专题10：直角三角形的存在性问题探究学案

专题十：直角三角形的存在性问题探究
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专题导入
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引例．如图，在平面直角坐标系中，点C(0，4)，射线CE∥x轴，直线y＝－x＋b交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若△ABD恰为等腰直角三角形，则b的值为
．
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方法点睛
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是否存在一点，使之与另外两个定点构成直角三角形的问题：首先弄清题意，注意区分直角顶点；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程(组)，求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．
解决方法如下
方法一：利用勾股定理进行边长的计算，从而来解决问题；
方法二：往往可以利用到一线等三角之K字（90°）类型和母子相似型类型，尝试建构相应的相似来进行处理；
方法三：可利用直径所对的圆周角为90°来处理．
导例解析：分三种情况讨论：①当∠ABD＝90°时，如图1，b＝；②当∠ADB＝90°时，如图2，b＝；③当∠DAB＝90°时，如图3，b＝2
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典例精讲
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类型一：利用勾股定理来解决直角三角形的存在性问题
例1.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．
第2题图
【分析】（1）首先由题意，根据抛物线的对称称轴公式，待定系数法，建立关于a，b，c的方程组，解方程组可得答案；
（2）首先利用勾股这事不师古求得BC，PB，PC的长，然后分别从点B为直角顶点，点C为直角顶点，点P为直角顶点去分析求得答案．
类型二：构造相似来解决直角三角形存在性问题
例2.如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋8与x轴交于点A(－6，0)，点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点P为线段AO上的一个动点，过点P作x轴的垂线l与抛物线交于点E，连接AE,EC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)如图②，当EC∥x轴时，点P停止运动，此时，在抛物线上是否存在点G，使△AEG是以AE为直角边的直角三角形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令x=0时，求出y轴交点坐标；
（2）先求出点P的坐标，再分两种情况计算：当∠AEG=90°时，判断出△EMG∽△APE，得出比例式求解即可；当∠EAG=90°时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算．
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专题过关
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1.
如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值；
(3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标．
2.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，过点B作直线BC⊥x轴，交直线y＝－2x于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线的顶点D的坐标，并判断顶点D是否在直线y＝－2x上；
(3)点P是抛物线上一动点，是否存在这样的点P(点A除外)，使△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；
(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
4．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.
①求点P的坐标；
②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2，4）．
（1）试写出b，c之间的关系式；
（2）当a＞0时，若一次函数y=x+4的图象与y轴及该抛物线的交点依次为D，E，F，且E，F的横坐标x1与x2之间满足关系x2=6x1．
①求△ODE与△OEF的面积比；
②是否存在a，使得∠EPF=90°？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
6.已知开口向下的抛物线y＝ax2﹣2ax+3与x轴的交点为A，B两点（点A在点B的左边），与y轴的交点为C，OC＝3OA．
（1）请直接写出该抛物线解析式；
（2）如图，D为抛物线的顶点，连接BD，BC，P为对称轴右侧抛物线上一点．若∠ABD＝∠BCP，求点P的坐标
（3）在（2）的条件下，M，N是抛物线上的动点．若∠MPN＝90°，直线MN必过一定点，请求出该定点的坐标．
答案
例1.
(1)由题意得，解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为直线x＝－1，抛物线经过A(1，0)，∴B(－3，0)．
设直线BC的解析式y＝mx＋n，把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n,得解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3．∴M(－1，2)；
(2)设P(－1，t)，∵B(－3，0)，C(0，3)，∴BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
①若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
例2(1)∵点A(－6，0)在抛物线y＝－x2＋bx＋8上，
∴0＝－×(－6)2＋(－6b)＋8，解得b＝－．
∴抛物线的解析式为y＝－x2－x＋8，令x＝0，得y＝8，∴C(0，8)；
(2))存在．如图①，连接EG，AG，过点G作GM⊥l，GN⊥x轴，垂足分别为M，N，
图①
∵EC∥x轴，∴EP＝CO＝8．把y＝8代入y＝－x2－x＋8，则8＝－x2－x＋8，解得x＝0(舍去)或x＝－2．∴P(－2，0)
．∴AP＝AO－PO＝4．
(ⅰ)如图①，当∠AEG＝90°时，∵∠MEG＋∠AEP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，
∴∠MEG＝∠EAP．又∵∠APE＝∠EMG＝90°，
∴△EMG∽△APE．∴=．设点G(m，－m2－m＋8)(m＞0)，
则GN＝MP＝－m2－m＋8．∴EM＝EP－MP＝8－(－m2－m＋8)＝m2＋m，
MG＝PN＝PO＋ON＝2＋m．
∴=＝，∴m＝－2(舍去)或m＝．∴G(，)；
(ⅱ)如图②，当∠EAG＝90°时，
图②
∵∠NAG＋∠EAP＝90°，∠AEP＋∠EAP＝90°，
∴∠NAG＝∠AEP．∵∠APE＝∠GNA＝90°，∴△GNA∽△APE．∴=．
设点G(n，－
n2－n＋8)(n＞4)，∴GN＝n2＋n－8，AN＝AO＋ON＝6＋n．
∴＝．∴n＝－6(舍去)或n＝．∴G(，－)
．
综上，符合条件的G点的坐标为(，)或(，－)．
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专题过关
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1．(1)由题意得，解得∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3；
(2)如图①，过点P作PG∥CF交CB与点G．
图①
由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3，∴∠OCB＝45°.同理可知∠OFE＝45°．∴△CEF为等腰直角三角形．∵PG∥CF，∴△GPE为等腰直角三角形．
∵F(0，m)，C(0，3)，∴CF＝3－m．∵△CEF∽△GEP，∴EF＝CF＝
(3－m),
PE＝PG．
设P(t，t2－4t＋3)(1则G(t，－t＋3)PE＝PG＝
(－t＋3－t－m)＝
(－m－2t＋3)
．
∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点，∴t2－4t＋3＝t＋m．
∴PE＋EF＝
(3－m)＋
(－m－2t＋3)＝
(－2t－2m＋6)＝－
(t＋m－3)＝－
(t2－4t)＝
－
(t－2)2＋4．
∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为4；
(3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如图②.
图②
当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论：
(ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD12＋BC2＝BD12，即(2－0)2＋(n－3)2＋(3)2＝(3－2)2＋(0－n)2
，解得n＝5；
(ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD22＋BC2＝CD22
即(2－3)2＋(n－0)2＋(3)2＝(2－0)2＋(n－3)2
，解得n＝－1，
综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．
2.：(1)∵y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(3，0)，B(－1，0)两点，
∴解得，∴抛物线的解析式为y＝x2－x－1；
(2)由y＝x2－x－1=（x-1）2－，∴抛物线的顶点D的坐标为(1，－)．
把x＝1代入y＝－2x中得y＝－2．
∵－≠－2，∴顶点D不在直线y＝－2x上；
(3)存在．理由如下：如图，过点C作x轴的平行线，与该抛物线交于点P1，P2，连接BP1，BP2.
∵直线BC⊥x轴，∴△P1BC、△P2BC都是直角三角形．
把x＝－1代入y＝－2x中得y＝－2×(－1)＝2．∴C(－1，2)．
∴把y＝2代入y＝x2－x－1中，得x2－x－1＝2，
解得x1＝＋1，x2＝－＋1.∴P1(＋1，2)，P2(－＋1，2)．
3.
(1)设抛物线解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，即y＝ax2－2ax－3a．
∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.
当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0，3)．
设直线AC的解析式为y＝px＋q，
把A(－1，0)，C(0，3)代入得解得∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.
(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1，4)．
如图，作B点关于y轴的对称点B′，则B′(－3，0)，连接DB′交y轴于M.
∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小．
∵BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小．易得直线DB′的解析式为y＝x＋3.
当x＝0时，y＝x＋3＝3，∴点M的坐标为(0，3)．
(3)存在，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)．
4．(1)在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.
∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.又∵tan∠ABC＝2，
∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为(－2，6)．
把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中，得
解得∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4.
(2)①由点A(－2，6)和点B(1，0)的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.
如图，设点P的坐标为(m，－m2－3m＋4)，则点E的坐标为(m，－2m＋2)，点D的坐标为(m，0)
．则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2，
由PE＝DE得－m2－m＋2＝(－2m＋2)，解得m＝±1.
又∵－2＜m＜1，∴m＝－1，∴点P的坐标为(－1，6)．
②∵M在直线PD上，且P(－1，6)，设M(－1，y)，
∴AM2＝(－1＋2)2＋(y－6)2＝1＋(y－6)2，BM2＝(1＋1)2＋y2＝4＋y2，AB2＝(1＋2)2＋62＝45.
分三种情况：
(ⅰ)当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，∴1＋(y－6)2＋4＋y2＝45，解得y＝3±．
∴M(－1，3＋)或(－1，3－)；
(ⅱ)当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，∴45＋4＋y2＝1＋(y－6)2，解得y＝－1，∴M(－1，－1)．
(ⅲ)当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，
∴1＋(y－6)2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M(－1，)．
综上所述，点M的坐标为(－1，3＋)或(－1，3－)或(－1，－1)或(－1，)．
5．（1）∵抛物线顶点坐标为（2，4），
∴抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+4=ax2﹣4ax+4a+4，
∴b=﹣4a，c=4a+4．∴b+c=4；
（2）①由题意可知△ODE和△ODF的底边DE、DF边上的高相同，
∴S△ODE：S△ODF=DE：DF=x1：x2=1：6．∴S△ODE：S△OEF=1：5；
②如图，分别过E，F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，交直线DP于点M、N，
∵直线y=x+4，∴设点E坐标为（m，m+4），则点F的坐标为（6m，6m+4）．
∴EM=EG﹣MG=m+4﹣4=m，FN=FH﹣NH=6m+4﹣4=6m，PM=PD﹣MD=2﹣m，PN=DN﹣PD=6m﹣2，
∵∠EPF=90°，∴∠EPM+∠FPN=90°，且∠FPN+∠PFN=90°．∴∠EPM=∠PFN．
∴△EPM∽△PEN．∴，即．整理可得6m2+7m+2=0，解得m=或m=，
当m=时，点E（，），F（3，7），把F点坐标代入抛物线解析式可得a+4=7，解得a=3，
∴抛物线解析式为y=3（x﹣2）2+4，当x=时，代入可求得y=≠，即点E不在该抛物线图象上，不符合题意．
当m=时，点E（,），F（4，8），把F点坐标代入抛物线解析式可求得a=1．
∴抛物线解析式为y=（x﹣2）2+4．
当x=时，代入可求得y=≠，即点E不在抛物线图象上，不符合题意，
综上可知不存在满足条件的a的值．
6.（1）当x＝0时，y＝ax2﹣2ax+3＝3，
∴C（0，3），OC＝3OA＝3．∴OA＝1，A（﹣1，0）．
把点A（﹣1，0）代入抛物线解析式,得：a+2a+3＝0，解得a＝﹣1．
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，若点P在抛物线对称轴右侧且在x轴上方，
过点P作PE∥y轴交BC于点E，PF⊥BC于点F，过点D作DH⊥x轴于点H，
∴∠CFP＝∠BHD＝90°．
∵当y＝﹣x2+2x+3＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝3．∴A（﹣1，0），B（3，0）．
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4）．∴DH＝4，BH＝3﹣1＝2．
∴BD＝．
∴Rt△BDH中，sin∠ABD＝．
∵C（0，3）∴BC＝，PC＝．
设直线BC解析式为y＝kx+b，∴解得：，
∴直线BC解析式为y＝﹣x+3．
设P（p，﹣p2+2p+3）（1＜p＜3），则E（p，﹣p+3），
∴PE＝﹣p2+2p+3﹣（﹣p+3）＝﹣p2+3p．
∵S△BCP＝PE?OB＝BC?PF，∴PF＝．
∵∠ABD＝∠BCP，∴Rt△CPF中，sin∠BCP＝＝sin∠ABD＝．
∴PF＝PC．∴PF2＝PC2．解得p1＝﹣1（舍去），p2＝．
∴﹣p2+2p+3＝．∴点P坐标为（，）．
如图2，若点P在x轴下方，
∵tan∠ABD＝＝2＞tan45°，∴∠ABD＞45°．
∵∠BCP＜∠BOC即∠BCP＜45°，∴∠ABD与∠BCP不可能相等．
综上所述，点P坐标为（，）；
（3）如图3，过P作PH∥y轴，分别过点M、N作MG⊥PH于G，NH⊥PH于H．
设直线MN的解析式为y＝kx+n，M（x1，y1）、N（x2，y3），
令kx+n＝﹣x2+2x+3，即＝x2+（k﹣2）x+n﹣3＝0，
∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝n﹣3．
∴y1+y2＝k（x1+x2）+2n＝k（2﹣k）+2n．
y1y2＝（kx1+n）（kx2+n）＝k2x1x2+nk（x1+x2）+n2＝﹣3k2+2nk+n2，
∵∠G＝∠MPN＝∠H，∴△MPG∽△PNH．∴
．
∵P坐标为（，），MG＝﹣x1，PH＝y1﹣，HN＝，GP＝．
∴．整理，得．
∴．
解得
k1＝﹣3n+，k2＝．
∴直线MN；y＝（﹣3n+）x+n＝（﹣3x+1）n+，过定点（，）；
或y＝（）x+n＝（）n+，过定点（，）即P点，舍去．
∴直线MN过定点（，）．
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