(共65张PPT)
高二年级
数学
导数的实际应用
在生活中，我们经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这节课，我们一起学习利用导数解决生活中的一些优化问题．
问题：利用数学解决实际问题的基本步骤是什么？
问题：利用数学解决实际问题的基本步骤是什么？
实际应用问题
审题
（设）
分析、联想、抽象、转化
构建数学模型
数学化
（列）
寻找解题思路
（解）
解答数学问题
还原
（答）
例1
有一块边长为
的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
长方体容积
长方体容积
解：设小正方形边长为
，则做成的长方体形无盖容器底面边长
为
，高为
．
则容器容积为
则容器容积为
则容器容积为
其中
问题：利用导数求函数最值的一般步骤是什么？
求原函数的定义域；
求导函数；
判断导函数符号；
求原函数的单调区间；
判断原函数的极值点，求出极值；
比较极值与闭区间端点处函数值的大小，得到最值．
问题：利用导数求函数最值的一般步骤是什么？
则容器容积为
其中
所以
则容器容积为
其中
所以
解方程
则容器容积为
其中
所以
解方程
得：
，
（舍）
则容器容积为
其中
所以
解方程
在区间
，
解不等式
得：
，
（舍）
则容器容积为
其中
所以
解方程
在区间
，
解不等式
解得
得：
，
（舍）
则容器容积为
其中
所以
解方程
在区间
，
解不等式
解得
解得
得：
，
（舍）
当 ， 时，
，
单调递增；
当 ， 时，
，
单调递减.
当 ， 时，
，
单调递增；
当 ， 时，
，
单调递减.
所以
为函数在 ， 上的极大值点，且是区间上唯一的极大值点
当 ， 时，
，
单调递增；
当 ， 时，
，
单调递减.
所以
为函数在 ， 上的极大值点，且是区间上唯一的极大值点
即
时，
取最大值．
当 ， 时，
，
单调递增；
当 ， 时，
，
单调递减.
所以
为函数在 ， 上的极大值点，且是区间上唯一的极大值点
即
时，
取最大值．
即当截去的正方形边长是
时，长方体形容器的容积最大．
阶段小结:解题步骤与思维过程
(1)审题：审清题意，理清条件和结论，明确题目中的常量和变量，并作符号约定；
(2)建模：将文字语言转化为符号语言，建立适当的函数关系，结合实际背景明确定义域；
(3)解模：运用导数知识研究数学模型，求解函数最值，求取得最值时应满足的条件
(4)
还原与检验：将数学结论还原到实际问题，并检验．
例2
班级举行活动，现请你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm
，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
128
2
1
2
1
分析：四周空白的面积＝海报面积－版心面积．
审题
2
1
128
2
1
分析：四周空白的面积＝海报面积－版心面积．
审题
128
2
1
分析：四周空白的面积＝海报面积－版心面积．
审题
海报面积＝
其中
128
2
1
建模
解：设版心的高为
，则版心的宽为
，
四周空白面积为
x
128
2
1
建模
解：设版心的高为
，则版心的宽为
，
四周空白面积为
x
128
2
1
解模
解：设版心的高为
，则版心的宽为
，
四周空白面积为
x
所以
解模
解：设版心的高为
，则版心的宽为
，
四周空白面积为
x
所以
解方程
得
，
（舍）
所以
当 ， 时，
，
单调递减；
当
， 时，
，
单调递增.
所以
为函数在 ， 上的极小值点，且是区间上唯一的极小值点
解模
所以
当 ， 时，
，
单调递减；
当
， 时，
，
单调递增.
所以
为函数在 ， 上的极小值点，且是区间上唯一的极小值点
即
时，
解模
所以
当 ， 时，
，
单调递减；
当
， 时，
，
单调递增.
所以
为函数在 ， 上的极小值点，且是区间上唯一的极小值点
即
时，
还原与检验
所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，即海报的高为20dm，宽为10dm时能使四周空白面积最小，最小值为72dm
．
例3
矩形横梁的强度同它的断面的高度的平方与宽的积成正比.要将直径为
的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应该是多少？
解：如图所示，设断面宽度为
，高为
,则
解：如图所示，设断面宽度为
，高为
,则
横梁的强度函数为
（
为强度系数，
）
解：如图所示，设断面宽度为
，高为
,则
横梁的强度函数为
（
为强度系数，
）
所以
解：如图所示，设断面宽度为
，高为
,则
横梁的强度函数为
（
为强度系数，
）
所以
则
解：如图所示，设断面宽度为
，高为
,则
横梁的强度函数为
（
为强度系数，
）
所以
则
解方程
解方程
得
，
（舍）
解方程
得
，
（舍）
所以
当
， 时，
，
单调递增；
当
， 时，
，
单调递减.
所以
为函数在
，
上的极大值点，且是区间上唯一的极大值点
即
时，
取最大值.这时
所以
为函数在
，
上的极大值点，且是区间上唯一的极大值点
即
时，
取最大值.这时
即当宽为
时，高为
时，横梁的强度最大.
例4
圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为
，底半径为
，则表面积
解：设圆柱的高为
，底半径为
，则表面积
由
得
解：设圆柱的高为
，底半径为
，则表面积
由
得
得
解：设圆柱的高为
，底半径为
，则表面积
由
得
得
所以
解：设圆柱的高为
，底半径为
，则表面积
由
得
得
所以
解方程
得
所以
当
， 时，
，
单调递减；
当
， 时，
，
单调递增.
所以
是函数在
，
极小值点,且是区间上唯一的
极小值点.
所以当
时，
取最小值.
所以当
时，
取最小值.
此时
所以当
时，
取最小值.
此时
所以
所以当
时，
取最小值.
此时
所以
当圆柱形金属饮料罐的容积一定，它的高与底面直径相等时，所用材料最省．
本节课我们的收获
实际问题
本节课我们的收获
实际问题
建立函数关系
数学建模
本节课我们的收获
实际问题
利用导数求解
建立函数关系
数学建模
本节课我们的收获
实际问题
利用导数求解
数学建模
数学运算
建立函数关系
本节课我们的收获
实际问题
利用导数求解
解决实际问题
数学建模
数学运算
建立函数关系
本节课我们的收获
实际问题
利用导数求解
解决实际问题
数学建模
数学运算
建立函数关系
函数与方程
数形结合
转化与化归
本节课我们的收获
作业
1.用长度为
的铁丝围成长方形，求围成的最大面积.
l
与每吨产品的价格
（元/吨）之间的关系式为：
2.某厂生产某种产品，该产品的月生产量
(吨)与产品的价格
(元/吨)之间的关系式为：
，生产
吨的成本为
元．问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少?
(利润=收入-成本）
x
p
x教
案
教学基本信息
课题
导数的实际应用
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1
（B版）
出版社：人民教育出版社出版日期：2007
年
4月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.
引导学生用导数方法求解有关用料最省、利润最大、效率最高等最优化问题；感受导数在解决实际问题中的作用.
2.
通过实际生活中最优化问题的分析、求解与决策，引导学生体会函数与方程思想、数形结合、转化思想在解决实际问题中的应用，提升数学建模、数学运算等数学学科核心素养.
教学重点：
利用导数知识解决实际生活中的最优化问题.
教学难点:
如何建立函数模型，把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
生活中，经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这节课，我们一起学习利用导数解决生活中的一些优化问题．
直接切入话题，明确课堂内容
新课
（一）案例示范，学习方法
例１．有一块边长为正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应为多少？
问题：利用函数解决实际问题的基本步骤是什么？
解：设截下的小正方形边长为，容器容积为，则做成的长方体形无盖容器底面边长为，高为，
问题：利用导数求函数最值的一般步骤是什么？
,
令即
解得(舍去)
在区间内，可能是极值点．且
当时，当时，
因此是极大值点，且在区间，是唯一的极值点，所以是的最大值点．
即当截下的小正方形边长为时，容积最大．
案例示范，引导学生体验利用导数求实际问题中最优解.
阶段小结
解函数应用问题的步骤
(1)审题：审清题意，理清条件和结论，明确题目中的常量和变量，并作符号约定；
(2)建模：将文字语言转化为符号语言，建立适当的函数关系，结合实际背景明确定义域；
(3)解模：运用导数知识研究数学模型，求解函数最值及取得最值的条件．
(4)检验与还原：将数学结论还原为实际问题，并检验．
（二）尝试练习，应用方法
例2.班级举行活动，现请你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为
128dm2，上、下两边各空
2dm
，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？
(
2
1
2
1
12
8
)
整理解决问题的过程，形成思维范式
（审题）
解：设版心的高为，则版心的宽为，此时四周空白面积为：
（建模）
（解模）
所以
解方程得
当时，当时，因此是函数的极小值点，也是最小值点．
即当时，.
（检验与还原）
所以当版心高为16dm
，宽为8dm时，即海报高为20dm
，宽为10dm时能使四周空白面积最小，最小值为72dm2.
法二：因为
当且仅当时，即当时，取最小值72，此时高等于16宽等于8．
注：对于
类型函数的处理，在运用均值定理求最值时，应该注意定理成立的条件是否具备，如果不具备，则可以借助于函数
自主经历解决问题的过程，在应用中理解方法的本质.
求导，研究函数的单调性，确定最值取得的情况．
（三）自主实际，内化方法
例3.矩形横梁的强度同它的断面的高度的平方与宽的积成正比.要将直径为的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽度和高度应该是多少？
解：如图所示，设断面宽度为，高为，
则，
横梁的强度函数为
（为强度系数，），
所以
则
令
解方程，得两根，其中负根没有意义，舍去.
当
时，，单调递增；
当时，，单调递减.
所以是函数在区间内只有一个极大值点，且是唯一的极大值点.
所以当时，取得最大值.
这时
.
即当宽为，高为时，横梁的强度最大.
例4.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
解：设圆柱的高为，底半径为，则表面积
由，得，
则
则
解方程
解得，
，
所以
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以只有一个极小值，即为最小值
即当，取得最小值。
此时===2，
即.
当圆柱形金属饮料罐的容积一定，它的高与底面直径相等时，所用材料最省．
总结
１.利用导数求解实际最优化问题的步骤
实际问题—数学建模—导数求解——问题解决
（审题）
（建模）
（解模）
（检验与还原）
2.数学思想方法
函数方程思想、数学结合思想、转化与化归思想
作业
1.用长度为的铁丝围成长方形，求围成的最大面积.
2.
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量（吨）与每吨产品的价格（元/吨）之间的关系式为：,且生产x吨的成本为（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润L达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）
参考答案：
1.
.
2.
每月生产x吨时的利润为
解方程
得（舍）
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以是函数在上唯一的极大值点
所以当时，取最大值.
即每月生产200吨产品时利润达到最大利润315万元.
