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圆的标准方程
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆
B．两个圆
C．半个圆
D．两个半圆
解析：选D 由题意，得即或故原方程表示两个半圆．
2．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线x－y＝0对称
D．关于直线x＋y＝0对称
解析：选D 易得圆心C(－a，a)，即圆心在直线y＝－x上，所以该圆关于直线x＋y＝0对称，故选D．
3．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
解析：选D 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D．
5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2
B．1
C．
D．
解析：选B x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－＝1.
6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________．
解析：因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r＝＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝20
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
解析：由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.
答案：(x－2)2＋(y－4)2＝20
8．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．
解析：因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
答案：(－1,1)
9．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
解：设圆心为(a,0)，
则＝，所以a＝－2.
半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.
10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．
解：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.把点A，B的坐标代入，
得消去r2，得b＝5a－5.①
令x＝0，则(y－b)2＝r2－a2，y＝b±，
∴在y轴上的截距之和是2B．
令y＝0，则(x－a)2＝r2－b2，x＝a±，
∴在x轴上的截距之和是2a.
∴2a＋2b＝4，即a＋b＝2.②
①代入②，得a＝，∴b＝.
∴r2＝2＋2＝.
∴圆的标准方程为2＋2＝.
层级二 应试能力达标
1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．不确定
解析：选C ∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．
2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选D 由题意，知(－a，－b)为圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心．由直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，得到a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，故圆心位于第四象限．
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
解析：选B
画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
解析：选C 由已知圆(x－1)2＋y2＝1得圆心C1(1,0)，半径长r1＝1.
设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点为(a，b)，
则解得
所以圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝1.
5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．
解析：圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(－2,1)，半径r＝1，
则点M关于原点的对称点为C(2，－1)，圆C的
半径也为1，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案：(x－2)2＋(y＋1)2＝1
6．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
解析：由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.
答案：1
7．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
解：(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.
8．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的方程．
解：设圆C2的圆心坐标为(m，n)．
因为直线l的斜率k＝－，圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r＝2，
所以，由对称性知解得
所以圆C2的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝4.
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圆的标准方程
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学号________
层级一 学业水平达标
1．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )
A．一个圆
B．两个圆
C．半个圆
D．两个半圆
2．方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆( )
A．关于x轴对称
B．关于y轴对称
C．关于直线x－y＝0对称
D．关于直线x＋y＝0对称
3．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
4．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )
A．x＋y－2＝0
B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0
D．x－y＋3＝0
5．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2
B．1
C．
D．
6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________．
7．圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
8．若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．
9．求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
10．求过点A(－1,3)，B(4,2)，且在x轴，y轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．
层级二 应试能力达标
1．点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是( )
A．在圆内
B．在圆上
C．在圆外
D．不确定
2．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A．6
B．4
C．3
D．2
4．已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的方程为( )
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．x2＋y2＝1
C．x2＋(y＋1)2＝1
D．x2＋(y－1)2＝1
5．若圆C与圆M：(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的标准方程是________________．
6．已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
7．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
8．已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4，直线l：14x＋8y－31＝0，求圆C1关于直线l对称的圆C2的方程．
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