教
案
教学基本信息
课题
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名：
普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2
（A版）
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2007
年
1
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.通过对定义复数加法法则的背景的分析，体会规定复数加法法则的合理性，发展逻辑推理素养.
2.明确复数加法法则和减法法则的具体内容，经历应用法则解决复数加、减运算问题的过程，在应用法则的过程中，发展数学运算素养.
3.经历复数代数形式的减法定义和复数加、减法几何意义的形成过程，体验类比、转化以及数形结合的方法，提高分析和解决问题以及知识迁移的能力；发展逻辑推理素养.
教学重点：复数代数形式的加、减运算法则；复数加、减运算的几何意义.
教学难点：复数加法的几何意义的形成过程.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
一、创设情境，引入新知
将实数集扩充到复数集的时候，是希望数集扩充之后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与实数集中所规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法还满足分配律，那么如何“合理地”规定复数的加法法则呢？
设是两个任意的复数，其中是实数，将代入.
由于希望加法的结合律成立，因此可以将与结合，结合.同时，还希望乘法对加法满足分配律，因此可得
.
介绍复数加法法则的引入背景，帮助学生理解复数加法法则的合理性.
新课
二、复数的加法法则
我们规定，复数的加法法则如下：，是任意两个复数，
那么.
教师进一步解释：实际上，两个复数相加，也就是它们的实部与实部相加，即，作为的实部，虚部与虚部相加，即，作为的虚部.也就是，两个复数相加的时候，实部与实部相加为实部，虚部与虚部相加为虚部.
由运算结果可以发现：两个复数的和仍然是一个复数，就像两个实数相加，结果仍是实数一样.
注意：的运算结果仍然要写成的形式，实部在前，虚部在后.
特殊情况:时，复数的加法法则与实数的加法法则一致，这也说明了复数系与实数系中的加法运算协调一致.
实际上，两个复数的加法运算，类似于以前学习过的多项式的运算.如果把复数中的实部与虚部看做常数，把虚数单位看做是“变元”，那么就可以把复数看成是一个“一次二项式”，这样，两个复数相加就与两个一次二项式相加是一致的，也就是“合并同类项”.所以两个复数相加与两个多项式相加类似，都可以看成是“合并同类项”.这样的一种类比，对理解复数加法法则是有一定帮助的.
三、复数加法的运算律
问题1
在复数集中规定的加法运算满足什么运算律呢？
在定义复数加法法则时，是在希望复数的加法满足结合律等运算律的情况下进行定义的，现在已经定义了复数的加法法则，那么能否对其运算律给予严谨的证明呢？
类比实数的加法，满足交换律和结合律.
首先来证明复数的加法满足交换律.
设是两个任意复数，求证：.
证明：，那么
.
同理，
，根据复数相等的定义，可知也就是复数的加法满足交换律.
下面对复数加法的结合律进行证明.
设，是三个任意的复数，
求证：
证明：等式左边为
等式右边为
根据复数相等定义可知：
也就是复数的加法满足结合律.
四、复数加法的几何意义
问题2
复数与复平面内的向量有一一对应关系，也学习了向量加法的几何意义，那么由此出发，复数加法的几何意义是什么呢？
设复数，对应的向量记为，坐标为，复数，对应的向量记为,坐标为，这一步是将复数对应到向量；由向量加法的坐标运算，向量+的坐标为,这一步是根据向量加法的坐标运算得到的；可以发现这个坐标对应的复数是，最后这一步又将向量对应回复数.
这就是复数加法的几何意义.
五、复数的减法
问题3
类比实数的减法，如何理解复数的减法呢？
类比实数集中减法的意义，我们规定：复数的减法就是加法的逆运算.
即把满足的复数叫做复数减去复数的差，记作.
然后计算（这个等式的左边，两个复数的和仍然是一个复数，根据复数加法法则，左边等于,再根据复数相等的定义，移项整理后可得：
；从而得到复数的减法法则：.
即两个复数相减，是实部与实部相减，作为实部，虚部与虚部相减，作为虚部.与复数的加法一样，两个复数相减，也是类似于两个多项式相减，可以看成是“合并同类项”.
事实上，在这个过程中，应用的是待定系数法，这也是确定复数的一个一般方法.
注意：复数的差仍然是一个复数，运算结果要写成的形式.
六、复数减法的几何意义
问题4
类比复数加法的几何意义，能说出复数减法的几何意义吗？
类比复数加法的几何意义的探究过程，设复数，对应的向量记为，坐标为，复数，对应的向量记为,坐标为，由向量减法的坐标运算，向量-的坐标为,可以发现这个坐标对应的复数就是.
这就是复数减法的几何意义.
回顾一下向量加法和减法的几何意义的探究过程，首先是将复数对应到向量，再利用向量的加法运算和减法运算，得到向量的和与差的
坐标表示，最终再将坐标对应回复数.进一步体会复数的几何意义.
明确复数加法法则的具体内容.
强调复数的运算结果是一个复数，并强调结果的实部与虚部分别是什么.
与多项式运算做类比，帮助学生理解和记忆复数的加法法则.
运用复数的加法法则，证明复数的加法满足交换律，在这一过程中，既熟悉了之前定义的复数的加法法则，又能体会数学的严谨性.
运用复数的加法法则，证明复数的加法满足结合律，再次熟悉复数的加法法则，并体会数学的严谨性.
引入复数加法的几何意义，探究思路是复数对应到向量，利用向量加法的坐标运算，再将向量对应到复数，体会知识间相互联系，发展逻辑推理素养.
类比实数的减法，引入复数的减法定义，体会类比的作用.
利用待定系数法和复数相等的定义，探究复数减法法则，指明待定系数法是确定复数的一个基本方法，体会知识间的联系.
对复数的减法法则：类似于两个多项式相减，可以看成是“合并同类项”，与复数加法法则的解释是一致的，体会知识和方法的前后一致性.
类比复数加法的几何意义，探究复数减法的几何意义.体会类比的方法.
对探究复数加法和减法的几何意义的过程，进行总结梳理，帮助学生理解体会数形结合、知识的迁移以及方法的前后一致性.
例题
例
计算.
解：原式
.
例
已知复数当实数为何值时，复数是实数？
解：
因为复数是实数,
所以
例
在复平面内，复数对应的向量分别为，其中是原点，求向量对应的复数.
解：向量对应的复数为，向量对应的复数为，根据向量的减法法则可得：,
由复数减法的几何意义可得对应复数，由，所以对应的复数为.
例
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点之间的距离.
解：两点之间的距离，也就是向量的模.根据复数减法的几何意义，向量的模即为复数.也就是
.
例
已知复数，求的最小值.
解：方法一：设复数，
将此式记作（1）式，因为,根据复数模的计算公式.将此式记作（2）式.将（2）式代入（1）式可得：
，令,并将其代入到中，计算整理：，该方程是有解的.
所以
解得.
.
联立方程组，可得，
即当时，有最小值.
方法二：
的几何意义就是单位圆上的动点与定点之间的距离.从图中可以得到，单位圆上的动点与定点之间的距离的最小值就是两点间的距离减去单位圆的半径.即图中的的长度.因此，我们可以得到.从图中可以得到此时复数所对应的点的坐标即为直线与单位圆在第三象限的交点，联立，可得，即当复数时，.
巩固复数加法和减法运算法则.
巩固复数加法和减法运算法则.
初步应用复数减法的几何意义.
体会复数减法几何意义的应用，也是进一步理解复数减法的几何意义.
复数加减法运算及其几何意义的综合应用，此种方法以计算为主，虽然计算量比较大，但是学生相对比较容易入手.
第二种方法从复数的几何意义和复数减法的几何意义出发，利用数形结合来解决，让学生充分体会几何意义的用法.
总结
通过本节课的学习，你有哪些收获？请你试着从知识和思想方法等方面来谈一谈.
知识方面：复数的加法法则、运算律及其几何意义；复数的减法法则及其几何意义.
思想方法方面，类比实数的减法和应用待定系数法，得到复数的减法法则，类比复数加法的几何意义，得到复数减法的几何意义.
对本节课的知识和方法进行小结，培养学生归纳总结的能力.
作业
作业1
1.计算
2.是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，求点对应的复数.
作业2
对本节课的知识进行梳理，并思考哪个知识最重要，最有用，需要注意的问题是什么？
巩固本节课所学知识.(共106张PPT)
复数代数形式的加、减运算及其几何意义
高二年级
数学
将实数集扩充到复数集时，我们希望数集扩充后，在复数集中规定的加法运算、乘法运算，与实数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律，那我们如何“合理地”规定复数的加法法则呢？
引入
设
是两个任意复数，
设
是两个任意复数，
设
是两个任意复数，
结合律
设
是两个任意复数，
结合律
分配律
我们规定，复数的加法法则如下：
我们规定，复数的加法法则如下：
设
是任意两个复数，那么
我们规定，复数的加法法则如下：
设
是任意两个复数，那么
两个复数的和仍然是一个复数．
我们规定，复数的加法法则如下：
设
是任意两个复数，那么
当
时，复数的加法法则与实数的加法法则一致．说明复数系与实数系中加法运算协调一致．
两个复数的加法运算，类似于我们学过的多项式的运算．
一、复数的加法运算
两个复数的加法运算，类似于我们学过的多项式的运算．
一、复数的加法运算
二、复数加法的运算律
问题1
在复数集中规定的加法运算满足什么运算律呢？
二、复数加法的运算律
问题1
在复数集中规定的加法运算满足什么运算律呢？
复数的加法运算满足交换律和结合律．
二、复数加法的运算律
二、复数加法的运算律
设
是两个任意复数，
求证：
．
二、复数加法的运算律
设
是两个任意复数，
求证：
．
证明：由
，那么
二、复数加法的运算律
设
是两个任意复数，
求证：
．
证明：由
，那么
二、复数加法的运算律
设
是两个任意复数，
求证：
．
证明：由
，那么
二、复数加法的运算律
设
是两个任意复数，
求证：
．
证明：由
，那么
因为
二、复数加法的运算律
设
是两个任意复数，
求证：
．
证明：由
，那么
因为
所以
二、复数加法的运算律
设
是两个任意复数，
求证：
．
证明：由
，那么
因为
所以
复数的加法满足交换律
二、复数加法的运算律
设
是三个任意复数，求证：
二、复数加法的运算律
设
是三个任意复数，求证：
证明：
二、复数加法的运算律
设
是三个任意复数，求证：
证明：
二、复数加法的运算律
设
是三个任意复数，求证：
因为
，
所以
.
证明：
二、复数加法的运算律
设
是三个任意复数，求证：
因为
，
所以
.
证明：
复数的加法满足结合律
问题2
复数与复平面内的向量有一一对应关系，我们讨论过向量加法的几何意义，那么由此出发，复数加法的几何意义是什么呢？
三、复数加法的几何意义
三、复数加法的几何意义
设
是任意两个复数，
三、复数加法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
Z2(c,d)
x
o
Z1(a,b)
Z
三、复数加法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
Z2(c,d)
x
o
Z1(a,b)
Z
复数对应到向量
三、复数加法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
Z2(c,d)
x
o
Z1(a,b)
Z
三、复数加法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
Z2(c,d)
x
o
Z1(a,b)
Z
向量的加法运算
三、复数加法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
Z2(c,d)
x
o
Z1(a,b)
Z
三、复数加法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
Z2(c,d)
x
o
Z1(a,b)
Z
向量对应到复数
四、复数的减法
问题3
类比实数的减法，如何理解复数的减法呢？
四、复数的减法
问题3
类比实数的减法，如何理解复数的减法呢？
四、复数的减法
复数的减法是加法的逆运算.
问题3
类比实数的减法，如何理解复数的减法呢？
四、复数的减法
复数的减法是加法的逆运算．
即把满足
的复数
叫做
复数
减去复数
的差，记作
.
四、复数的减法
即把满足
的复数
叫做
复数
减去复数
的差，记作
.
四、复数的减法
即把满足
的复数
叫做
复数
减去复数
的差，记作
.
四、复数的减法
即把满足
的复数
叫做
复数
减去复数
的差，记作
.
四、复数的减法
即把满足
的复数
叫做
复数
减去复数
的差，记作
.
四、复数的减法
即把满足
的复数
叫做
复数
减去复数
的差，记作
.
四、复数的减法
即把满足
的复数
叫做
复数
减去复数
的差，记作
.
两个复数的差是一个确定的复数．
五、复数的减法的几何意义
问题4
类比复数加法的几何意义，能说出复数减法的几何意义吗？
五、复数的减法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
x
o
Z2(c,d)
Z1(a,b)
五、复数的减法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
x
o
Z2(c,d)
Z1(a,b)
复数对应到向量
五、复数的减法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
x
o
Z2(c,d)
Z1(a,b)
五、复数的减法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
x
o
Z2(c,d)
Z1(a,b)
向量的减法运算
五、复数的减法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
x
o
Z2(c,d)
Z1(a,b)
五、复数的减法的几何意义
设
是任意两个复数，
y
x
o
Z2(c,d)
Z1(a,b)
向量对应到复数
例
计算
例
计算
解：
例
计算
解：
例
计算
解：
①按多项式的加减法合并
例
计算
解：
①按多项式的加减法合并
例
计算
解：
①按多项式的加减法合并
②按实数运算法则计算
练习
计算：
练习
计算：
答案
练习
计算：
答案
练习
计算：
答案
例
已知复数
当实数
为何值时，复数
是实数？
解：
例
已知复数
当实数
为何值时，复数
是实数？
解：
例
已知复数
当实数
为何值时，复数
是实数？
解：
例
已知复数
当实数
为何值时，复数
是实数？
解：
例
已知复数
当实数
为何值时，复数
是实数？
解：
例
已知复数
当实数
为何值时，复数
是实数？
因为
是实数
解：
例
已知复数
当实数
为何值时，复数
是实数？
因为
是实数
所以
，即
例
在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求向量
对应的复数．
例
在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求向量
对应的复数．
解：
对应的复数为
，
对应的复数为
，
例
在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求向量
对应的复数.
解：
对应的复数为
，
由向量减法法则可得
对应的复数为
，
例
在复平面内，复数
对应的向量分别是
，其中
是原点，求向量
对应的复数.
解：由复数减法的几何意义：
对应复数
，
对应的复数为
所以
因为
，
例
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两
点
之间的距离．
例
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两
点
之间的距离．
解：
例
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两
点
之间的距离．
解：
例
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两
点
之间的距离．
解：
例
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两
点
之间的距离．
解：
例
根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两
点
之间的距离．
解：
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
则
（1）
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
则
因为
，即
，可得
（1）
（2）
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
将（2）式代入（1）式可得
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
将（2）式代入（1）式可得
令
，
将其代入
，
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
将（2）式代入（1）式可得
令
，
将其代入
，
整理后可得
，
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
，
解：
方程
有解
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
，
解：
方程
有解
则
，
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
，
解：
方程
有解
则
，
解得
．
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
，
解：
当
时，
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
当
时，
此时
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
当
时，
此时
第一种解法
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
的几何意义是：
点
是单位圆上的动点．
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
单位圆上的动点
与定点
之间的距离．
的几何意义是：
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
解：
单位圆上的动点
与定点
之间的距离．
的几何意义是：
例
已知复数
的模是1，求
的最小值．
由图可得
由
解得
即当
时，
解：
例
已知复数
的模是1，求
的最小值.
由图可得
由
解得
即当
时，
解：
例
已知复数
的模是1，求
的最小值.
第二种解法
六、反思总结
提炼收获
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法等方面谈谈．
六、反思总结
提炼收获
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法等方面谈谈．
六、反思总结
提炼收获
知识方面：复数的加法法则、运算律及其几何意义；复数的减法法则及其几何意义．
问题5
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识和思想方法等方面谈谈．
六、反思总结
提炼收获
思想方法方面：类比实数的减法和待定系数法，得到复数的减法法则；类比复数加法的几何意义，得到了复数减法的几何意义．
七、课后作业
1．计算：
2．
是平面内的平行四边形，
三点对应的复数分别是
求
点
对应的复数．
七、课后作业
同学们再见！
