17.2勾股定理逆定理
教学目标
了解勾股定理逆定理的概念
理解勾股定理逆定理的证明方法并证明勾股定理逆定理
勾股定理逆定理的应用
认识一些勾股数
教学重难点
重点：勾股定理逆定理的应用
难点：勾股定理逆定理的证明
教学设计
情境引入
想一想：古埃及人画直角的方法:把准备好的一根打了13个等距离结的绳子,然后按3个结,4个结,5个结的长度为边长,摆放成一个三角形.你认为这个三角形是直角三角形吗?
思考：①如果改变一下三条边的结数,是否还能摆放出
同样形状的三角形吗?
②画图看一看,三角形的三边长分别为2.5
cm,6
cm,
6.5
cm,观察三角形的形状.再换成4
cm,7.5
cm,8.5
cm试试看.
③三角形的三边具有怎样的关系,才得到上面同样的结论?
共同总结规律：
二、新知探究，合作交流
1、命题一：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，则足a2+b2=c2
.
命题二：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
（1）提问:命题1和命题2的题设和结论分别是什么?
（2）从而引入勾股定理逆定理.
2、证明勾股定理逆定理的正确性
已知:如图所示,△ABC中,AB=c,AC=b,BC=a,且a2+b2=c2.求证:∠C=90.
让学生回顾全等三角形的证明过程，对勾股定理逆定理进行简单证明.
板书勾股定理逆定理
三、例题分析
例1：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a=15,b=8,c=17；(2)a=13,b=14,c=15.
第一小问老师板书，第二问学生板书
注意事项：让学生注意勾股定理与勾股定理逆定理的写法与区别
例2：在寻找马航MH370航班过程中，两艘搜救舰艇接到消息，在海面上有疑似漂浮目标A、B.
接到消息后，一艘舰艇以16海里/时的速度离开港口O(如图17－2－7所示)向北偏东40°方向航行，另一艘舰艇在同时以12海里/时的速度向北偏西一定角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距30海里，问另一艘舰艇的航行方向是北偏西多少度？
四、巩固练习
P33练习题1，2，3.
五、课堂效果测评
课堂小结
这节课你学到了什么？在解题时需要注意什么？
课堂测评
1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是 ( )
2.若△ABC的三边长a,b,c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0,则△ABC是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
作业布置
P34页综合应用4，5
六、教学反思
本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标.把学生的探索和验证活动放在首位,一方面要求学生在老师的引导下自主探索,合作交流,另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识,达到培养能力的目的.整节课以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线,使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程,努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变.勾股定理章节复习检测
教学目标
1.会运用勾股定理解决简单问题.
2.会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
3.通过具体的例子,了解逆命题、逆定理的概念,知道原命题成立其逆命题不一定成立.
课堂重难点
重点 运用勾股定理及其逆定理解决问题.
难点 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形
教学设计
知识
用勾股定理计算线段的长这类问题,可以以选择题、填空题或解答题的形式出现,单独考查这一个知识点的情况较少,一般与其他知识点综合考查.
二、例题分析
如图(1)所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A,B都是格点,则线段AB的长度为 ( )
A.5 B.6 C.7 D.25
〔解析〕如图(2)所示,在Rt△ABC中,AC=4,BC=3,由勾股定理得AB===5.故选A.
在解决此类问题时,应善于挖掘图中的隐含条件,即将所求的边放进直角三角形中,并根据图示,求出直角三角形的两边长,最后就容易根据勾股定理来求第三边了.同时在用勾股定理运算时注意常用的勾股数,如:3,4,5;6,8,10;9,12,15;8,15,17;7,24,25;9,40,41等等.
三、章节测试
一、填空
1．
的两边分别为5，12，另—边c为奇数，且a＋b＋c是3的倍数，则c应为_________，此三角形为________．
2．三角形中两条较短的边为a
＋
b，a
－
b（a>b），则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．
3．若
的三边a，b，c满足a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋l0c，则此三角形是_______三角形，面积为______．
4．已知在
中，BC＝6，BC边上的高为7，若AC＝5，则AC边上的高为
_________．
5．已知一个三角形的三边分别为3k，4k，5k（k为自然数），则这个三角形为______，理由是_______．
6．一个三角形的三边分别为7cm，24
cm，25
cm，则此三角形的面积为_________.
二、选一选
7．下列各组数能构成直角三角形三边长的是（
）．
A．1，2，3
B．4，5，6C．12，13，14D．9，40，41
8．等边三角形的三条高把这个三角形分成直角三角形的个数是（
）．
A．8个
B．10个
C．11个
D．12个
9．如果一个三角形一边的平方为2（m2＋1），其余两边分别为m－1，m＋l，那么这个三角形是（
）；
A．锐角三角形
B．直角三角形C．钝角三角形
D．等腰三角形
三、解答题
10．在Rt△ABC中，∠C=90°D为BC上的一点，若AC＝l7，AD＝8，CD=15，AB＝10，求Rt△ABC
的周长和面积．
11．已知△ABC
中，AB＝17
cm，BC＝30
cm，BC上的中线AD＝8
cm，请你判断△ABC
的形状，并说明理由
．17.1
勾股定理（第1课时）
内容解析
勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么
．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明．我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子．教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心．
学习目标
了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．?
学习重点?勾股定理的内容和证明及简单应用.
学习难点?勾股定理的证明.
教学设计
一、创设情境，引入新课
让学生画一个直角边分别为3
cm和4
cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．
你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾3＋股4＝弦5.
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？
拼图实验，探求新知
1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考．
2．组织学生小组合作学习．
问题：每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．
引导学生用拼图法初步体验结论．
归纳验证，得出定理
(1)猜想：命题1：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.
(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．
①用多媒体课件演示．
②小组合作探究：
a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？
b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？
c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？
师：通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．
即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．
二、例题讲解
【例1】填空题．
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；
(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；
(5)已知等边三角形的边长为2
cm，则它的高为________cm，面积为________cm2.
【答案】(1)17 (2) (3)6 8 (4)6，8，10 (5)
【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．
分析：已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．
【答案】或13
三、巩固练习
填空题．
在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)如果a＝7，c＝25，则b＝________；
(2)如果∠A＝30°，a＝4，则b＝________；
(3)如果∠A＝45°，a＝3，则c＝________；
(4)如果c＝10，a－b＝2，则b＝________；
(5)如果a，b，c是连续整数，则a＋b＋c＝________；
(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________．
四、课堂小结
1．本节课学到了什么数学知识？
2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？
3．你还有什么困惑？
五．拓展练习
1．直角三角形的周长为12，斜边长为5，其面积为（????
）A．12????
B．10????
C．8????
D．6
2.等边三角形的高是h，则它的面积是（????
）
A．
?
?B．
??
?C．??
D．
3.直角三角形中，，，求和．
六．布置作业:课本28页第1题17.1
勾股定理（第2课时）
内容解析:
勾股定理在教学中有非常重要的地位，定理本身也有重要的实际应用．根据勾股定理，已知两直角边的长，就可以求出斜边的长．即，根据算术平方根的意义，得到，这样就得出了斜边的长．由勾股定理还可以得到，，，类似地，我们得到．由此可知，已知斜边和一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长．也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长．教科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用定理证明了斜边和两条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
学习目标:能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．
学习重点:将实际问题转化为直角三角形模型．
学习难点
如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．
教学设计
一、复习导入
问题1：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？
学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．
教师深入到小组活动中，倾听学生的想法．
由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．
问题2：一个门框的尺寸如图所示，一块长3
m、宽2.2
m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.
因此AC＝≈2.236.
因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．
二、例题讲解
例1.如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是4米，则这两棵树之间的垂直距离是________米，水平距离是________米．
分析：由∠CAB＝30°易知垂直距离为2米，水平距离是6米．
例2.教材第25页例2
三、巩固练习
1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为________．
2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B
200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．
四．小结
1．谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形．
2．本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答．
五．拓展练习
1.小明搬来一架2．5米长的木梯，准备把拉花挂在2．4米高的墙上，则梯脚与墙角的距离为?????????
2.有一个高为12cm，底面半径为3cm的圆柱，一只蚂蚁从圆柱的下底面圆周上的点A出发，沿着圆柱表面绕圆柱一周，爬至上底面圆周的B点处，问蚂蚁爬行的最短路程是多少？
六．布置作业
课本第28页习题17．1，第3，4题17.1
勾股定理（第3课时）
内容解析
本节内容主要是在前面探究和证明勾股定理的基础上，对勾股定理进行简单的应用．由于目前所掌握的知识工具很有限，因此只能解决一些较简单的实际应用题．在应用勾股定理解题前，可以带领学生回顾三角形的相关知识，包括面积公式，特殊三角形的性质等；特别是直角三角形中，两锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半等重要结论，都是结合勾股定理解决应用问题的重要依据．教学时，应引导学生注意构造勾股定理的使用条件，在应用定理时关注数学结合和分类讨论的思想．
学习目标
1．利用勾股定理证明：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．
2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．
3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单
实际问题．
学习重点
在数轴上寻找表示，，，…这样的表示无理数的点．
学习难点
利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．
教学设计
一、复习导入
复习勾股定理的内容．
本节课探究勾股定理的综合应用．
在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？
先画出图形，再写出已知、求证如下：
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.
求证：△ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝，B′C′＝.又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出所对应的点吗？
指导学生寻找像长度为，，，…这样的包含在直角三角形中的线段．
由于要在数轴上表示点到原点的距离为，，，…，所以只需画出长为，，，…的线段即可，不妨先来画出长为，，，…的线段．
设c＝，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边．
下面就请同学们在数轴上画出表示的点．
步骤如下：
1．在数轴上找到点A，使OA＝3.
2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2.
3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示的点．
二、例题讲解
例1.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
分析：根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．
解：根据题意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．
飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时．
例2.在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？
解：根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以这里的水深为4.5分米．
例3.在数轴上作出表示的点．
解：以为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示的点，如下图：
三、课堂小结
1．进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题．
2．你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应．
四．拓展延伸
1．如图，在高3米，斜边长为5米的楼梯的表面铺地毯，地毯的长度至少为____米．
2．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有(
)
A．0条
B．1条
C．2条
D．3条
五．布置作业
课本第28页习题17．1，第7，8题
