠ECB＝∠CED＋∠D.∴∠ECB＝2∠D.
∵BE＝DE，∴∠CBE＝∠D.∴∠ECB＝2∠CBE.∴∠CBE＝∠ECB.
∵BE⊥CE，∴∠CEB＝90°.
又∵∠ECB＋∠CBE＋∠CEB＝180°，∴∠ECB＋∠ECB＋90°＝180°，∴∠ECB＝60°.
又∵AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．
方法总结：(1)已知一个三角形中两边相等，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另一边也与这两边相等；②证明这个三角形中有一个角等于60°.(2)已知一个三角形中有一个角等于60°，要证明这个三角形是等边三角形，有两种思考方法：①证明另外两个角也等于60°；②证明这个三角形中有两边相等．
探究点二：含30°角的直角三角形的性质
【类型一】
利用含30°角的直角三角形的性质求线段长
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的长度是( )
A．3cm
B．6cm
C．9cm
D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
方法总结：运用含30°角的直角三角形的性质求线段长时，要分清线段所在的直角三角形．
【类型二】
与角平分线有关的综合运用
如图，∠AOB＝30°，OP平分∠AOB，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，则PD等于( )
A．3
B．2
C．1.5
D．1
解析：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝PC＝×3＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∠OEP＝∠ODP，∴△OPE≌△ODP，∴PD＝PE＝1.5.故选C.
方法总结：含30°角的直角三角形与角平分线的综合运用时，关键是寻找或作辅助线构造含30°角的直角三角形．
【类型三】
利用含30°角的直角三角形解决实际问题
某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知AC＝50m，AB＝40m，∠BAC＝150°，这种草皮每平方米的售价是a元，求购买这种草皮至少需要多少元？
解析：作BD⊥CA交CA的延长线于点D.在Rt△ABD中，利用30°角所对的直角边是斜边的一半求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．
解：如图所示，过点B作BD⊥CA交CA的延长线于点D.∵∠BAC＝150°，∴∠DAB＝30°.∵AB＝40m，∴BD＝AB＝20m，∴S△ABC＝×50×20＝500(m2)．∵这种草皮每平方米a元，∴一共需要500a元．
方法总结：解此题的关键在于作出CA边上的高，根据相关的性质求BD的长，正确的计算出△ABC的面积．
当堂检测
1.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AB．求证：∠BAC=30°
证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD.
∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°．
又∵AC=AC．
∴△ACB≌△ACD(SAS)．
∴AB=AD．
∵CD=BC，∴BC=BD．
又∵BC=AB，∴AB=BD．
∴AB=AD=BD，
即△ABD是等边三角形．
∴∠B=60°．
在Rt△ABC中，∠BAC=30°．
2.如图，△ABC是等边三角形，BD
=
CE，∠1
=∠2.求证：△ADE是等边三角形
证明：∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC.
在△ABD与△ACE中,AB=AC,∠1
=∠2,BD
=
CE,
∴△ABD≌△ACE（SAS）.
∴∠EAD=∠BAC=60°,EA=DA.
∴△ADE是等边三角形(有一角是60°的等腰三角形是等边三角形).
3.如图，在Rt△ABC中，∠B
=
30°，BD
=
AD，BD
=
12，求DC的长.
解：在Rt△ABC，∠B
=
30°
∵BD
=
AD
∴∠B
=∠BAD=
30°
∴∠ADC=60°.
∵∠C=90°,
∴∠DAC=30°.
在Rt△ADC中,∠DAC=30°
∴CD=AD(在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半).
∵BD
=
AD=12,
∴CD=6.
四、板书设计
1．等边三角形的判定
三边都相等的三角形是等边三角形；
三个角都是60°的三角形是等边三角形；
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
2．含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
五、教学反思
本节课借助于教学活动的展开，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，有助于学生思维能力的提高．不足之处是部分学生综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教学和作业中进一步的训练得以提高.通过反复练习，学生对本节课的知识掌握的较好，就是几何过程不够严密，有待加强.第3课时
等腰三角形的判定及反证法
【教学目标】
【知识与技能】
探索等腰三角形判定定理,掌握反证法.
【过程与方法】
理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
【情感态度】
培养学生的逆向思维能力.
【教学重点】
1．探索并理解等腰三角形的判定定理，会运用其进行简单地证明．
2．了解反证法的基本证明思路，并能简单的运用．
【教学难点】
了解反证法的基本证明思路，并能简单应用
【教学过程】
一、情境导入
问题1：某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(A点)为目标，然后在这棵树的正南方南岸B点插一小旗作标志，沿南偏东60度方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30度，这时，地质专家测得BC的长度是50米，就可知河流宽度是50米．
同学们，你们想知道这样估测河流宽度的根据是什么吗？他是怎么知道BC的长度是等于河流宽度的呢？今天我们就要学习等腰三角形的判定．
问题2：等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？
问题3：我们是如何证明上述定理的？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形的判定(等角对等边)
【类型一】
确定等腰三角形的个数
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有( )
A．5个
B．4个
C．3个
D．2个
解析：共有5个．(1)∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；(2)∵BD、CE分别是∠ABC、∠BCD的角平分线，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.∵△ABC是等腰三角形，∴∠EBC＝∠ECB，∴△BCE是等腰三角形；(3)∵∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝(180°－36°)＝72°.又∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠ABC＝36°＝∠A，∴△ABD是等腰三角形；同理可证△CDE和△BCD也是等腰三角形．故选A.
方法总结：确定等腰三角形的个数要先找出相等的边和相等的角，然后确定等腰三角形，再按顺序不重不漏地数出等腰三角形的个数．
【类型二】
判定一个三角形是等腰三角形
如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
解析：根据直角三角形两锐角互余求得∠ABE＝∠ACD，然后根据三角形外角的性质求得∠CEF＝∠CFE，根据等角对等边求得CE＝CF，从而求得△CEF是等腰三角形．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD是AB边上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACD.∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE＝∠EAC，∴∠B＋∠BAE＝∠AEC，∠ACD＋∠EAC＝∠CFE，即∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．
【类型三】
等腰三角形性质和判定的综合运用
如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE.
(1)求证：△DEF是等腰三角形；
(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．
解析：(1)根据等边对等角可得∠B＝∠C，利用“边角边”证明△BDE和△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝EF，再根据等腰三角形的定义证明即可；(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BDE＝∠CEF，然后求出∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE，再利用三角形的内角和定理和平角的定义求出∠B＝∠DEF.
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△BDE和△CEF中，∵∴△BDE≌△CEF(SAS)，∴DE＝EF，∴△DEF是等腰三角形；
(2)解：∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠BED＋∠CEF＝∠BED＋∠BDE.∵∠B＋∠BDE＝∠DEF＋∠CEF，∴∠B＝∠DEF.∵∠A＝50°，AB＝AC，∴∠B＝×(180°－50°)＝65°，∴∠DEF＝65°.
方法总结：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．
探究点二：反证法
【类型一】
假设
用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
解析：用反证法证明命题时，应先假设结论不成立，所以可先假设三角形中每一个内角都不小于或等于60°，即都大于60°.故选C.
方法总结：在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，必须把它全部否定．
【类型二】
用反证法证明一个命题
求证：△ABC中不能有两个钝角．
解析：用反证法证明，假设△ABC中能有两个钝角，得出的结论与三角形的内角和定理相矛盾，所以原命题正确．
证明：假设△ABC中能有两个钝角，即∠A＜90°，∠B＞90°，∠C＞90°，
所以∠A＋∠B＋∠C＞180°，与三角形的内角和为180°矛盾，所以假设不成立，因此原命题正确，即△ABC中不能有两个钝角．
方法总结：本题结合三角形内角和定理考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况．如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
课堂针对性练习
1.已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC且∠1=∠2．求证：AB=AC．
证明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)，
∠2=∠C(两直线平行，内错角相等)．
又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C．
∴AB=AC(等角对等边)．
2.如图，BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，且MN∥BC，设AB=12，AC=18，求△AMN的周长.
解：∵BD平分∠CBA，CD平分∠ACB，
∴∠MBD=∠DBC,∠NCD=∠BCD.
∵MN∥BC,
∴∠MDB=∠DBC,∠NDC=∠BCD.
∴∠MDB=∠MBD,∠NDC=∠NCD.
∴MB=MD,NC=ND.
∴C△AMN=AM+AN+MN=AM+AN+MD+ND=AM+AN+MB+NC
=(AM+MB)+(AN+NC)
=AB+AC=30.
3.如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD
=
CE.求证：△ABC是等腰三角形.
解：∵S△ABC=(AB·CE)=(AC·BD)且BD
=
CE，
∴AB=AC.
∴△ABC是等腰三角形.
4.如图，在△ABC中，AB
=
AC，DE∥BC，求证：△ADE是等腰三角形.
证明：∵AB
=
AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠B=∠E，∠D=∠C.
∴∠D=∠E.
∴△ADE是等腰三角形.
5.垂直于同一条直线的两条直线平行.
证明：假设a、b
不平行，那么a、b
相交
∵a⊥c，b⊥c
∴∠1=900，∠2=900
∴
∠1+∠2=180°
而a、b相交，则∠1+∠2≠180°与∠1+∠2=180°相矛盾.
∴假设不成立.
即：垂直于同一条直线的两条直线平行
四、板书设计
1．等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)．
2．反证法
(1)假设结论不成立；
(2)从假设出发推出矛盾；
(3)假设不成立，则结论成立．
五、教学反思
解决几何证明题时，应结合图形，联想我们已学过的定义、公理、定理等知识，寻找结论成立所需要的条件．要特别注意的是，不要遗漏题目中的已知条件．解题时学会分析，可以采用执果索因(从结论出发，探寻结论成立所需的条件)的方法.通过学生的练习，发现学生对等腰三角形的判定定理掌握的较好，而用反证法证明定理的应用掌握不够好，应在这方面多加练习讲解.第2课时
等边三角形的性质
【教学目标】
【知识与技能】
进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式，体会证明的必要性
【过程与方法】
把等腰三角形与等边三角形的性质进行比较，体会等腰三角形和等边三角形的相同之处和不同之处.
【情感态度】
体验数学活动中的探索与创造，感受数学的严谨性
【教学重点】
1．进一步学习等腰三角形的相关性质，了解等腰三角形两底角的角平分线(两腰上的高，中线)的性质；
2．学习等边三角形的性质，并能够运用其解决问题．
【教学难点】
利用等腰三角形的性质证明等边三角形的性质，并且会用等边三角形的性质解决相关问题．
【教学过程】
一、情境导入
问题1：我们欣赏下列两个建筑物(如图)，图中的三角形是什么样的特殊三角形？这样的三角形我们是怎样定义的，有什么性质？
问题2：我们在回忆上节课等腰三角形性质的基础上，提出问题：在等腰三角形中作出一些线段(如角平分线、中线、高等)，你能发现其中一些相等的线段吗？
二、合作探究
探究点一：等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质
如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，求证：DE∥BC.
证明：因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因为CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，所以∠AEB＝∠ADC＝90°，所以∠ABE＝∠ACD，所以∠ABC－∠ABE＝∠ACB－∠ACD，所以∠EBC＝∠DCB.在△BEC与△CDB中，所以△BEC≌△CDB，所以BD＝CE，所以AB－BD＝AC－CE，即AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED.又因为∠A是△ADE和△ABC的顶角，所以∠ADE＝∠ABC，所以DE∥BC.
方法总结：等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的中线相等，两腰上的高相等．
探究点二：等边三角形的相关性质
【类型一】
利用等边三角形的性质求角度
如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE.若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解析：因为△ABC三个内角为60°，∠ABE＝40°，求出∠EBC的度数，因为BE＝DE，所以得到∠EBC＝∠D，求出∠D的度数，利用外角性质即可求出∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°，∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
方法总结：等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常常应用在求三角形角度的问题上，所以必须熟练掌握．
【类型二】
利用等边三角形的性质证明线段相等
如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：BM＝EM.
解析：要证BM＝EM，由题意证△BDM≌△EDM即可．
证明：连接BD，∵在等边△ABC中，D是AC的中点，∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°.∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝∠CDE＋∠E，∴∠E＝30°，∴∠DBC＝∠E＝30°.∵DM⊥BC，∴∠DMB＝∠DME＝90°，在△DMB和△DME中，∴△DME≌△DMB.∴BM＝EM.
方法总结：证明线段相等可利用三角形全等得到．还应明白等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等腰三角形的性质完全适合等边三角形．
【类型三】
等边三角形的性质与全等三角形的综合运用
△ABC为正三角形，点M是边BC上任意一点，点N是边CA上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，求∠BQM的度数．
解析：先根据已知条件利用SAS判定△ABM≌△BCN，再根据全等三角形的性质求得∠AQN＝∠ABC＝60°.
解：∵△ABC为正三角形，∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.在△AMB和△BNC中，∵∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
方法总结：等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质探究三角形全等．
课堂针对性练习
1.如图,已知△ABC和△BDE都是等边三角形.求证:AE=CD.
证明：∵△ABC和△BDE都是等边三角形.
∴∠ABE=∠CBD=60°,
AB=CB,
BE=BD.
在△ABE与△CBD中,
AB=CB,
∠ABE=∠CBD,
BE=BD.
∴△ABE≌△CBD(SAS).
∴AE=CD.
2.如图，△ABC中，AB=AC，E在CA的延长线上，且ED⊥BC于D，求证：AE=AF
证明：∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵ED⊥BC,
∴∠B+∠BFD=90°,
∠C+∠E=90°,
∵∠BFD=∠EFA,
∴∠B+∠EFA=90°,
∵∠C+∠E=90°,
∠B=∠C,
∴∠EFA=∠E,
∴AE=AF.
3.如图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：∠ABC的度数.
解：∵AD=DC，
∴∠ACD=∠A=20°,
∵∠ACD∶∠BCD=2∶3,
∴∠BCD=30°,
∴∠ACB=50°,
∴∠ABC=110°.
四、板书设计
1．等腰三角形两底角的平分线(两腰上的高、中线)的相关性质
等腰三角形两底角的平分线相等；
等腰三角形两腰上的高相等；
等腰三角形两腰上的中线相等．
2．等边三角形的性质
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°.
五、教学反思
本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形．学习等边三角形的定义、性质．让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步培养空间观念，锻炼思维能力．让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和创新意识.
在探究时，对学生探究的结果予以汇总、点评，鼓励学生在自己做题目的时候也要多思多想，并要求学生对猜测的结果给出证明.三角形的证明
1.1
等腰三角形
第1课时
全等三角形和等腰三角形的性质
【教学目标】
【知识与技能】
能够借助数学符号语言利用综合法证明等腰三角形的性质定理.
【过程与方法】
经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力.
【情感态度】
启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系.
【教学重点】
1、理解并掌握等腰三角形的性质定理及推论，能够运用其解决简单的几何问题．
2、探索证明等腰三角形性质定理的思路与方法，掌握证明的基本要求和方法.
【教学难点】
明确推理证明的基本要求,如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等.
【教学过程】
一、情境导入
问题1：如图所示，把一张长方形的纸按照图中虚线对折并减去阴影部分，再把它展开得到的△ABC有什么特点？
问题2：请学生回忆并整理已经学过的8条基本事实中的5条：
1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行；
2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等；
3.两边夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）；
4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）；
5.三边对应相等的两个三角形全等（SSS）.
二、合作探究
探究点一：全等三角形的判定和性质
【类型一】
全等三角形的判定
如图，已知∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是( )
A．BD＝CD
B．AB＝AC
C．∠B＝∠C
D．∠BAD＝∠CAD
解析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．A.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若BD＝CD，则△ABD≌△ACD(SAS)；B.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若AB＝AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；C.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠B＝∠C，则△ABD≌△ACD(AAS)；D.∵∠1＝∠2，AD为公共边，若∠BAD＝∠CAD，则△ABD≌△ACD(ASA)；故选B.
方法总结：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS.要注意AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
【类型二】
全等三角形的性质
如图，△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，那么下列结论错误的是( )
A．∠1＝∠2
B．AC＝CA
C．∠D＝∠B
D．AC＝BC
解析：由△ABC≌△CDA，并且AB＝CD，AC和CA是公共边，可知∠1和∠2，∠D和∠B是对应角．全等三角形的对应角相等，对应边相等，因而前三个选项一定正确．AC和BC不是对应边，不一定相等．∵△ABC≌△CDA，AB＝CD，∴∠1和∠2，∠D和∠B是对应角，∴∠1＝∠2，∠D＝∠B，∴AC和CA是对应边，而不是BC，∴A、B、C正确，错误的结论是D.故选D.
方法总结：本题主要考查了全等三角形的性质；根据已知条件正确确定对应边、对应角是解决本题的关键．
探究点二：等边对等角
【类型一】
运用“等边对等角”求角的度数
如图，AB＝AC＝AD，若∠BAD＝80°，则∠BCD＝( )
A．80°
B．100°
C．140°
D．160°
解析：先根据已知和四边形的内角和为360°，可求∠B＋∠BCD＋∠D的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，从而得到∠BCD的值．∵∠BAD＝80°，∴∠B＋∠BCD＋∠D＝280°.∵AB＝AC＝AD，∴∠B＝∠ACB，∠ACD＝∠D，∴∠BCD＝280°÷2＝140°，故选C.
方法总结：求角的度数时，①在等腰三角形中，一定要考虑三角形内角和定理；②有平行线时，要考虑平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补；③两条相交直线中，对顶角相等，互为邻补角的两角之和等于180°.
【类型二】
分类讨论思想在等腰三角形求角度中的运用
等腰三角形的一个角等于30°，求它的顶角的度数．
解析：本题可根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解，由于本题中没有明确30°角是顶角还是底角，因此要分类讨论．
解：①当底角是30°时，顶角的度数为180°－2×30°＝120°；
②顶角即为30°.
因此等腰三角形的顶角的度数为30°或120°.
方法总结：已知的一个锐角可以是等腰三角形的顶角，也可以是底角；一个钝角只能是等腰三角形的顶角．分类讨论是正确解答本题的关键．
探究点三：三线合一
【类型一】
利用等腰三角形“三线合一”进行计算
如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D，∠ADC＝125°.求∠ACB和∠BAC的度数．
解析：根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC，再求出∠CDE，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠DCE，根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等列式进行计算即可求出∠BAC.
解：∵AB＝AC，AE平分∠BAC，∴AE⊥BC.∵∠ADC＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.又∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝2∠DCE＝70°.又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180－(∠B＋∠ACB)＝40°.
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”的性质进行计算，有两种类型：一是求边长，求边长时应利用等腰三角形的底边上的中线与其他两线互相重合；二是求角度的大小，求角度时，应利用等腰三角形的顶角的平分线或底边上的高与其他两线互相重合．
【类型二】
利用等腰三角形“三线合一”进行证明
如图，△ABC中，AB＝AC，D为AC上任意一点，延长BA到E使得AE＝AD，连接DE，求证：DE⊥BC.
解析：作AF∥DE，交BC于点F.利用等边对等角及平行线的性质证明∠BAF＝∠FAC.在△ABC中由“三线合一”得AF⊥BC.再结合AF∥DE可得出结论．
证明：过点A作AF∥DE，交BC于点F.
∵AE＝AD，∴∠E＝∠ADE.
∵AF∥DE，∴∠E＝∠BAF，∠FAC＝∠ADE.
∴∠BAF＝∠FAC.
又∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
∵AF∥DE，∴DE⊥BC.
方法总结：利用等腰三角形“三线合一”得出结论时，先必须已知一个条件，这个条件可以是等腰三角形底边上的高，可以是底边上的中线，也可以是顶角的平分线．解题时，一般要用到其中的两条线互相重合．
当堂检测
1.在△ABC中，AB＝AC，
∠A＝50°，求∠B、∠C的度数
分析：
根据等腰三角形的性质：两底角相等，结合三角形的内角和等于
180°来计算.
解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠C.（等边对等角）
∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝50°,
∴∠B＝∠C＝65°.
2.已知在△ABC中，AB＝AC，直线AE交BC于点D，O是AE上一动点但不与A重合，且OB＝OC，试猜想AE与BC、BD与CD的关系，并说明你的猜想的理由.
猜想：AE⊥BC，BD＝CD.
证明：∵AB＝AC，OB＝OC，AO＝AO，
∴△ABO≌△ACO（SSS）.
∴∠BAO＝∠CAO.
∴AE为∠BAC的平分线.
∴AE⊥BC，BD=CD.
3.如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：（1）∠D=∠B；（2）AE∥CF．
证明：（1）∵在△ADE与△CBF中,AD=CB,AE=CF,DE=BF,
∴△ADE≌△CBF（SSS）.
∴∠D=∠B
（2）∵△ADE≌△CBF,
∴∠AED=∠CFB,
∴∠AEO=∠CFO.
∵在△AOE与△COF中,
∠AEO=∠CFO,
∴AE∥CF.
4.如图，在△ABC中，AB
=
AC，AD⊥BC,∠BAC
=
100°.求∠1、∠3、∠B的度数.
解：∵在△ABC中，AB
=
AC，AD⊥BC,
∴∠BAD=∠CAD,∴∠1=∠BAC=50°.
又∵AD⊥BC,∴∠3=90°.
在△ABC中,AB
=
AC,∴∠B=∠C=40°.
四、板书设计
1．全等三角形的判定和性质
2．等腰三角形的性质：等边对等角
3．三线合一：在等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的平分线中，只要知道其中一个条件，就能得出另外的两个结论．
五、教学反思
本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，有效地增强了学生的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的．不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高.
在本节课的教学中，采用了小组合作的方式教学，在小组合作的基础上教师通过分析、提问，和学生一起完成以上几个性质定理的证明，注意最好让两至三个学生板演证明,其余学生注意其证明过程的书写是否规范.其后，教师作补充强调.
