教
案
教学基本信息
课题
复数代数形式的乘除运算
学科
数学
学段：高中
年级
高二
教材
书名：
普通高中课程标准实验教科书
数学
选修2-2（A版）
出版社：
人民教育出版社
出版日期：
2007
年
1
月
教学目标及教学重点、难点
教学目标：
1．明确复数乘法法则和除法法则的具体内容，经历应用法则解决复数乘、除运算问题的过程，在应用法则的过程中，发展数学运算素养．
2．通过对定义复数乘法法则的背景分析，体会规定复数乘法法则的合理性，发展逻辑推理素养．
3．经历复数代数形式的除法法则的定义过程，体验类比的方法，提高分析和解决问题以及知识迁移的能力，发展逻辑推理素养．
教学重点：复数的乘法、除法法则及其应用．
教学难点：复数的除法法则及其应用．
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
类比实数的运算系统，实数有加、减、乘、除四则基本运算，已经学习了复数的加法法则和减法法则，今天这节课开始探讨复数的乘法法则和除法法则．
类比实数的运算系统，学习复数的运算．
新课
复数的乘法法则
问题1
类比复数的加法法则和减法法则，你可以尝试定义复数的乘法法则吗？
即设，是两个任意的复数，其中是实数，那么它们的积等于什么呢?
类比前面定义复数加法法则的方法，按照多项式相乘的法则进行运算，把结果中的换成-1，并且把运算结果整理为的形式，因此得到：
规定复数的乘法法则如下：
设，，那么
．
问题2
两个复数乘法运算法则，从运算过程上看与那种运算类似？
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，把复数中的实部与虚部看成常数，把虚数单位看成是“变元”，
就可以把复数看成是一个关于
的“一次二项式”，将复数的乘法按多项式乘法进行，在所得结果中把换成-1，并且把实部和虚部分别合并即可．
问题3
两个复数乘法运算法则从运算结果上有什么特点？
两个复数的积仍然是一个复数，就像两个实数相乘，结果仍是实数一样．其实部为，虚部为．
当且时，，此时复数的乘法法则与实数的乘法法则一致.
二、复数乘法的运算律
问题4
数系扩充之后，我们在复数集内定义了乘法运算，复数集中规定的乘法运算，应该与原来的实数集中的乘法运算协调一致，并且满足交换律和结合律，以及对加法的分配律，请同学们进行验证？
以交换律为例进行验证．
设，验证：是否成立．
．
．
因为实数的乘法运算满足交换律，所以，，根据复数相等的定义，，复数的乘法满足交换律．
对于任意的，有
，
．
三、例题分析
例1
计算．
解：
例2
计算下列各式的值．
（1）
（2）
解：（1）
（2）
四、共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．通常记复数的共轭复数为，读作复数的共轭复数．即，则．
问题5
若是共轭复数，他们的实部与虚部有什么关系？
若是共轭复数，那么他们的实部相等，虚部互为相反数，即，．
问题6
若是共轭复数，那么在复平面内，他们所对应的点有怎样的位置关系？
在复平面内，两个共轭复数所对应的点关于实轴也就是轴对称．如图所示：
问题7
若是共轭复数，那么，的运算结果是什么样的？
为实数，当时为实数0，当时为纯虚数；对于，可以利用平方差公式进行计算，结果等于为实数．
，正向应用简化复数乘法的运算过程；
，逆向应用实现对两个数平方和进行因式分解．
五、复数的除法法则
问题8
类比实数的除法是乘法的逆运算，规定复数的除法是乘法的逆运算，请同学们尝试探求复数的除法法则．
1．利用待定系数法求出两个复数的商
设，类比实数的除法是乘法的逆运算以及复数减法法则的定义方法，应该有，复数是复数的商．
，根据复数相等的定义：
得到方程组，解方程组得到．
因此：
即．
2．类比分母有理化的过程得出分母实数化的过程
将除法算式写成分式结构，．
问题9
观察这个等式的左右两边，你会发现什么呢？
等式从左边到右边实现了分母由虚数变为实数．
问题10
以前学过的知识有没有类似这样的变形呢？
分母由无理数变为有理数的有理化过程．
问题11
根据目前所学过的知识，能不能通过分子分母同时乘以一个因式而实现分母由虚数变为实数呢？
通过分子分母同时乘以分母的共轭复数来实现分母由虚数变为实数的变形．
3．定义复数的除法法则
．
两个复数相除，首先要把除法算式写成分式结构，
再把分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后分子分母分别进行乘法运算，最后把结果整理为的形式．
两个复数相除（除数不为0），所得的商是一个确定的复数，其实部为，虚部为．
类比复数加法法则的定义方法以及实数乘法的运算法则,定义复数乘法运算法则．
明确复数乘法的运算过程类似于两个多项式相乘．
帮助学生理解复数的乘法法则．
明确复数乘法运算的结果是一个复数，注意书写规范．
理解复数乘法运算与实数乘法运算的协调一致性．
通过验证复数乘法运算与实数乘法运算的协调一致性，以及满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，体会为什么如此规定复数的乘法运算，乘法运算法则的合理性．
通过对乘法法则的应用，加深对乘法法则的理解，提升数学运算的核心素养．
实数系中的乘法运算公式在复数系中仍然成立，运用乘法公式可以简化运算过程，同时第一小题也为后面引出共轭复数的概念做好铺垫．
明确共轭复数的概念，从结构特点、几何意义和运算关系三个方面对共轭复数进行分析，为后面复数除法法则的定义做铺垫．
类比平方差公式得出平方和公式．
类比复数减法法则的定义方法，利用待定系数法求出两个复数相除（分母不为0）的商．
类比无理数的分母有理化，理解复数的分母实数化．
明确两个复数除法法则的运算过程，为解决复数除法运算问题打基础．
明确两个复数相除的结果仍然是一个确定的复数．
例题
例3
计算的值．
解：
例4
在复数范围内，解下列方程．
（1），
（2）
解：（1）
（1）
（2）
（2）
通过对除法法则的应用，加深对除法法则的理解，掌握复数除法的运算过程，提升数学运算的核心素养．
与本章引言相呼应，安排了从特殊到一般的两道小题，在复数范围内求解实系数一元二次方程．
总结
知识方面：明确了复数代数形式的乘法法则、共轭复数的概念、复数代数形式的除法法则；并能够在复数范围内求解实系数一元二次方程．
思想方法方面：类比实数多项式的运算法则得出了复数乘法的运算法则；类比实数的分母有理化得到了复数的分母实数化．
对本节课的知识进行梳理，体会其中蕴含的数学思想方法，将其转化为自己的学习经验．
作业
1．计算下列各式的值．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2．已知是关于的方程
的一个根，求实数的值．
巩固本节课所学知识．(共169张PPT)
复数代数形式的乘除运算
高二年级
数学
类比实数的运算系统，实数有加、减、乘、除四则运算，前面我们已经学习了复数的加法和减法法则，今天这节课我们开始探讨复数的乘法和除法法则．
问题1
我们已经学习了复数的加法和减法法则，你可以尝试定义复数的乘法法则吗？
一、乘法法则
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
问题1
我们已经学习了复数的加法和减法法则，你可以尝试定义复数的乘法法则吗？
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
．
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
．
一、乘法法则
问题2
观察我们定义的两个复数的乘法运算法则，类似于我们学过的哪种运算？
．
一、乘法法则
问题2
观察我们定义的两个复数的乘法运算法则，类似于我们学过的哪种运算？
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把
换成
，并且把实部与虚部分别合并即可．
一、乘法法则
．
问题3
观察两个复数的乘法运算的结果，有什么特点？
问题3
观察两个复数的乘法运算的结果，有什么特点？
一、乘法法则
两个复数相乘，所得运算结果是一个确定的复数，实部是
，虚部是
．
一、乘法法则
问题4
数系扩充之后，我们在复数集中定义了乘法运算，复数集中规定的乘法运算，应该与原来的实数集中的乘法运算协调一致，并且满足交换律和结合律，以及乘法对加法的分配律，你能验证这一点吗？
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
．
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
．
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
．
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
．
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
．
．
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
一、乘法法则
设
是任意两个复数，那
么它们的积
所以复数的乘法满足交换律．
一、乘法法则
对于任意
，有
，
，
．
一、乘法法则
例
计算
的值．
一、乘法法则
例
计算
的值．
解：
一、乘法法则
例
计算
的值．
解：
一、乘法法则
例
计算
的值．
解：
一、乘法法则
例
计算
的值．
解：
一、乘法法则
例
计算
的值．
解：
．
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
；
（2）
．
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
解：（1）
．
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
平方差公式
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
平方差公式
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
平方差公式
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
平方差公式
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
平方差公式
解：（1）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（1）
平方差公式
解：（1）
．
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
解：（2）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
解：（2）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
解：（2）
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
解：（2）
．
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
完全平方公式
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
解：（2）
完全平方公式
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
解：（2）
完全平方公式
一、乘法法则
例
计算下列各式的值．
（2）
解：（2）
完全平方公式
．
本例题（1）中的两个复数
，
它们的实部相等，虚部互为相反数，这样的两个复数称为共轭复数．
二、共轭复数
本例题（1）中的两个复数
，
它们的实部相等，虚部互为相反数，这样的两个复数称为共轭复数．
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数称为共轭复数．
二、共轭复数
本例题（1）中的两个复数
，
它们的实部相等，虚部互为相反数，这样的两个复数称为共轭复数．
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数称为共轭复数．复数
的共轭复数用
表示．
二、共轭复数
本例题（1）中的两个复数
，
它们的实部相等，虚部互为相反数，这样的两个复数称为共轭复数．
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数称为共轭复数．复数
的共轭复数用
表示．
即
，
二、共轭复数
本例题（1）中的两个复数
，
它们的实部相等，虚部互为相反数，这样的两个复数称为共轭复数．
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数称为共轭复数．复数
的共轭复数用
表示．
即
，那么
．
二、共轭复数
二、共轭复数
问题5
若
，
是共轭复数，那么它们的实部与虚部有什么关系？
二、共轭复数
问题5
若
，
是共轭复数，那么它们的实部与虚部有什么关系？
，
的实部相等，虚部互为相反数．
二、共轭复数
问题5
若
，
是共轭复数，那么它们的实部与虚部有什么关系？
，
的实部相等，虚部互为相反数．
即
，
二、共轭复数
问题5
若
，
是共轭复数，那么它们的实部与虚部有什么关系？
，
的实部相等，虚部互为相反数．
即
，
．
二、共轭复数
问题6
若
，
是共轭复数，那么它们所对应的点有怎样的位置关系？
二、共轭复数
问题6
若
，
是共轭复数，那么它们所对应的点有怎样的位置关系？
二、共轭复数
问题6
若
，
是共轭复数，那么它们所对应的点有怎样的位置关系？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
问题7
若
，
是共轭复数，那么
的结果是怎样的？
二、共轭复数
若
，
是共轭复数，那么
，结果为实数；
，当
时结果为实数0，当
时结果为
纯虚数；
，结果为实数．
二、共轭复数
若
，
是共轭复数，那么
，结果为实数；
，当
时结果为实数0，当
时结果为
纯虚数；
，结果为实数．
二、共轭复数
若
，
是共轭复数，那么
，结果为实数；
，当
时结果为实数0，当
时结果为
纯虚数；
，结果为实数．
三、除法法则
问题8
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请同学们尝试探求复数的除法法则．
三、除法法则
问题8
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请同学们尝试探求复数的除法法则．
设
，类比实数的除法是乘法的逆运算以及复数减法法则的定义方法，应该有
三、除法法则
问题8
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请同学们尝试探求复数的除法法则．
设
，类比实数的除法是乘法的逆运算以及复数减法法则的定义方法，应该有
三、除法法则
问题8
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算，请同学们尝试探求复数的除法法则．
设
，类比实数的除法是乘法的逆运算以及复数减法法则的定义方法，应该有
那么如何求出复数
？
三、除法法则
三、除法法则
三、除法法则
三、除法法则
三、除法法则
根据复数相等的定义可以得到
三、除法法则
三、除法法则
三、除法法则
即
．
三、除法法则
三、除法法则
三、除法法则
问题9
观察式子的左右两边，形式上的主要变化是什么？
三、除法法则
问题9
观察式子的左右两边，形式上的主要变化是什么？
等式右边的分母由虚数变为了实数．
问题10
以前所学的知识，有没有类似的变形？
三、除法法则
问题10
以前所学的知识，有没有类似的变形？
三、除法法则
问题10
以前所学的知识，有没有类似的变形？
三、除法法则
问题10
以前所学的知识，有没有类似的变形？
三、除法法则
无理数的分母有理化．
三、除法法则
问题11
根据我们所学的知识，能不能实现分母由虚数变成实数的变形？
三、除法法则
问题11
根据我们所学的知识，能不能实现分母由虚数变成实数的变形？
分子分母同时乘以分母的共轭复数．
三、除法法则
三、除法法则
把除法算式写
成分式结构
三、除法法则
把除法算式写
成分式结构
三、除法法则
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
三、除法法则
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
三、除法法则
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
分子、分母分别
进行乘法运算
三、除法法则
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
分子、分母分别
进行乘法运算
三、除法法则
例
计算
的值．
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
把除法算式写
成分式结构
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
把除法算式写
成分式结构
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
分子、分母分别
进行乘法运算
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
分子、分母分别
进行乘法运算
三、除法法则
例
计算
的值．
解：
．
把除法算式写
成分式结构
分子、分母同乘
分母的共轭复数
分子、分母分别
进行乘法运算
例
在复数范围内解下列方程．
（1）
；
（2）
．
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
写成平方和的形式
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
写成平方和的形式
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
写成平方和的形式
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
写成平方和的形式
进行因式分解
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
写成平方和的形式
进行因式分解
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
写成平方和的形式
进行因式分解
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（1）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
将方程
的二次项系数化为1得
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
将方程
的二次项系数化为1得
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
配方得
将方程
的二次项系数化为1得
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
配方得
将方程
的二次项系数化为1得
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
，
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
，
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
，
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
，
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
配方得
将方程
的二次项系数化为1得
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
例
在复数范围内解下列方程．
解：（2）
由此我们知道，在复数范围内，实系数一元二次方程
的求根公式：
由此我们知道，在复数范围内，实系数一元二次方程
的求根公式：
（1）当
时，
；
由此我们知道，在复数范围内，实系数一元二次方程
的求根公式：
（1）当
时，
；
（2）当
时，
．
由此我们知道，在复数范围内，实系数一元二次方程
的求根公式：
（1）当
时，
；
（2）当
时，
．
四、反思总结
问题12
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、思想方法等方面谈谈．
四、反思总结
问题12
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、思想方法等方面谈谈．
知识方面：学习了复数代数形式的乘法法则，
．
四、反思总结
问题12
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、思想方法等方面谈谈．
知识方面：学习了复数代数形式的乘法法则，共轭复数的概念，
四、反思总结
问题12
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、思想方法等方面谈谈．
知识方面：学习了复数代数形式的乘法法则，共轭复数的概念，复数代数形式的除法法则，能够在复数范围内，求解实系数一元二次方程的根．
四、反思总结
问题12
通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、思想方法等方面谈谈．
思想方法方面：类比实数的多项式的运算法则得出了复数的乘法法则；类比实数的分母有理化得到了复数的分母实数化．
五、课后作业
1．计算：
五、课后作业
2．已知
是关于
的方程
的一个根，求实数
的值．
同学们再见！
