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导数复习(1)
高二年级
数学
称为函数
在
处的导数,
记作
,即
一般地,
函数
在
处的瞬时变化率
导数的概念
称函数
导数的概念
为
的导函数,
简称导数.
函数
在
处的
的几何意义是曲线
上的点
处的切线的斜率.
相应的切线方程为:
曲线
在
处有切线,
未必存在.
导数的几何意义
基本初等函数的导数公式表
为正整数
为有理数
基本初等函数的导数公式表
基本初等函数的导数公式表
若
是可导函数,
则
导数的四则运算法则
设函数
在
内可导,
函数的单调性研究
（1）如果在
内,
,
则
在此区间上是增函数;
若函数
在此区间上是增函数,
则
;
（2）如果在
内,
,
则
在此区间上是减函数;
若函数
在此区间上是减函数,
则
.
已知函数
及其定义域内一点
,
对于存在一个包含的开区间内的所有点
,
都有
函数的极值与最值
则称函数
在点
处取得极大值,
记作
,
并称
为
的一个极大值点；
如果都有
函数的极值与最值
则称函数
在点
处取得极小值,
记作
,
并称
为
的一个极小值点.
极大值与极小值统称为极值,
极大值点与极小值点统称为
极值点.
函数的最大（小）值是指函数在指定区间内的最大（小）的值.
函数的极值与最值
函数的极值是局部性质.
函数的最值是整体性质.
的符号由正到负,
则
是极大值;
的符号不改变,
不是极值点.
的符号由负到正,
则
是极小值;
对于可导函数
,
是其定义域内一点,
函数的极值与最值
若函数
在
处取得极值,
则
;
考察
左右两侧导函数
的符号：
定义在闭区间
上的连续函数
,
其最大值和最小值一定存在，我们可以通过比较它的极值，端点函数值以及导数不存在点的函数值得到.
函数的极值与最值
例
若函数
的图象如图所示，则
的图象可能是（
）
D
解：由函数
的图象可知，
在
上单调递增,
在
上单调递减,
,
选项D满足题意.
例
函数
的导函数
的图象如图所示，则
的图象可能是（
）
由函数
的图象可知，
有三
个零点,
从左到右记为
,
且
.
函数
在
处分别取得极小值、
极大值与极小值.
例
函数
的导函数
的图象如图所示，则
的图象可能是（
）
D
例
求下列函数的单调区间,
若存在极值,
求出极值.
(1).
(2).
(3).
(4).
定义
常见函数的单调性
复合函数的单调性
利用导数研究函数的单调性
令：
,
(1).
解：首先考察函数的定义域：
,
例
求下列函数的单调区间,
若存在极值,
求出极值.
极小值
极大值
所以函数
的单调增区间是
,
单调减区间是
和
回忆：利用公式
，将函数变形为
的形式，利用正弦曲线的性质来处理.
(2).
解：
,
当
时,
函数单调增;
当
时,
函数单调减.
所以函数
的单调增区间是：
单调减区间是：
思考：(1）中我们考察了导函数
的符号，从而判断出函数
的单调性，对于三角函数我们是否也可以这样做呢？
(2).
解：
,
当
时,
;
当
时,
.
即当
时,
,
函数单调增;
当
时,
,
函数单调减.
所以函数
的单调增区间是：
单调减区间是：
(3).
分析：首先考察函数的定义域：
,
是幂函数和正弦函数的和,
既不能单纯的用幂函数的单调性来判定,
也不能单纯的用正弦函数的单调性来判定,
由（1）与（2）我们确信函数的单调性都可以归结于判断导函数的符号.
解：
,
由于
,
所以
,
函数在
上单调增,
函数
无极值.
(4).
解：首先考察函数的定义域：
,
令：
,
是单调递减函数,
是其唯一零点.
极大值
所以函数
的单调增区间是
,
单调减区间是
利用导数研究函数的单调性
确定函数的定义域
求出函数的导数
判定导函数的符号
确定函数单调性
解不等式
常见函数
函数值域
单调性
例
已知函数
,
试确定
的单调区间.
解：函数
的定义域是：
.
令
,
当
时,
与
的符号相同.
(1)当
时,
即
时,
函数的单调增区间是:
,
单调减区间是:
和
.
(2)当
时,
,
函数的单调减区间是：
和
(3)当
时,
即
时,
函数的单调增区间是:
,
单调减区间是:
和
.
判定导函数的符号
确定函数单调性
含参一元二次不等式
两根的大小关系
二次项系数
判别式
例
已知函数
有三个不同的零点,
试确定
的取值范围.
分析：函数
是一个三次函数,
其三次项系数为1,
通过对其单调性的讨论,
我们能得到它的大致图象.
结合图象,
由连续函数的零点存在定理,
我们可以讨论其零点存在问题.
例
已知函数
有三个不同的零点,
试确定
的取值范围.
解：
极大值
极小值
已知函数有三个不同的零点,
所以,
此时,
在
有唯一一个零点,
此时,
在
分别
有一个零点,
满足题意.
所以,
例
已知函数
有三个不同的零点,
试确定
的取值范围.
换一个角度思考：
有三个不同的零点
有三个不同的根
直线
方程
图象有三个不同交点
与
解：
令
,
所以,
（1）复习巩固了导数的相关概念,
梳理并建立导数相关概念间的结构.
课堂小结
（2）通过例题的讲解，再次熟悉利用导数研究函数单调性、极值与零点等性质的方法与步骤.
课后作业
已知函数
.
（1）
讨论函数
的单调区间;
（2）
设函数
在区间
内是减函数,
求
的取值范围.教
案
教学基本信息
课题
导数复习（1）
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名：
普通高中课程标准实验教科书数学选修1-1
（B版）
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2007
年
4
月第二版
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1.
使学生对本章知识结构有总体的把握，明晰各知识点之间的关联；
2.
掌握利用导数研究函数的性质的方法，熟悉解题过程，规范解题格式.
3.
加深对函数与方程，等价转化，数形结合等数学思想方法的理解.
教学重点：如何利用导数来研究函数的单调性与极值，零点等性质.
教学难点：含有参数问题的分类讨论.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
前面几节课同学们学习了导数这一章，现在我们来复习一下这一章的知识和常见题型的解题方法.
开门见山，指明复习课的主题.
新课
和
例题
梳理本章的知识结构
导数的概念
导数的几何意义
为正整数为有理数
导数的四则运算法则
导数的单调性研究
导数的极值与最值的定义与判定
典型例题：
例.
若函数的图像如图所示，则的图像可能是( )
例.
函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是( )
例.
求下列函数的单调区间，若存在极值，求出极值：
(1)
(2)
(3)
(4)
例.
已知函数，试确定的单调区间.
例.
若函数有三个不同的零点，求的取值范围.
明晰各部分知识间的联系.
加强理解导数的概念及几何意义
分析导函数解析式结构，帮助理解和记忆求导公式,为后续求函数导数做准备.
复习重要知识点，加深印象
由原函数的单调性判定导函数的符号
由导函数的符号判定原函数的单调性.
通过具体的例子，利用导函数研究函数的单调性与极值，理解如何用不同的方法来确定到导函数的符号，规范解题格式.
通过对含有参数的函数的单调性的讨论，体会和感悟分类讨论的数学思想.
讨论函数的零点问题，体会数形结合，转化划归的数学思想.
总结
（1）复习巩固了导数的相关概念,
梳理并建立导数相关概念间的结构.
（2）通过例题的讲解，再次熟悉利用导数研究函数单调性、极值与零点等性质的方法与步骤.
作业
已知函数.
(1)讨论函数的单调性.
(2)设函数在区间上是减函数，求的取值范围.
1
