专题3：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究学案

专题三：抛物线上的特殊平行四边形存在性问题探究
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专题导入
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导图：我们知道平行四边形，矩形，菱形，正方形之间的关系如下图：
导例：如图1，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.
图1
（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；
（2）填空：
①当AM的值为
时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为
时，四边形AMDN是菱形.
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方法点睛
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解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．注意结合矩形和菱形的特殊性质，往往涉及到等腰，全等，勾股或相似三角形等知识的运用.
导例答案：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴NC∥AB.∴∠DNE=∠AME.
∵E为AD的中点，∴DE=AE.又∵∠NED=∠MEA，?
∴△NDE≌△MAE.∴ND=AM.?
∵ND∥AM，
∴四边形AMDN为平行四边形.
（2）①当四边形AMDN为矩形时，则DM⊥AB.
∵∠DAB=60°，
∴△DAB为正三角形.
∴点M为AB的中点.
∴AM=1；
②当四边形AMDN为菱形时，则AM=AD=2．
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典例精讲
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类型一：菱形的存在性问题
例1
如图2所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A(－4，0)，与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；
(3)如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】
(1)把已知点坐标代入解析式，利用待定系数法可求得解析式；
(2)取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；
(3)设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．
类型二：矩形的存在性问题
例2
如图3，抛物线与轴交于两点，与轴交于点.
（1）求抛物线解析式：
（2）抛物线对称轴上存在一点H，连接，当值最大时，求点H坐标：
（3）若点M是平分线上的一点，点是平面内一点，若以为顶点的四边形是矩形，请直接写出点坐标
图3
【分析】(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出a，b的值即可得答案；
（2）连接AC，延长AC交抛物线对称轴与H，由A，C两点坐标可得直线AC的解析式，根据抛物线解析式可得对称轴方程，根据A，C，H三点在一条直线时，的值最大，即可得答案；
（3）设∠BAC的角平分线与y轴交于E点，过点E作EF⊥AC，根据角平分线的性质可证明△AFE≌△AOE，可得出AF的长，利用勾股定理可求出OE的长，可得E点坐标，进而利用待定系数法可求出直线AE的解析式，分两种情况：①当∠ABM1=90°时，M1N1=AB，AN1=BM，M1B⊥x轴，可得点M1的横坐标，代入AE的解析式可得点M1的纵坐标，即可得出BM的长，进而可得N1点坐标；②当∠AM2B=90°时，可知∠N2BA=∠BAE，过N2作N2G⊥x轴，根据点E坐标可得∠BAE的正弦值和余弦值，即可求出BN2的长，利用∠N2BA的正弦和余弦可求出N2G和BG的长，进而可得OG的长，即可得N2坐标；综上即可得答案.
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专题过关
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1．如果一条抛物线与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是
三角形；
（2）若抛物线(b＞0)的“抛物线三角形”是等
腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线(b′＞0)的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O，C，D三点的抛物线的解析式；若不存在，说明理由．
2，如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以这两个交点和该抛物线的顶点，对称轴上一点为顶点的菱形称为这条抛物线的“抛物菱形”．
（1）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”是正方形，求b的值；
（2）如图，四边形OABC是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物菱形”，且∠OAB=60°．
①“抛物菱形OABC”的面积为
．
②将直角三角板中含有“60°角”的顶点与坐标原点O重合，两边与“抛物菱形OABC”的边AB，BC交于E，F，△OEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时△OEF的面积；若不存在，说明理由．
3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；
（2）求直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；
（3）设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
4.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（-1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=-x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．
（1）求线段AB的长；
（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH+HF+FO的最小值；
（3）在（2）中，PH+HF+
FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F'作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D，Q，R，S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．
专题三：抛物物上的特殊平行四边形问题探究
答案
例1
(1)将A(－4，0)代入y＝x＋c，得c＝4，
将A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c，得b＝－3．
∴抛物线解析式为y＝－x2－3x＋4.
(2)如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l于点E，连接CE，此时CE＋OE的值最小．∵抛物线对称轴直线x＝－，∴CC′＝3.
在Rt△CC′C中，由勾股定理，可得OC′＝5，∴CE＋OE的最小值为5.
(3)存在．设点M坐标为(a，0)，则点N坐标为(a，－a2－3a＋4)，P点坐标为(a，).
把点P坐标代入y＝x＋4，得＝a+4，解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1.
当PF＝FM时，点D在MN垂直平分线上，则D(，)；
当PM＝PF时，由菱形性质得点D坐标为(－1＋，)或(－1－，－)；
当MP＝MF时，M，D关于直线y＝x＋4对称，点D坐标为(－4，3)．[来源:Zxxk.Com]
例2
（1）∵A（-3，0），B（4，0），点A，B在抛物线上，
∴
解得：∴抛物线的解析式为：y=x2-x-4.[来源:学科网ZXXK]
（2）连接AC，延长AC交抛物线对称轴与H.
∵抛物线解析式为y=x2-x-4，与轴交于点C，
∴C（0，-4），对称轴为直线x=-=.
∵≤AC，∴A，C，H在一条直线上时取最小值.
设直线AC的解析式为y=kx+b，则∴解得：
∴直线AC的解析式为y=x-4.当x=时，y=.∴H点坐标为（，）.
（3）设∠BAC的角平分线交y轴于E，过E作EF⊥AC于F.
∵A（-3，0），B（4，0），C（0，-4），∴AB=7，AC=5，OA=3，OC=4.
∵AE为∠BAC的角平分线，∴OE=EF.又∵AE=AE，△AOE≌△FAE，∴AF=OA=3.∴FC=5-3=2.
∴EF2+FC2=CE2，即OE2+22=(4-OE)2.
解得OE=.∵点E在y轴负半轴，∴E点坐标为（0，-）.
设直线AE的解析式为y=kx+b，则解得：
∴直线AE的解析式为y=.
∠ABM1=90°时，四边形ANMB是矩形.∴M1N1=AB=7，AN1=BM，M1B⊥x轴，AN1⊥x轴.
∴x=4时，y=.∴点N1坐标为（-3，）.
②当∠AM2B=90°时，过N2作N2G⊥x轴.∵四边形AM2BN2是矩形，∴∠N2BA=∠BAE.
∵OA=3，OE=，由勾股定理，得AE=.
∴sin∠BAE==，cos∠BAE==.∴sin∠N2BA
=，cos∠N2BA=
∴BN2=ABcos∠N2BA=.∴N2G=BN2sin∠N2BA=，BG=BN2cos∠N2BA=.
∴OB-BG=-.∴点N2坐标为（-，）.
综上所述：点N的坐标为N1（-3，），N2（-，）.
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专题过关
)
1．（1）等腰；
（2）∵抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
∴该抛物线的顶点（）．满足.∵b＞0，∴b=2．
（3）存在．
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，
则四边形ABCD为平行四边形．
当平行四边形ABCD为矩形．
又∵AO=AB，∴△OAB为等边三角形．
作AE⊥OB，垂足为E．∴AE=OE．
[来源:学
科
网]
∴=·.
∵b′＞0，∴b′=2．
∴A(，3)，B(2，0)
．∴C()，D(-2)．
设过点O，C，D三点的抛物线y=mx2+nx，则
解之，得∴所求抛物线的解析式为y=+2．
2（1）∵抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物菱形”是正方形，
∴∠AOB=45°∠OAB=90°．∴A点的横坐标，纵坐标相等．
∵A是抛物线y=-x2+bx（b＞0）的顶点，y=-x2+bx=-（x-）2+，
∴A（，）．∴=.解得b=2，
（2）①∵由抛物线y=-x2+bx（b＞0）可知OB=b，
∵∠OAB=60°，∴A（，）．代入y=-x2+bx得：b=-（）2+b?，解得：b=2，
∴OB=2，AC=6．∴“抛物菱形OABC”的面积=OB?AC=6；
②存在，理由如下：当三角板的两边分别垂直与AB和BC时三角形OEF的面积最小，
∵OE⊥AB，∴∠EOB=∠AOB=30°．同理∠BOF=30°．
∵∠EOF=60°,∴OB垂直EF且平分EF．∴△OEF是等边三角形．
∵OB=2，∴OE=3．∴OE=OF=EF=3．∴△OEF的面积=．
3．（1）当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴A（﹣1，0），B（3，0），对称轴为直线x＝＝1；
（2）∵直线l：y＝kx+b过A（﹣1，0），[来源:学
科
网Z
X
X
K]
∴0＝﹣k+b，即k＝b．∴直线l：y＝kx+k．
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a＝kx+k，即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k＝0．
∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4．
∴﹣3﹣＝﹣1×4．∴k＝a．∴直线l的函数表达式为y＝ax+a；
（4）以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a＝ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a＝0．
解得：x1＝﹣1，x2＝4．∴D（4，5a）．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，设P（1，m）．
AD是矩形ADPQ的一条边，则易得Q（﹣4，21a），
∴m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a）．
∵四边形ADPQ是矩形，∴∠ADP＝90°．∴AD2+PD2＝AP2．
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2＝22+（26a）2，即a2＝．∵a＜0，∴a＝﹣．∴P（1，﹣）；
②若AD是矩形APDQ的对角线，则易得Q（2，﹣3a），
∴m＝5a﹣（﹣3a）＝8a，则P（1，8a）．
∵四边形APDQ是矩形，∴∠APD＝90°．∴AP2+PD2＝AD2．
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2，
即a2＝，∵a＜0，∴a＝﹣
．∴P（1，﹣4），
综上所述，点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P（1，﹣）或（1，﹣4）．
4.在平面直角坐标系中，O为原点，直线y=-2x-1与y轴交于点A，与直线y=-x交于点B，点B关于原点的对称点为点C．
（1）求过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q．
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标；
②若点P的横坐标为t（-1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC面积最大？并说明理由．
解：（1）联立两直线解析式可得，解得∴B点坐标为（-1，1）．
又∵C点为B点关于原点的对称点，∴C点坐标为（1，-1）．
∵直线y=-2x-1与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，-1）．
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，可得解得
∴抛物线解析式为y=x2-x-1；
（2）①当四边形PBQC为菱形时，则PQ⊥BC，
∵直线BC解析式为y=-x，∴直线PQ解析式为y=x．
联立抛物线解析式可得，解得或，
∴P点坐标为（1-，1-）或（1+，1+）；
②当t=0时，四边形PBQC的面积最大，理由如下：如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，作x轴的垂线，交直线BC于点E．
则S四边形PBQC=2S△PBC=2×BC?PD=BC?PD．
∵线段BC长固定不变，∴当PD最大时，四边形PBQC面积最大．
又∠PED=∠AOC（固定不变），
∴当PE最大时，PD也最大．∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
设P点坐标为（t，t2-t-1），E点坐标为（t，-t）．∴PE=-t-（t2-t-1）=-t2+1．
∴当t=0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．
5．（1）由题意A（1，3），B（3，3），∴AB=2．
（2）如图1中，设P（m，-m2+4m），作PN∥y轴交BE于N．
∵直线BE的解析式为y=x，∴N（m，m）．
∴S△PEB=×2×（-m2+3m）=-m2+3m．
∴当m=时，△PEB的面积最大，此时P（，），H（，3）．∴PH=-3=．
作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°，作HK⊥OG于K交OC于F．
∵FK=OF，∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小．
∵?HG?OC=?OG?HK，∴HK==+．∴PH+HF+OF的最小值为+．
（3）如图2中，由题意CH=，CF=，QF′=，CQ=1，
∴Q（-1，3），D（2，4）．由勾股定理可得DQ=．
DQ为菱形的边时，S1（-1，3-），S2（-1，3+），S4（5，3）
②当DQ为对角线时，可得S3（-1，8），
综上所述，满足条件的点S坐标为（-1，3-）或（-1，3+）或（-1，8）或（5，3）．
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