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直线与圆的位置关系
班级______________
姓名________________
学号________
层级一 学业水平达标
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交并且直线过圆心
B．相交但直线不过圆心
C．相切
D．相离
解析：选D 圆心C(1,1)到直线的距离d＝＝，圆C的半径r＝3，则d＞r，所以直线与圆相离．
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A.
B．
C．1
D．5
解析：选A 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋2)2＝2，则圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝，所以直线被圆截得的弦长为2＝2
＝.
3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C．
D．3
解析：选C 因为切线长的最小值是当直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝2，圆的半径为1，所以切线长的最小值为＝＝，故选C.
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4
B．0或3
C．－2或6
D．－1或
解析：选A 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝
＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.故选A.
5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A．
B．1
C．
D．
解析：选D 圆心到直线的距离d＝＝，设弦长为l，圆的半径为r，则2＋d2＝r2，即l＝2＝.
6．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
解析：圆的方程化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，示意图如图所示．则圆心为O′(3,4)，r＝.
切线长|OP|＝＝2.
∴|PQ|＝2·＝2×＝4.
答案：4
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．
解析：令y＝0得x＝－1，所以直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)．因为直线x＋y＋3＝0与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
即r＝＝，
所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是________．
解析：由题知，直线x－y＋1＝0过圆心，
即－＋1＋1＝0，∴k＝4.
∴r＝＝1.
答案：1
9．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程．
解：因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，
故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有2＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
10.如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)设圆A的半径为r.
∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝－2，
易得|MN|＝2，符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.
取MN的中点Q，连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，
∴|AQ|＝＝1，
∴＝1，得k＝，
∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
层级二 应试能力达标
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定，与m的取值有关
解析：选A 圆心到直线的距离d＝＝＜1＝r，故选A.
2．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( )
A．
B．
C．π
D．
解析：选C 圆心到直线的距离d＝＝.又圆的半径r＝1，
∴直线x＋7y－5＝0被圆x2＋y2＝1截得的弦长为，
∴直线截圆所得的劣弧所对的圆心角为90°，
∴劣弧是整个圆周的，
∴直线截圆所得的两段弧长之差的绝对值为整个圆周长的一半，即×2πr＝π.
3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为
C(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0
D．x＋y－3＝0
解析：选A 由圆的一般方程可得圆心为M(－1,2)．由圆的性质易知M(－1,2)与
C(－2,3)的连线与弦AB垂直，故有kAB×kMC＝－1?kAB＝1，故直线AB的方程为y－3＝
x＋2，整理得x－y＋5＝0.
4．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
解析：选C 圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：
(1)直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1；
(2)直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)．因此满足条件的直线共有3条．
5．过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与y＝x相切的圆的方程为________________．
解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.
联立方程组得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.
因为圆与y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，则λ＝3，
故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.
答案：x2＋y2＋7x＋y＋8＝0
6．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
解析：如图所示，∵直线AB的方程为x－y＋6＝0，
∴kAB＝，∴∠BPD＝30°，
从而∠BDP＝60°.
在Rt△BOD中，∵|OB|＝2，∴|OD|＝2.
取AB的中点H，连接OH，则OH⊥AB，
∴OH为直角梯形ABDC的中位线，
∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4.
答案：4
7．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
解：将x＝3－2y代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0，得5y2－20y＋12＋m＝0.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根与系数的关系可知y1＋y2＝4，y1y2＝.
∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0，而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2，
∴x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝，
故＋＝0，解得m＝3.
此时Δ＞0，圆心坐标为，半径为.
8．已知圆M：2x2＋2y2－6x＋1＝0.
(1)求圆M的圆心坐标；
(2)设直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D，与圆M在第一象限的部分交于两点B，C.若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．
解：
(1)圆M：2x2＋2y2－6x＋1＝0可化为2＋y2＝，
则圆M的圆心坐标为.
(2)由直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D，
可设直线l的方程为y＝kx＋2.
因为直线l与圆M在第一象限的部分交于两点B，C.且△OAB与△OCD的面积相等，
则|AB|＝|CD|，即|AM|＝|DM|.
设点D(x,0)，
则
＝，
整理得x2－3x－4＝0，
解得x＝4或x＝－1(负值舍去)．
则D(4,0)．由于点D在直线y＝kx＋2上，
解得k＝－，
故直线l的斜率为－.
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班级______________
姓名________________
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层级一 学业水平达标
1．直线3x＋4y＋12＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝9的位置关系是( )
A．相交并且直线过圆心
B．相交但直线不过圆心
C．相切
D．相离
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得的弦长等于( )
A.
B．
C．1
D．5
3．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为( )
A．1
B．2
C．
D．3
4．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．0或4
B．0或3
C．－2或6
D．－1或
5．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A．
B．1
C．
D．
6．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为P，Q，则线段PQ的长为________．
7．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为____________________．
8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y＋4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径是________．
9．一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程．
10.如图，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2,0)的动直线l与圆A交于M，N两点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程．
层级二 应试能力达标
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定，与m的取值有关
2．直线x＋7y－5＝0截圆x2＋y2＝1所得的两段弧长之差的绝对值是( )
A．
B．
C．π
D．
3．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a＜3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2,3)，则直线l的方程为( )
A．x－y＋5＝0
B．x＋y－1＝0
C．x－y－5＝0
D．x＋y－3＝0
4．与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线共有( )
A．1条
B．2条
C．3条
D．4条
5．过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与y＝x相切的圆的方程为________________．
6．已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
7．已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径．
8．已知圆M：2x2＋2y2－6x＋1＝0.
(1)求圆M的圆心坐标；
(2)设直线l过点A(0,2)且与x轴交于点D，与圆M在第一象限的部分交于两点B，C.若O为坐标原点，且△OAB与△OCD的面积相等，求直线l的斜率．
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