人教版九年级数学上册21.2.1 第2课时 配方法 课件（26张PPT）

(共26张PPT)
21.2.1
配方法
第二十一章
一元二次方程
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
第2课时
配方法
九年级数学上（RJ）
教学课件
学习目标
1.理解配方的概念.
2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.
(重点）
3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.
（难点）
导入新课
复习引入
(1)
9x2=1
；
(2)
(x-2)2=2.
1.用直接开平方法解下列方程.
2.你还记得完全平方公式吗？填一填：
(1)
a2+2ab+b2=(
)2；
(2)
a2-2ab+b2=(
)2.
a+b
a-b
3.下列方程能用直接开平方法来解吗?
(1)
x2+6x+9
=5；
(2)4x2+8x+4=0.
转化成(x+3)2=5的形式，再利用开平方
讲授新课
探究交流
解：方程变形为(x+3)2=5，
试一试
解方程：
x2+6x+9
=5
填上适当的数或式，使下列各等式成立.
（1）x2+4x+
=
(
x
+
)2
（2）x2-6x+
=
(
x-
)2
（3）x2+8x+
=
(
x+
)2
（4）
x2-
x+
=
(
x-
)2
你发现了什么规律？
22
2
32
3
42
4
填一填
二次项系数为1的完全平方式：
常数项等于一次项系数一半的平方.
归纳总结
填一填：
x2+px+(
)2=(x+
)2
配方的方法
想一想
怎样解方程:
x2+6x+4=0
(1)
问题1
方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢？
解：
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
移项
x2+6x+9=-4+9
两边都加上9
为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他的数，行吗？
(
x+3)2=5
左边写成完全平方形式
要点归纳
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.
配方法的定义
配方法解方程的基本思路
把方程化为(x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解．
例1
解下列方程：
分析：(1)方程的二次项系数为1，直接运用配方法.
(2)先移项，将方程化为一般式，再将二次项系数化为1，然后用配方法解方程.
(3)与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.
典例精析
解：移项，得
x2－8x=－1，
配方，得
x2－8x+42=－1+42，
(
x－4)2=15
由此可得
即
配方，得
由此可得
二次项系数化为1，得
解：移项，得
2x2－3x=－1，
即
移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
配方，得
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根．
解：移项，得
二次项系数化为1，得
为什么方程两边都加12？
即
练一练
解下列方程：
(1)x2+8x+4=0；
(2)4x2+8x=-4；
(3)-2x2+6x-8=0.
解：移项，得x2+8x=－4.
配方，得(x+4)2=12.
解：整理得x2+2x+1=0.
配方，得(x+1)2=0.
开平方，得x+1=0.
解得x1=x2=－1.
解：整理得x2－3x=－4.
所以原方程无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.
①当p>0时，则
，方程的两个根为
②当p=0时，则(x+n)2=0，x+n=0，开平方得方程有两个相等的实数根
x1=x2=-n.
③当p<0时，则方程(x+n)2=p无实数根.
方法总结
思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要
注意些什么？
思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤.
移项时需注意改变符号.
①移项，二次项系数化为1；
②左边配成完全平方式；
③左边写成完全平方形式；
④降次；
⑤解一次方程.
例2
试用配方法说明：不论k取何实数，多项式
k2－4k＋5
的值必定大于零.
解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1
=(k－2)2＋1
因为(k－2)2≥0，所以(k－2)2＋1≥1.
所以k2－4k＋5的值必定大于零.
典例精析
应用配方法求最值.
(1)
2x2
-
4x+5的最小值；
(2)
-3x2
+
5x
+1的最大值.
练一练
解：原式
=
2(x
-
1)2
+3
当x
=1时，有最小值3
解：原式=
-3(x
-
2)2
-
4
当x
=2时，有最大值-4
含有二项式的代数式求最值或证明恒为正(负)等问题，都要想到运用配方法，将含字母部分配成
a(x+m)2+n的形式来解决.
例3
若a，b，c为△ABC的三边长，且
试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为直角三角形.
归纳总结
配方法的应用
2.求最值或
证明代数式
的值为恒正
（或负）
对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2
＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.
1.完全平方式中的配方
如：已知x2－2mx＋16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=±4.
3.利用配方构成非负数和的形式
对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2－4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.
类别
解题策略
1.解下列方程：
（1）x2+4x-9=2x-11；（2）x(x+4)=8x+12；
（3）4x2-6x-3=0；
（4）
3x2+6x-9=0.
解：x2+2x+2=0，
(x+1)2=-1.
此方程无解；
解：x2-4x-12=0，
(x-2)2=16.
x1=6，x2=-2；
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3，x2=1.
当堂练习
2.已知代数式x2+1的值与代数式2x+4的值相等，求x的值.
解：根据题意得x2+1=2x+4
整理得x2－2x－3=0，
配方得(x－1)2=4，
解得x1=－1，x2=3.
3.利用配方法证明：不论x取何值，代数式－x2－x－1的值总是负数，并求出它的最大值.
解：－x2－x－1=－(x2+x+
)+
－1
所以－x2－x－1的值总是负数.
当
时，－x2－x－1有最大值
4.若
，求(xy)z
的值.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
5.已知a，b，c为△ABC的三边长，且a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断△ABC的形状.
解：对原式配方，得
由代数式的性质可知
所以，△ABC为等边三角形.
课堂小结
配方法
定义
通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.
步骤
特别提醒：
在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.
应用
求代数式的最值或证明