人教版初中数学八年级下册19.2.2待定系数法求一次函数的解析式教案

一次函数的表达式
教学目标
1．了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题．
2．经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法；
3．经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．
教学重点：根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式．
教学难点：在实际问题情景中寻找条件，确定一次函数的表达式．
第一环节：复习引入
内容：提问：（1）什么是一次函数？
（2）一次函数的图象是什么？
（3）一次函数具有什么性质？
意图：学生回顾一次函数相关知识，温故而知新．
第二环节：初步探究
内容1：
展示实际情境
提供两个问题情境，供老师选用．
实际情境一：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v(米/秒)与其下滑时间t(秒
)的关系如图所示．
(1)写出v与t之间的关系式；
(2)下滑3秒时物体的速度是多少？
分析：要求v与t之间的关系式，首先应观察图象，确定函数的类型，然后根据函数的类型设它对应的解析式，再把已知点的坐标代入解析式求出待定系数即可．
实际情境二：假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间
的关系如图所示．
（1）这是一次多少米的赛跑？
（2）甲、乙二人谁先到达终点？
（3）甲、乙二人的速度分别是多少？
（4）求甲、乙二人与的函数关系式．
意图：利用函数图象提供的信息可以确定正比例函数的表达式，一方面让学生初步掌握确定函数表达式的方法，即待定系数法，另一方面让学生通过实践感受到确定正比例函数只需一个条件．情景一、二可根据学生情况进行选取，情景二几个问题有一定的梯度，学生可能更易写出函数关系式．
教学注意事项：学生可能会用图象所反映的实际意义来求函数表达式，如先求出速度，再写表达式，教师应给予肯定，但要注意比较两种方法异同，并突出待定系数法．
内容2：
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？确定一次函数的表达式呢？
意图：在实践的基础上学生加以归纳总结。这个问题涉及到数学对象的一个本质概念——基本量．由于一次函数有两个基本量、，所以需要两个条件来确定．
第三环节：深入探究
内容1：
例1
在弹性限度内，弹簧的长度y(厘米)是所挂物体的质量x(千克)的一次函数，当所挂物体的质量为1千克时，弹簧长15厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米．写出y与x之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度．
解：设，根据题意，得
14.5=，
①
16=3+，②
将代入②，得．
所以在弹性限度内，．
当时，（厘米）．
即物体的质量为千克时，弹簧长度为厘米．
意图：
引例中设置的是利用函数图象求函数表达式，这个例子选取的是弹簧的一个物理现象，目的在于让学生从不同的情景中获取信息求一次函数表达式，进一步体会函数表达式是刻画现实世界的一个很好的数学模型．这道例题关键在于求一次函数表达式，在求出一般情况后，第二个问题就是求函数值的问题可迎刃而解．
教学注意事项：
学生除了从函数的观点来考虑这个问题之外，还有学生是用推理的方式：挂3千克伸长了1.5厘米，则每千克伸长了0.5厘米，同样可以得到与间的关系式．对此，教师应给予肯定，并指出两种方法考虑的角度和采用的方法有所不同．
内容2：
想一想：大家思考一下，在上面的两个题中，有哪些步骤是相同的，你能否总结出求一次函数表达式的步骤．
求函数表达式的步骤有：1．设一次函数表达式．
2．根据已知条件列出有关方程．
3．解方程．
4．把求出的k，b值代回到表达式中即可．
意图：对求一次函数表达式方法的归纳和提升。在此基础上，教师可指出这种先将表达式中未知系数用字母表示出来，再根据条件求出这个未知系数，这种方法称为待定系数法．
第四环节：反馈练习
内容：
1．若一次函数的图象经过A（－1，1），则
，该函数图象经过点B（1，
）和点C（
，0）．
2．如图，直线是一次函数的图象，填空：
（1）
，
；
（2）当时，
；
（3）当时，
．
3．已知直线与直线平行，且与y轴交于点（0，2），求直线的表达式．
答案：
１．．
２．⑴
；
⑵；
⑶．
３．．
意图：
三个练习旨在对学生求一次函数表达式的掌握情况进行反馈，以便及时调整教学进程．
效果：
三个不同类型的问题由浅入深，学生能从不同角度掌握求一次函数的方法．对于问题3，教师可引导学生分析，并教学生要学会画图，利用图象分析问题，体会数形结合方法的重要性．学生若出现解题格式不规范的情况，教师应纠正并给予示范，训练学生规范答题的习惯．
第五环节：课时小结
内容：
总结本课知识与方法
1.本节课主要学习了怎样确定一次函数的表达式，在确定一次函数的表达式时可以用待定系数法，即先设出解析式，再根据题目条件（根据图象、表格或具体问题）求出，的值，从而确定函数解析式。其步骤如下：（1）设函数表达式；（2）根据已知条件列出有关k，b的方程；（3）解方程，求k，b；4．把k，b代回表达式中，写出表达式．
2．本节课用到的主要的数学思想方法：数形结合、方程的思想．
意图：
引导学生小结本课的知识及数学方法，使知识系统化．
第六环节：作业布置
习题6.5：1，2，4．
意图：进一步巩固当天所学知识。教师也可根据学生情况适当增减，但难度不应过大．
教学设计反思
（1）设计理念
本节课的重点是要学生了解正比例函数的确定需要一个条件，一次函数的确定需要两个条件，能由条件利用待定系数法求出一些简单的一次函数表达式，并能解决有关现实问题．本节课设计注重发展了学生的数形结合的思想方法及综合分析解决问题的能力及应用意识的培养，为后继学习打下基础．
（2）突出重点、突破难点策略
探究的过程由浅入深，并利用了丰富的实际情景，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到一次函数就在我们身边，应用非常广泛．教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求一次函数表达式的一般方法．教学中还注意到尊重学生的个体差异，使每个学生都学有所获．
（3）分层教学
根据本班学生及教学情况可在教学过程中选择下述内容进行补充或拓展，也可留作课后作业．
基础训练：
1．一次函数y=kx+b的图象如图所示，看图填空：
（1）当x=0时，y=____________，当x=____________时，y=0；
（2）k=__________，b=____________；
（3）当x=5时，y=__________，当y=30时，x=___________.
2．油箱中存油20升，油从油箱中均匀流出，流速为0．2升／分钟，则油箱中剩余油量
Q（升）与流出时间t(分钟）的函数关系是（
）．
A．
B．
C．
D．
提高训练：
3．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元是行李质量x(千克)的一次函数，其图象如下图所示．
(1)写出y与x之间的函数关系式；
(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？
知识拓展：
４．已知直线经过点（）且与坐标轴围成的三角形的面积为，求该直线的表达式．
５．如图，某气象中心观测一场沙尘暴从开始到结束的全过程．开始时风速平均每小时增加2km/h，4h后，沙尘暴经过开阔的荒漠地，风速变为平均每小时增加4km/h．一段时间，风速保持不变．当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减少1km/h，最终停止．结合图象，回答下列问题：
（1）
在y轴括号内填入相应的数值；
（2）
沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？
（3）
求出当，风速y(km/h)与时间x（小时）之间的函数关系式．
意图：教学设计都是针对特定的学生群体，有一定的针对性．例如从整节课的设计来看，可能对学习能力较强的学生关注不够．因此这里提供一些分层训练，以供针对各种情况调整教学加以选择．既可课内完成也可课外作业．
　
x/s
０
20
2525
y/m
100
甲
乙
5
1