《一次函数与一元一次方程》教学设计
章节名称
人教版八年级《数学》下册第19章19.2.3节
学时
1
依据标准
1.在探索中体会函数与方程的内在联系,会从不同的角度看待问题;2.在解决问题的活动中,初步学会与他人合作;3.学会利用函数解决有关方程问题;4.体会数形结合解决数学问题中的应用
本节(课)教学内容的分析
本节是人教版八年级《数学》下册第19章19.2.3节的第一课时,内容主要探讨一次函数与方程的内在联系。这是一个由点到面的拓展教学,从函数角度看待一元一次方程,关键是数学思维的转换,对学生而言,其难度是很大的。因此本节课通过一些具体的实例引发学生思考,然后再进行归纳,形成方法。从而会用函数知识解决有关方程问题。本节内容也是数与形结合应用的典范。学好本节内容,能为下节探讨函数与不等式、方程组的关系打下良好基础。
与本节(课)相关的学生特征的分析
认知:学生已学了一元一次方程的解法,平面直角坐标、一次函数图像及其性质,基本会由图像求横坐标或纵坐标,会求一元一次方程的解;但却无法建立起两者之间的关系能力:学生已经具有一定的识图能力,理解直线上的点与每一对(x,y)对应,能根据横坐标求纵坐标或纵坐标求横坐标,可是对于纵坐标为某个特定数值时表示的意义并不理解,跟不会进行思维角度的转换。情感:本节内容需要学生理解才能达到真正掌握和应用,且学生课堂较为沉闷,不爱发言,大部分学生独立思考能力差,如果老师讲多势必导致学生上课分心,因此,先可在学生独立思考的基础上通过小组讨论形成共识,培养学生的团队意识,激发学生互帮互学互助,体验团队协作的快乐与成就感、认同感。
本节(课)教学目标
知识技能:
会从函数的观点认识一元一次方程,能用函数图像解一元一次方程;数学思考:通过利用函数图像解决一元一次方程问题,发展学生的数形结合思维能力。问题解决:利用数形结合,通过对具体函数的观察、计算、对比、归纳与总结,培养学生数形结合思想和从函数观点解决实际问题的能力情感态度:在独立思考的基础上,通过小组合作与探究,个人展示等,激发学生学习兴趣,体验团队协作的价值、快乐与成就感、认同感,培养学生团队协作力和团队成员的责任感。
教学重点
理解一次函数与一元一次方程的解关系
教学难点
建立一次函数图像上的点的坐标与一元一次方程的解的联系
课前准备
多媒体课件;把学生分成六个小组,选出组长,并按组就座。
教学方法
自主探究、合作交流与教师启发引导相结合
学法指导
根椐自主性和差异性原则,指导学生在“观察——计算——对比——合作交流——归纳总结——迁移应用”的实践探索中自主参与知识的产生、发展、形成与应用的过程。通过学生的自主活动、合作交流、动手操作等活动来构建与此相关的知识经验,使学生理解、掌握知识并运用知识解决数学问题,体验观察、计算、自主探究、合作交流的团队互助学习方法。
板书设计
§
19.2.3.一次函数与一元一次方程一元一次方程的解与一次函数之间的关系。一元一次方程的解与函数相对应,方程的解是函数在当时对应的横坐标x的值。特别的,方程的解是函数的图像与x轴交点的横坐标。(应用时先找到对应的一次函数)从“数”的角度看:从“形”的角度看:
【教学过程】
教学环节
问题与情境
师生行为
设计意图
创设情境导入问题
问题一:请同学们求出下列一元一次方程的解:思考:观察这些方程的左边,它们有什么特征?(相同,都是)。
教师:这些方程都和一次函数相对应。当y=-3、0、5时对应不同的方程(提出课题:本节课我们就来研究一次函数和与它相对应的方程的解的关系)
板书:§19.2.3
一元一次方程和一次函数
唤醒学生的原有知识,提出问题引发学生思考,激发学生求知欲。让学生切身感受到新知识往往隐藏在旧知之中。
合作探究解决问题
问题二:1.在坐标系内,画出函数的图像。2.根据画出的图像如图1求出:(1)当y=-3时对应的横坐标x是多少?(对应的方程是)当y=0时对应的横坐标x是多少?(对应的方程是)当y=5时对应的横坐标x是多少?(对应的方程是)(2)这些横坐标x的值与其对应的方程的解有什么关系?3.
如果用表示一个一元一次方程,根据(2)你发现什么结论?根据结论,请你说说方程3x-5=7与哪一个一次函数相对应?你能根据其对应的一次函数图像求出它的解吗?
学生:先在教师预先准备好的作图纸上独立画出图像,然后根据找出当y不同数值时所对应的横坐标,并请学生代表上黑板展示问题2—(1)。教师:教师巡视,观察学生完成情况。引导学生找出方程的解与横坐标的关系。在学生理解(1)(2)的基础上引导学生分组导论问题3.并展示学生:小组讨论问题3,并由小组代表展示讨论结果。教师:根据学生展示情况,进行适当解释后通过PPT展示结论:一元一次方程的解与函数相对应,方程的解是函数在当时对应的横坐标x的值。特别的,方程的解是函数的图像与x轴交点的横坐标。师生:共同完成问题3后面的问题。
让学生通过操作、计算、观察,体验发现新知的过程。通过学生黑板展示发现学生思维上的不足或亮点,以便及时修正或肯定。通过小组讨论,体验团队协作带来的快乐。学生展示讨论结果的过程中可以考验学生数学归纳能力和数学语言的口语表达能力通过问题3后面的例子可以加深学生对结论的理解
【教学过程】
教学环节
问题与情境
师生行为
设计意图
迁移应用形成方法
例1:利用函数图像求方程3x-6=0的解【解:与方程3x-6=0对应的函数是在平面直角坐标系中画出函数y=3x-6的图像如图2所示:
因为图像与x轴交点坐标是(2,0),故方程3x-6=0的解是x=2.】例2:已知一次函数的图像如下图3-1所示,不解方程,根据图像求出方程的解为
。例3(例2变式):已知函数图像如下图3-2所示,根据图像求出方程的解为
。
学生:根据结论独立完成例1。教师:巡视学生完成情况,并适时展示和评价学生答案。在解完本题后,师生一起归纳方法:第1步:找出对应的一次函数解析式第2步:画出对应函数的图像第3步:找出与y的值相对应的横坐标第4步:根据横坐标求方程的解
通过例1的解决,可以发现学生解题过程中的问题并及时纠正,加深学生对知识的理解并转化成技能,形成方法。通过例2、例3,能够检查学生对本节内容的理解与掌握情况,也考查学生运用“数形结合”思想解决问题的能力,以便查缺补漏
教学环节
问题与情境
师生行为
设计意图
迁移应用形成方法
课内微练巩固新知
1.方程3x+2=8的解是
,则函数y=3x+2在自变量x=
时的函数值是8,函数y=3x-6与x轴交点坐标是
。2.当函数y=2x+6的函数值为-3时,可得到关于x的方程为
。3.已知函数y=kx+2与x轴交点坐标是(-3,0),则关于x的方程kx+2=0的解是x=
。4.如图4.若一次函数y=4x-4图像上有一点N。(1)若在点N处的函数值等于4,求点N的坐标。(2)不解方程,根据图像求出方程4x-4=4的解
学生:独立完成,然后组内交流;最后有两名学生代表黑板展示,其中一名学生展示微练1、2、3,另一名学生展示微练4,其他同伴进行质疑。教师:视学生展示情况适时进行点拨、引导。
通过微练,加深对所学知识的理解,检查学生掌握情况。通过学生展示,既能培养学生胆量和语言表达能力,又能通过个别学生的展示激发其他同学积极参与其中,提升课堂氛围。
教学环节
问题与情境
师生行为
设计意图
反思收获完善体系
从知识层面看——本节课学习的内容有:一元一次方程的解与一次函数的关系一元一次方程的解与函数相对应,方程的解是函数在当时对应的横坐标x的值。特别的,方程的解是函数的图像与x轴交点的横坐标。从思维方法层面看——本节课始终离不开“数形结合”思想:从“数”的角度看:从“形”的角度看:
师生:在教师的引导下,让学生回顾本节所学的内容和自己的的收获。加深印象。教师:重点从思维层面清楚明白地阐述本节课用到的数学思维方法。
引导学生从不同的角度对本节课进行反思,使学生自觉把所学知识纳入已有的知识体系,培养学生的归纳思维和数形结合思想
【目标检测】
1.以方程2x-3y=6的解(x,y)为坐标的所有点组成的图形是函数
的图像;以函数y=-x+4图像上所有点的坐标为解的二元一次方程是
。
2.如图5所示,是一次函数图像,观察图像思考:
(1)当y=0时,x=
。
(2)由此可知方程的解为x=
。
3.已知直线与x轴的交点是(-3,0),则方程的解是
。
4.已知一元一次方程的解是x=3,那么一次函数的图像与x轴的交点坐标是
。
5.如图6所示,已知直线,则方程的解是
。
6.画出函数的图像,并利用图像求方程的解。
求方程的解
当x为何值时
函数的值为c
求方程的解
确定直线在
当时对应的横坐标x的值
求方程的解
当x为何值时
函数的值为c
求方程的解
确定直线在
当时对应的横坐标x的值
2