苏科版九年级数学中考复习导学案——辅助线专题（答案不全）

九年级数学中考复习导学案（辅助线专题）
教学目标：复习数学解题常用的辅助线方法，增强解题能力。
教学过程：
一、常见的辅助线方法：
1、连接(知中垂，连两端，距离等)；
2、延长；
3、作垂线（如:知平分，向两边，作垂
直）；
4、作平行
线；
5、倍长中线法；
6、截长补短法；
7、平移法；
8、旋转法；
9、构造法（如：见中点再取中点，构造=中位线；见中线延长一倍，构造平行四边形）；
二．基本图形的辅助线的画法
三角形中常见辅助线的添加
1.
与角平分线有关的
已知P是∠MON平分线上一点，
垂直：若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”。
截取：若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。
等腰:若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。
平行构造：若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”。
（5）综合角平分线
2.
与线段长度相关的
ⅰ
截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
ⅱ
补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
ⅲ
倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
ⅳ
遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3.
与等腰等边三角形相关的
ⅰ
考虑三线合一
ⅱ
旋转一定的度数，构造全等三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转
4、旋转五大模型
题型一：角平分线及截取
例1、如图，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD=　　．
例2、如图，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（　　）
例3、如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为　　．
例4、如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．
（1）求证：BE=AF；
（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．
例5、
如图7，△ABC中，M是BC的中点，AD是∠A的平分线，BD⊥AD，垂足为D，AB=12，AC=18，求DM的长．
同步训练
1、如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（　　）
A．BD：CD
B．AD：CD
C．BC：AD
D．BC：AC
2、已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN=45°，连结MN．
（1）若正方形的边长为a，求BM?DN的值．
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
题型二:中点、中线、垂直平分线
例1、如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=　
　．
例2、爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是△ABC的中线，AN⊥BN于点P，像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．
【特例探究】
（1）如图1，当tan∠PAB=1，c=4时，a=　　，b=　　；
如图2，当∠PAB=30°，c=2时，a=
　
，b=　
；
【归纳证明】
（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．
【拓展证明】
（3）如图4，?ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BE⊥CE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长．
例3、如图，在菱形ABCD中，M，N分别是边AB，BC的中点，MP⊥AB交边CD于点P，连接NM，NP．
（1）若∠B=60°，这时点P与点C重合，则∠NMP=　
　度；
（2）求证：NM=NP；
（3）当△NPC为等腰三角形时，求∠B的度数．
例4、已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
①求证：△OCP∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；
（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．
题型三：旋转
例1、已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．
（1）当点P与点O重合时如图1，易证OE=OF（不需证明）
（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当∠OFE=30°时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．
课堂同步训练
1、如图1所示，在正方形ABCD和正方形CGEF中，点B、C、G在同一条直线上，M是线段AE的中点，DM的延长线交EF于点N，连接FM，易证：DM=FM，DM⊥FM（无需写证明过程）
（1）如图2，当点B、C、F在同一条直线上，DM的延长线交EG于点N，其余条件不变，试探究线段DM与FM有怎样的关系？请写出猜想，并给予证明；
（2）如图3，当点E、B、C在同一条直线上，DM的延长线交CE的延长线于点N，其余条件不变，探究线段DM与FM有怎样的关系？请直接写出猜想．
2、如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（
）
A.2.5
B.
C.
D.2
3、如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为　　．
4、在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．
（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）
（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；
（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．
参考答案：
1、（1）DM⊥FM，DM=FM
（2）DM⊥FM，DM=FM
2、B
3、或
4、（2）PG=PC
（3）PG=PC